PIHIFORMES AFFECTÉES PAR (INE MASSE FLUIDE EN ROTATION O
Pliilosophiccil Tinnscictions. A, t. l'jS, p. 333-373 (29 octobre 1901).
Introduction.
J'ai publié aulret'ois dans le Tome 7 des Acla Malheinalica (^) un Mémoire sur l'équilibre d'une masse lluide en rotation. C'est à ce Mémoire que je renverrai souvent dans la suite en écrivant simplement Acta. Dans ce Mémoire je décris en particulier une figure d'équilibre particulière qui est piriforme, et que pour cette raison on peut appeler la poire (pear-shaped figure).
Cette figure est-elle stable? La question ne peut pas être regardée comme entièrement résolue. En effet, comme l'a fait remarquer M. Schwarzschild, le principe de l'échange des stabilités ne peut pas être appliqué à ce cas sans modification ( ').
La condition de stabilité peut être présentée sous deux formes différentes. Soient U l'énergie potentielle de la masse fluide (ou plutôt ce que M. Darwin appelle l'énergie perdue), '>i la vitesse de rotation, J le moment d'inertie. La
quantité U -f- - w'-J doit être minimum, oj clant regardé comme donné.
CJ Heceived Oclober .!i|, He.Til iNovember 21, njoi. (-) Œuvres de //. Poincaré, ce Tome, p. 'jo. f) l'oir nuN Notes, Figures piri formes.
l62 SUR LA STABILITÉ DE LÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
Lu coudilioii esl nécessaire et sulTisante poiu- la stabilité s(''culaire, si l'on suppose que la iiiasso est entraînée |>ar IVollciiieut par uu axe <lc rotation qui la traverse de part en |)art comme dans les expériences de Plateau. Elle est sufiisanle, mais elle n'est plus nécessaire, si l'on suppose que la masse est isolée dans l'espace (cf. tcfa. p. 29.'?, agS, .36-, 36f)).
Voici la seconde forme. Soit /a ^= w.), moment de rotation de la masse lluide, la quantité U — '-r devra être minimum, ;j- f'/r//(/ /v^'y/zv/c- co//in?e (A'«/(i:'.
La condition ainsi énonciie est nécessaire et sufiisanle, si l'on suppose la masse isolée dans l'espace.
Gela posé, considérons la série des ellipsoïdes de Jacobi, et d'autre part la série des figures piriformes. Nous aurons une ligure de bifurcation ([ui appartiendra à la fois aux deux séries, et que nous appellerons le jacobien critique.
Les ligures piriformes n'admeltenl pas le plan des xy pour plan de symétrie; on doit donc regarder comme distinctes deux de ces figures, symétriques l'une de l'autre par rapport à ce plan. De sorte que les ligures de la série piritorine sont symétriques deux à deux, à l'exception bien entendu du jacobien critique, qui admet le plan des x^■ pour plan de symétrie. Il est clair que pour deux figures symétriques les valeurs de oj, de J et de U sont les mêmes.
L'ensemble des deux séries peut être représenté schématiquement par une droite représentant les ellipsoïdes de Jacobi, et par une courbe ayant cette droite pour axe de symétrie, et représentant les figures piriformes. Le point d'intersection de la droite et de la courbe représente alors le jacobien critique, et deux pjints symélri(jues de la courbe représentent deux figures symétriques.
Gela posé, si nous suivons la série des jacobiens en allant du moins allongé au plus allongé, nous savons que '>> va en décroissant, tandis (|ue &jj = j7. va en croissant.
Si nous suivons la série piriforme, il est évident ipie quand nous atteindrons le jacobien critique, 'j atteindra, soit un minimum, soit un maximum, et il en est de même de o).I.
Si nous adoptons le premier critère de la stal)ililé fondé sur les niinima de la
fonction U -4- 7''>-J, le principe de l'écliange des stabilités entendu comme il
doit l'être, nous enseigne ceci.
La condition nécessaire et suf'lisante jiour la stabilité séculaire, si l'on supposait la masse entraînée par la rotation d'un axe fixe comme dans les expé-
SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. l63
riences de Plateau, serait (juo m soit maximum, c'est-à-dire plus grand pour le jacobien critique c[ue pour les autres ligures piriforines.
Si 0) est maximum, on aurait pour une valeur donnée de oj supérit'ure au maximum une seule figure d'équilibre, un jacobien stable; pour une valeur donnée de « inférieure au maximum on en aura trois, un jacobien instable et deux figures piriforines stables.
