V- V"= 4< (~A-£-^-£- lA-l-^-t
.dy d,i
ou
L'énergie de Hl sur ^tl sera représentée par l'intégrale - / (V" — 'W)dz, étendue à tous les éléments dz de C.
Or si par M" je fais passer l'une de ces surfaces très peu différentes de 2, et qui me servaient tout à l'heure à définir mes doubles couches, si j'appelle c/a" l'élément de celte surface correspondant à d(j, nous aurons
,1- = i/j" ,m M" = rh" cl'i e l ih" =ih{i — kr,).
L'intégrale à chercher est donc
et elle doit être prise par rapport à Ç entre zéro et e; on trouve ainsi
^ . , I ,rfV du
Pour rendre la formule comparable à celles qui précèdent, il faut exprimer £
, ,. . , dv . dn r/0
et /.■ en lonctions de -t- et de -y i -^-j • ••
dn du du
Nous avons d'abord
dv = l dz = di r (i — A^) '/C = ^—\ kz"-,
d'où
et pour l'intégrale de l'énergie :
Observons que le calcul a été fait dans l'hypothèse où la surface de la poire
l8o SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
est exlt^rieure à celle de Ej,. Dans l'hypollièse contraire, il faudrait changer le signe des deux premiers termes et écrire
11 reste à calculer /.. Reprenons la lettre / dans son sens priniitil', de sorte que , l , I
du /(,
Nous savons (jue k est défini par la relation
da"
si nous reprenons les notations employées plus haut, nous devrons écrire u au lieu de Ç, d(7 au lieu de dir" et dcr^, au lieu de du, et notre relation deviendra
un a donc
i/g , th là
-j— ~ i — Au, or — — = -, ado d^o l
p- du du"- U du
et enfin, puisque sur E,, on a / = /„ :
•}.l du-
Cela posé, dans notre intégrale les ternies qui nous intéressent sont i" Dans (^'^y les termes 3^:i?iM^N:M,N, /■', qui donnent
(j'écris du en supprimant l'indice zéro devenu inutile).
/ dv ^
î" Dans (-/^) '<-' terme ç'/'M'N* qui donne
-t- r- -?' f''^jmi^\dG.
l) J du-
Cj Je puis donc ici reprendre toutes les notations du début de ce travail, et que j'avais abandonaécs momentanément, ainsi qu'il est expliqué dans la note de la page i-)!\. On observera que /■ est une constante généralement négative.
SUR LA STABILITE DE L EQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. lOI
,■>" Eufin dans ( y ) ~7~ ^'^ terme inlércssanl se calculera en supposant
tous les ^ nuls, sauf?".
C'est la portion de l'énergie de la double couche que nous avons calculée au début de ce travail; nous n'avons donc qu'à appliquer la formule établie au début.
D'après cette formule, si ô := 2BMN est la densité de la double couche, cette
portion de l'énergie sera
— 2T.y / /2 MN^ di.
Mais ici
Si donc
/2 1VI1N?= SpMN,
alors la portion cherchée de l'énergie sera
Unification des formules.
Une difficulté provient do ce que quelques-unes des formules précédentes ont une forme analvlique diflérenle, suivant que l'élément f/cr de la surface de Eo est au-dessous ou au-dessus de la poire. Il est permis toutefois de prévoir qu'il doit y avoir compensation, et que dans la formule finale nous retomberons toujours sur la même forme analytique. Il reste à voir comment se fait cette compensation.
Les termes d'où provient la difficulté sont (outre ceux dus à l'action de i\l sur Ml) :
1° L'énergie de E,, sur £{1 dont l'expression est 2'- L'énergie de i sur J\\ dont l'expression est
J'observe que V|, —r^, Vj sont continus quand on franchit la surface de E,, et qu'il est de même de
l82 SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
et (le touU'à ses tlcnvées. bi donc i appelle L) -p— i U-^— -, D — ;— i u —, — - les
■' ' ' (/(/- t/u' lia du-
sants brusques subis par .,' quand on franchit celte surface;, du dedans au dehors, la dilKrt'iice entre les deux formules qu'il s'agit de comparer sera
pour l'action de Eq sur JiH, et pour l'action de i sur ^il.
