V - V" = i :: 0 y PP' cos Y, -i""- - f y

cil ''

mais avec cette condition que dans le premier terme du second membre la sommation ne doit être étendue qu'aux doubles couches élémentaires comprises enlre M et M". On aura comme plus haut

\dï~'Vn.' D'autre part

}^^ = T7r' '■osi-, = l

d'où nous tirerons

MM' \7h' ~^\~ 7I7i

V — V"= i r. S MM"+ ■'- S -^:^ \ — — ■ I ~ MM".

Nous poserons d'ailleurs

-r-, — I = /iMM «5

de façon que A' soit fini, et que \' — V" =4-0

Si le point M" est au delà de M', on aura

\' — V" = 4 - oMl\l"+ 2 - /.- o( MM")-^ — '^ MM".

an

V — V"= -i :: 3MM'-H irJt 3( MM')'^— '^ MM",

et s'il est en deçà de M :

fis V — V"=- ^MM".

an

Cela posé, partageons la couche C, qui est comprise entre la surface de E,, et

celle de la poire, en couches infiniment minces par une série de surfaces très

rapprochées, que j'appelle A,,, A,, Aj, . . ., A»; Ao coïncidera avec E,, et A„

avec la surface de la poire. J'appelle Q, la couche comprise enlre A;,i el A^.

Je suppose que l'on coucenlre I;> masse de G,, sur E^ en suivant les lignes p., v=:Consl., t[iii jouent ici le rôle que jouaient tout à l'heure les courbes G. J'appelle — ;, la simple couche ainsi obtenue. Alors 2 est la somme de toutes les simples couches —p. L'attraction de G;,, moins celle de iy,, est l'attraction d'une double couche D^, et il est clair que Hl est équivalent à l'ensemble de ces doubles couches.

Soit (• le potentiel dû à l'une des doubles couches Dp, soit 0,. la densité de ^,, en un point M de E;, ; soit P un point de A,, et M" un point quelconque de iïl, M' un point de la surface de la poire. Les quatre points M, P, M' et M" sont supposés situés sur une même courbe p, v ^ consl. Si alors c et r" sont les valeurs de c en M et en M", nous aurons

si M" est entre M et P; et

,. — f"= '|;i5,,MP-h2-<'o,,(Mr^)^— 4^ MM" ' 'an

si P est entre M et M".

Soit M ^1v et V"= ic" les valeurs du potentiel de ili en M et en M", nous

aurons

dS

V — V" = 4 - [ S' o,, MM" -4- 1" S/, M P ] -4- 1 j: />■[ i;' S^f MM")^ + 2" S,,( MP j= ] — -^ MM".

Nous remarquerons dans les parenthèses du second membre deux signes de sommation dilFérents i' et i"; le premier i' s'étendra à toutes les doubles couches situées entre M" et la poire, le second i" à toutes les doubles couches situées entre M" et l'ellipsoïde E,,. Nous conserverons le signe i pour les sommations étendues à toutes les doubles couches.

Posons alors MP = ^, de sorte que — ây^ «/a qui représente la masse de la partie de la couche Gy, qui correspond à l'élément d<7 sera dai,dl, dai, étant l'élément de A^ qui correspond ix da; or

'h , , ,, . dis I , , I = /,7, d'où -;— = p; =1 — A-/;

«7/, «3,, I -h Ki

d'où enfin

&y, = (l kl) itl.

ï Oy,MM"= MM

i - A-( MM /2 — M M'") — {jM M IM")' - M M" ) 1 .

v"3^,MP= iA-(MM")-i— ^(MM")2,

,"SrMP)2= \ A-(MM")*— \ (MM")», 4 J

et si nous posons un instant pour abréger