Si, au contraire, oi est minimum, on aurait pour uue valeur donnée de ut supérieure au minimum trois (Igures d'équilibre, deux piriforines et instables, et une ellipsoïdale et stable; pour une valeur inférieure au minimum on n'aurait plus qu'une ligure d'équilibre ellipsoïdale et instable.
Si maintenant nous supposons la masse isolée dans l'espace, la condition reste suffisante, mais elle n'est plus nécessaire. Pour avoir une condition nécessaire et suffisante, il faut avoir recours au second critère fondé sur les
miniina de U — ' , • Le principe de l'échange des stabilités nous apprend alors
que la condition nécessaire et suffisanle de la stabilité séculaire esl que '.i.l soit minimmn , c'est-à-dire plus petit pour le jacobien critique que pour les autres figures piriformes.
Si 03J est minimum on aura pour une valeur donnée de o).! :
inférieure au minimum : un jacobien i/c/^/c;
supérieure au minimum : un jacobien inxtdhle, deux figures piriformes, stables et symétriques l'une de l'autre.
Si M.r est maxiiiiuiu on aura |)0ur une valeur donnée de mJ :
inférieure au maximum : un jacobien slable et deux figures piriformes,
instables et symétriques l'une de l'autre: supérieure au maximum : un jacobien instable.
La question à résoudre est donc de savoir si ojj est maximum ou minimum; mais elle ne peut être résolue que par un calcul compliqué. Supposons qu'une masse fluide homogène en rotation se refroidisse lentement, elle prendra successivement (dans la première hypothèse w.T minimum) la forme d'un ellipsoïde de révolution de plus en plus aplati, puis celle d'un ellipsoïde de Jacobi, puis celle d'une poire.
Si, au contraire, on venait à reconnaître que mJ est maximum cl non minimum, on devrait conclure que cette masse après avoir pris la forme de divers ellip-
soldes do révolulion. puis de divers ellipsoïdes de Jacobi, el avoir alteiiil fiualeineul celle du jacobieu crili(jue, subira loul à coup une déformation énorme et une série d'oscillations, par une sorte de catastrophe subite.
Diverses raisons contribuent à rendre la première hypothèse beaucoup plus vraisemblable; néanmoins jusqu'ici la preuve n'est pas faite, et je déclare loul de suite que je ne l'apporte pas encore dans le présent travail.
Mais quelle que soit l'hypothèse qui doive triompher un jour, je tiens à meltre tout de suite en garde contre les conséquences cosmogoniques qu'on pourrait en tirer. Les masses de la nature ne sont pas homogènes, et si l'on reconnaissait que les figures piriformes sont instables, il pourrait néanmoins arriver qu'une masse hétérogène fût susceptible de prendre une forme d'équilibre analogue aux figures piriformes, et qui serait stable. Le contraire pourrait d'ailleurs arriver également.
A la suite d'une correspondance que j'ai eue avec M. Darwin, nous nous sommes mis l'un et l'autre à étudier la question, et pendant qu'il écrivait deux Mémoires sur ce sujet, et que dans l'un de ces Mémoires il déterminait les axes du jacobien critique, j'obtenais des résultats qui sont l'objet du présent travail, .l'ai formé l'inégalité qui doit être satisfaite pour qu'il y ait stabilité, mais je ne l'ai pas traduite en chiffres, parce que je me défie de mou habileté arithmétique, et que je ne suis pas un calculateur assez sûr.
Les notations dont je fais usage diffèrent, malheureusement, beaucoup de celles de M. Darwin; elles se rapprochent de celles de mon Mémoire des AcCa sans être tout à fait identiques, parce que je rapporte ici, pour plus de symétrie, les coordonnées elliptiques à l'ellipsoïde
i- — a- (■/- — b- p- — c"et non plus à l'ellipsoïde
comiuu le faisaient Liouville et Lamé, et comme je l'ai fait moi-même dans le Mémoire des Acla. (Je suppose de plus a-^b-'^c-, au lieu de supposer &'-<; c'-.)
Les indices que j'attribue aux fonctions de I>amé (') ne sont pas non plus les
P) Nota de M. G. H. Darwin. In llie paper in tlie Aria tliere is a sliglil inconsistency in ilie iiolalion adoptcd, for in one pari of llie papcr Un- liist of tlie doulilp suffixes to tlie R's dénotes tlic dcgree of tlie iiarmonic, whilc in anoUicr part it is llie second wliich lias thaï
SUR LA STABILITE DE L'EQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. iC5
mêmes que clans les .Ida. Les fonctions que j'appelle ici R,, R^, R,, R.,, R5, s'appelaient dans les Acta : Ro, Rt, RI,,,, R'o,»! Ri.o-
C'est In fonction R'^ ^^^R-, (jui est la plus importante, parce que c'est elle qui sert à détinir la figure piriforme; on la désigne quelquefois sous le nom de « third zonal harmonie ».
