V énergie de ^^ par rapport à Hl

Pour l'obtenir il faut calculer le potentiel de Hl et d'abord revenir sur l'étxide du potentiel d'une double couche (').

Considérons une double couche très mince, mais non infiniment mince. Elle se compose de deux surfaces attirantes, i cl -', très peu différentes l'une de l'autre. Je considère une série de courbes que j'appelle C, de façon que par chaque point de l'espace passe une courbe C et une seule. Ordinairement on

P I Je prie le lecteur de bien remarquer que pendant quelques pages, et jusqu'il nouvel nverti>seiiient. beaucoup de lellros n'ont plus la rm'-nic '^ignifirntion fjue dans ci' qui prcccdc cl daii-s ce qui suit.

prend pour les courbes C les normales ù i. Dans les applications qui vont suivre, je prendrai les courbes ;ji. = consL, v = consl.

Deux points de — et de — ', se Uouvant sur une même courije C, sont dits correspondants. L'hypothèse qui sert de définition à la double couche est que les masses attirantes qui se trouvent sur un àléuient de 2 et sur l'élément correspondant de i' sont égales et de signe contraire.

Gela posé, soit M un point de i. M' le point correspondant de -, soient V et V le potentiel de la double couche en 1\I el en M'. Il s'agit d'évaluer la différence V — V.

i" Dans le cas où la double couche est infiniment miuce. on a par un ihéo-

réme bien connu

V— \"= ,1-0 iMM'cosY,

ô étant la densilé de la matière au point M, M.M' la distance des deux points correspondants M el M', ■• l'angle de la courbe C avec la normale à -.

Je rappelle d'ailleurs que si la courbe C est normale aux deux surfaces,

c'est-à-dire si -• = o, la dérivée normale —r- est continue, même quand on

' fin '

franchit la double couche; et que par conséquent celle dérivée a même valeur à des infiniment petits prés en deçà des deux surfaces, et au delà des doux surfaces.

2" Supposons maintenant que la double couche soit 1res mince, mais non infiniment mince. Nous la décomposerons en une infinité de doubles couches infiniment minces. Pour cela entre i et i' nous ferons passer une infinité de surfaces 2i, 2o, . . . , 2„ (n très grand). Soit E un clément de 2, et E, , Eo, . . . , En, E' les éléments correspondants de l^, 1^, . . ., i„, i'. Nous avons sur E une masse [j. et sur E' une masse — p.. Plaçons sur Ei une masse — p. et une masse p. qui se détruiront; faisons de même pour E^, E;,, . . ., E„. Associons la masse — p de Ej avec la masse p. de E, faisons de même pour tous les autres éléments de E, nous obtiendrons une double couche formée par les deux surfaces i et i| ; je l'appelle K,. De même en combinant la masse — p de E2 avec la masse p. de Ei, j'aurai une seconde double couche que j'appelle K.,, et ainsi de suite jusqu'à la double couche K„ due aux masses — p. de En et p de En„i, et à la double couche K„+, due aux masses — p. de E' et p de E„.

La double couche proposée est donc remplacée par « + 1 doubles couches élémentaires.

Soit alors r et r' les potentiels aux points M el M' d'une double couche élé-

lyG SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.

menlaire K; soient 1' cl I'' les poinls où la eourbc C ([ui joiui M à M' perce les deux surfaces de celle double couclie élémenlaire K. Soienl w el ii' les polen-

liels de Iv aux points P el P'. Soit df un éléinenl de la ligne C, et '-- la dérivée

du potentiel de K le long de cette ligne, nous aurons

ir — H''= 4 ~ 5i l'I"' (;(j« Yi:

ô| étant la densité au point P et -i l'angle de C avec la normale Je puis donc écrire

parce que l'arc l'P' est très petit par rapport à MM', à la condition d'attribuer

sur cet arc à -7% la même valeur qu'au point P en dehors de la double couche.

( )n peul observer que si di est uu élément de la surface i, f/(Ti l'élément correspondant de la surface à laquelle appartient P, on aura

Nous pouvons donc écrire

V = l.-, V'=Xi-':