L'énergie due fiu moment d^ inertie de Eq

Ces deux parties ensemble forment Wq.

3. L'énergie de £„ par rapport à 1 (plus l'énergie de rotation). Cette somme est nulle, car elle est du premier ordre par rapport aux ^,, et les termes du premier ordre doivent disparaître puisque E„ est une figure d'équilibre.

-i. Lènergie de - par rapport à lui-même^ qui est, d'après le Mémoire des Acta, p. 3i8 (') :

o. L'énergie de Eq par rapport à iîl, plm Vcnergie de rotation de iU ; on en connaît les termes du premier ordre, qui sont nuls; ceux du second

ordre, qui d'après le Mémoire des Acta, p. 3i^, sont — 27r /^ - t/RUS^ii,-,

mais il faut pousser li? calcul plus loin; soit donc / Ni H — '^o („'' + ■^') '^'^

celle énergie, où dz représente l'élément de volume de ill, de sorte que

(h = M f/iii fH\. V ~ ( ;ji- — p- ) ( p- — v2 ) ( V2 — ^2 ).

Soit dcu un élément de la surface de E,,, rfo- l'élénienl correspondant de la surface d'un ellipsoïde E homofocal à E„ (jo considère deux éléments comme correspondants quand ils ont mêmes coordonnées elliptiques [x et v).

( ' ) 'Jfiuvres de II. Poincaré, ce Tome, p. yi.

Soil di. un élément de la courLie /j. =^ consL, v ^= consl., compris entre deux ellipsoïdes E et E' inliniment voisins et homofocaux à Eo ; nous aurons

d- = d\ di =

D'autre part l (la = /„ du,,, où

Si nous posons V( -j- - w^ ( )---|-,

(?i—l^-)-(pî — -'-)-

dH = du

(?ii — H^-)' (pn — ''-)' ''■■"'"

et que nous considérions un instant P comme fonction de m, nous remarquerons d'abord que d- = du ih„.

Développons P par la formule de Mac Laurin :

Il va sans dire que la variable auxiliaire u a été délinie de façon à s'annuler pour p ^ po, et que dans P et ses dérivées on a fait p = po. Notre variable u

variera donc de zéro à , quand on passera de la surface de Eq à celle de la poire.

Alors nous avons pour la portion de l'énergie envisagée

Le premier terme est nul (puisque / dv^o\, le second nous donnerait le

terme du second ordre — 27ï'V -^fR" S!!i2,, dont j'ai déjà donné l'expression d'après le Mémoire des Acta.

Le troisième va nous donner des termes en ^?;,-, et le quatrième un terme

Je commence par rechercher les dérivées de P par rapport à m, en fonction

^ i, ■ . dp d-p des dérivées -^, —t^--

t-1 Sl'R LA STABILITE DE L'EQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.

On a

-i- = —j- -7- = —^ 1, car ; = / pour ; = p„ ; l du </U (/il f/ti ' i/u ' . . » •

^^' \ 77IF- ~ M du- "^ (/O^ V//// '

/ d^ - '!}! ^ ^■i 'ji}i '11 m 'in. i ''^y

\ du- ~ 7n du' ^ ' T7P" 7ï7i Thr^ '^ 'd¥\du)

lout ce (lue le veux retenir pour le inomeni est que-^i -r-;' -r-^ sonl des ' •' ' ' du du- du'

fonctions de ;j.- et de v- symétriques, paires et uniformes (je veux dire p.ir ce

dernier mot i|u"elles ne eliangent pas quand y.'- ou v- tournent autour des

valeurs singulières a-, b- ou c'-). Leur développement en séries de Lamé ne

contiendra donc que des fonctions de Lamé paires et uniformes. Il en sera de

de, d- p d-'- p . ^ , , 11- I

même pour -V-' -r-,i -r^ T»' entrent dans les lormules ' du du- du- '

dP dP dp^ d-'P dV d'p ^ d-'V /dp Y

i/u dp du du- (/p du- dp- \du )

Nous supposons bien entendu dans les formules (i) et (i bis) qu'on remplace partout p par p,, à la lin du calcul.

Une autre difliculté provient de ce que P n a pas la même expression analytique à l'intérieur ou à l'extérieur de Eo.

Si la couche était tout entirre à l'intérieur de E,, (ce qui ne pourrait avoir

lieu que si l'on renonçait à riiypothèse / c/p^o), nous pourrions réduire 1' à If, à un facteur constant prrs, nous aurions en effet :

!• = iK\ + ;7<"5P'i) RiM,N,-+-('a'„-(- ;| oij lio] II,

le premier terme se réduit à une constante qui n'a pas de dérivées.

Il est aisé de \oir que —.- se réduit à un terme en p; de sorte que

f/n (£n d-' Il

dp '' dp- dp'-'

Nos intégrales se réduiraient donc, à un facteur constant prés, à

I rd^n/d^y \ à'p [ dpy-\ i rdni/d^y r d-p dp d^p-]

J'écris de- au liu de d'7„, en supprimant l'indice zéi'o, devenu inutile.

Remarquons que les quantités entre crochets sont les dérivées première ei

seconde de &-7^- ' du

Remarquons en outre que

(h du~ i/ - -'

do • , . 7 / "T' ^/-ll . 1

que -^ est proportionnel a l, et par conséquent -j- et —p^ a ..;•

Les termes qui nous intéressent sont donc :

1" Dans (^y les termes 3r-2ï,M:N:^MjN,/' qui donnent

Il suffira de prendre les fonctions M,N/ qui sont paires et uniformes, puisque

les développements de M^N!:, /■ ^-j- n'en contiennent pas d'autres. Si Ion se borne aux formules précédentes, où l^ est regardé comme proportionnel à II, nous pourrons poser

M,i étant une constante; si nous développons alors

en série de Lamé, ou aura, pour les termes en question : 2. r^tii'Oi^i-

Malheureusement toute la masse iW n'est pas à l'intérieur de E,,, c'est donc ^-'-p^MJjN^ (ju'il faudrait développer; et cette expression n'est égale à

-Mil -p (p-~ 1 M^N'5 que pour les points intérieurs à E,,.

2" Dans^^l^y le terme ï' ^M* IN* qui donne

±.j ft}:,j;LL:;i)uiMd..

24 \,' '/?- '^"- \ 'fil j

Nous reviendrons sur tous ces points plus en détail.