Les fonctions R sont toutes égales, soit à un polynôme entier en p-, soit à un pareil poljnome multiplié par l'un des trois radicaux ^(p- — n-), y/(p- - — b'-), \/{p- — C-), soit à un pareil polynôme multiplié par deux de ces radicaux, soit à un pareil poljnome multiplié par ces trois radicaux.
Celles de ces fonctions qui sont égales à un polynôme en p- seront ce f[ue nous appellerons plus loin des fonctions- tir Lamé paires et uniformes.
Calculs préliminaires.
Soit
l'équation de l'ellipsoïde de Jacobi de bifurcation que j'appelle E„ : soient p, [j., V les coordonnées elliptiques déduites de cet ellipsoïde: de sorte que p = &,, est l'équation de E„ en coordonnées elliptiques. On aura
„ ^ ( p- — ^f-i ) ( 1^- — a- ) ( y-^ — a°- ) (a"-— /;\) («•■!— cO '
(le nièuic pour ) - et z'-.
( >n en déduit
dy ''V (?■-— a=)(«2 62)(a2 c2)'
d'où
meaning. Tlius, for example, R',,,, is sometimes wiitten Iio,-2. Kuillier I do not lind that ri„ is used explicitly in that paper.
It may be convenient to point out the identities of tlie R's used hère with my notation, as used in Ellipsoïdal Harmonies and Ttie pear-sliaped Figure 0/ Equilibrium. Tliey are as follows :
R, = p„(v) (a constant); R, = P](v); R3=lJ,(v); R,= }]5(v); R.= lD,(v).
Tlie identities of tlie S functions wliicli occur below are
lG6 SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
d'où [joiir le caiTL- d'un él{''menl d';irc (jnelconijuc
OÙ B el (î sont formés avec pt et v comme A avec p. Il vienl alors |)oiir AV l'oxpression suivante :
'/ /!>'- 'A' \ '/ / -VG d/V\ >/ /Ali r/V\
■^ '"'-' ^^ = ,A ( A- TT. ) ^ .7^ ( n 7F. ) + d. \ IV 7F ) '
^ious désiguerous les fonctions de Lamé par des indices.
Ri se réduit à une constante; Ro à \/(p-' — a'-); R;, et R., sont les deux polynômes du premier degré en p'-' ; R^ est la troisième « zonal harmonie » . Il J mit reminquer que les indices c/misis ne snnl pas les mêmes ifue dans le Mémmi e des Acta.
Les fonctions correspondantes S, M, N porteront les mêmes indices.
R," el S" seront les valeurs de R, et S, poui' p ^^^ p,,.
Nous introduirons les variables elliplitjues 0, 0,, Oj par les éijualions
Oi et 0^ étant formés avec /ji. et v comme 0 avec p. Il vient alors
ds-= ■r,dit--i- jifdil'i-h J^d^,
où
/.^ î ri^ ' /i^ ■ -
Formules relatives au potentiel d'une simple couche.
Le potentiel à l'extérieur aura pour expression
V^SHK^SMIS, les H étant des coefficienls quelconques, et à l'intérieur
V = SIIHS'-MN.
Si nous considérons maintenant les dérivées -^ estimées suivant la normale;
si nous convenons de ri'présenler par des lettres accentuées les dérivées prises par rapporta 0, il viendra, puisipie /= , :
A l'eslérieiir
'^ =2HR<'S7MN an
et à l'intérieur
'-P^ = SHSÛR7MN.
La dili'érence iH(RS' — SR')/MN représente 4'^'^) ô éliial la densité de la
simple couche, et comme
SR'— RS'= 'Il -f-i, on aura
InS = i:H(2n-i-i);MN.
Si donc la densité a pour espression 2B/MN, le potentiel à la surface aura
pour expression iB — ^^ R^SHIN.
Formules relatives au potentiel d'une double couche.
Le potentiel à l'extérieur aura pour expression
V = SHSMN et à l'intérieur
V = SH,RMM
,/Y les coelTicients étant différents. Comme la dérivée -r- devra être continue, on
aura
i:HS;MN = £H,R'„MN.
Posons H := KR'„, Hi ^ KS^, ; la différence entre les deux valeurs de V pour p =: p,, sera
— i:KMN(R'„S„— S'„Hg)=+2KM\(2/i-i-i).
Ce sera — 4 tt ô, ô étant la densité de la double couciie.
Énergie de la simple couche.
Cette énergie est / - VS àrj, drj étant l'élément de surface. Si
o = SB/MN, V^SB '*" RSMN,
cela fera
2;:^ ^ B2J\S flW-'S''-rh.
iCS SUR LA STABILITE DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
Énergie de la double couche.
Je ne calculerai ici tiuune porllt)n de celle énergie, à savoir linlégrale
clenduc à tous les élémenls cl- de l'espace sauf ceux qui snnl ciiinpiis entre les deux surfaces infiniment raisinés (jui rnnstitiicnt la ddiiblc couche. Celle
portion est égale a i - y- o da.
Si
S = 2BMN, ^ =— IB '" H'S'IMN/,
du ■> n + i
d'où
— ajiV ^- P.îR'S' f lWS^cl<:.
Lu ■>. /( -t- 1 J
Définition de la poire.
Parmi les diflérenls points de E,,, ju mène des lignes normales aux ellipsoïdes homofocaux à Eo' c'esl-à-dire des lignes p. := consl., v = consl., el je les prolonge jus(ju'à la renconlre avec la surface de la poire. Soil f/a„ un élément de surface de E,, el dv le volume engendré par les lignes ainsi menées par les
diflérenls points de f/o-,,, le rapport --^ sera une fonction de \x el de v que je
pourrai développer en série de Lamé sous la forme
Ce sont les coefficients E; ciui définissent la forme de la poire. Parmi ces coefficients, je remarque :
i" ?, , qui est nul, parce que le volume de la poire est égal à celui de Eq, ce qui s'écrit / di'^^o.
2" f 5, qui est du premier ordre.
3" ^:, et El, qui sont du second ordre.
4° Les autres E;, qui sont du second ordre, si la fonction M, est paire, uniforme, et d'ordre supérieur; el négligeables dans le cas contraire.
Assez fréquemment, el quand il n'en pourra résulter aucune confusion, je
SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. l6g
supprimerai l'inilice zéro el j'écrirai simplement cIq et -r «" Heu de dua
et-j--
Définition de la simple couche C.
Je considère la couche attirante formée par tous les petits volumes dv, et située par conséquent entre la surface de la poire et celle de Eq. Je suppose que l'on concentre toute la masse attirante située dans celte couche sur la surface de Ey ; nous aurons ainsi une simple couche attirante, la densité de la matière
sur l'élément rfo- étant précisément -r-
L'attraction de cette simple couche, que j'aj)pelle i, est à très peu près égale à celle de la couche C.
Je puis considérer l'attraction due à la couche C moins l'attraction due à la couche i; elle peut être considérée comme due à une matière attirante en partie positive el en partie négative; c'est ce que j'appellerai la matière Jïl, comprenant la couche C prise positivement et la couclie — changée désigne.
Calcul du potentiel.
Le potentiel V pourra être décomposé en trois parties :
Vi potentiel de E»; V3 de i; V, de J||.
Voici quelles sont les expressions analytiques de V , el de Vn. Pour Vi :
à l'extérieur de E,, :
V, = AiSiMiNi-H A,S3M,N3-+- A.,S,M..N,, à l'intérieur de E,, :
V,= A', R|MiNi-h A'3R3M3N3+ A'^RiMiNiH- A'oH,
les A et les A' étant des coefficients constants et H le premier membre de l'équation de E,,.
Rappelons que Vi est continue ainsi que ses dérivées du premier ordre; d'où l'on peut conclure d'abord
A,sî = Â', R», A3s;=A',R», A,.S2 = a;r,;.
Je puis poser de même
j2-+- 3"-= B,RiMiN,-t- BjRsMjNj-i- B,RiMiN..+ BoH, H. P. - VII. 22
<jt j'aurai entre les coefficients B et A' les lelutious siiiviuites :
.\'. -H — tOJ li ; = A', -H u)5lii=o: 2 "^
l!„AII=l: a;, Ail = AV,=— 1::: A',, -4- - 1!„ = u.
Quant à Vo, nous aurons :
à l'exlériiHir de E„ :
à l'intérieur de E,, :
Calcul de l'énergie.
L'énergie totale comprend .