Calcul de D
duP-
Nous nous servirons pour ce calcul de l'équation suivante :
puisque AV| = o à l'extérieur, et — t\T^ k l'intérieur.
Or si nous nous rappelons l'expression de A\\ et que le D de —r^i —, — ^
d\\ d'Vi .... ... f/V, ., . ,
— r-i —, — est nul, ainsi que celui de — ;— j il vient
dp \ A dp I A dp-
d'où
D^^ = A2DAV,= 4-A"-.
dpi.
Donc
Calcul de D^'.
Calculons d'abord D , , ; pour cela nous nous servirons de
dp'' '
dp
Si nous observons que
d^W dV, d^y, ,^ d^y,
«;j.- a;x d\xdp d\x- dp
SUR LA STABILITÉ DE L"ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. l83
el de même pour les dérivées correspondantes par rapport à -j, je puis écrire
dp dp [abc dp \ X dp )]'
Mais d'ailleurs on a
A dp ='^ = du j-, BC = H } ,
H étant indépendant de o; nous pouvons donc écrire
A l!C dp \ A f/p /Il du \ /-i ./f< / ~ V/î< \ l-^ du ) '
O = D ; = là U -1—: -, ;- ) 7T D — ;— „ , D ■
du " du°- \ i^ du J ti du-' l' du
BC dV^ IWo rfVi A do (- du
i- du" l' du dud'où enfin
-«fV, idl , ,, ,
dy„
Calcul de D-I^.
D'après la propriété fondamentale des surfaces attirantes, on a
du d<s
Calcul de D
du-
Pour ce calcul nous nous servirons de
u^^' nf ' d / BC dX.>\l „ ^ d / dX
d'où enfin
I d-'X. ïdl dX. l^ "dûF "" 7^17^ ' ~d^ ~ °'
f/tt- " dn l du ~ " ' f/7
En résumé la différence entre les deux formules qu'il s'agit d'identifier sera : i" Pour l'action de E sur ilT :
2° Pour l'action do i sur iU :
3" Pour raclion de i\\ sur H\ :
-/-'4-rf^)"-5-(:;n'-ïS(ï:)']
xoit au total zéro.
Nous pourrons donc employer indifl'éremment l'une ou l'autre formule sans nous inquiéter de savoir si la poire est au-dessus ou au-dessous de l'ellipsoïde, pourvu que l'on se serve des formules correspondantes pour le calcul de tous les termes.
Nous choisirons désormais l'hypothèse intérieure.
Groupement des formules.
Nous allons maintenant grouper les termes de même forme, afin d'additionner leurs coefficients.
Nous avons d'abord à envisager les termes en lil^': ; le premier que nous trouvons est
îa^-f^ U't.)"-'''''-'''""-
Nous avons posé
«'• P Ko
n„ étant une constante. Nous avons d'autre part
^ = '^e î^ = ( p' -a-ïH p- — 6- )'- ( p- - c- )- (Pô — l^-)-(P5-v-)- ^ /(p) '■fiu d<> du p (p- — [i')(p2 — v^) f ta
en désignant pary(p) une fonction de p et par /„ ce que devient l pour p =r p„. Nous déduisons de là
du\'iu) =f ^'^da h -^-f^'^-û- = T /ï +^-^^P^-7r et pour p =: po :
du
SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. l85
(^u est-ce mainlenanl que -,- pour p ^ po ' On trouve
(U cn dp^ /(p) (Il i- __ /(p) di
(lu do du p dp It, p dp
Calculons encore la dérivée seconde --j^ (p ;7~ ) ' Nous venons de trouver
d I dp\ ff /* lp dp
du On trouve de même
V' du) p l'i ? Il
du"- y du/ dp\ p ) p II \ p'- p-' / /à p- /i
ou pour p = p„
m^-iiAfy-':^-'i-yfr'i[-m-w\
Posons
ff f-
i\i et fî seront des constantes dépendant seulement de p et faciles à calculer. On aura, pour p = p,, :
du \ du I dp
Or nous avons posé plus haut :
et nous avons trouvé que le coefficient cherché était égal à if)[îi,-; nous avons posé un peu plus loin
En rapprochant toutes ces formules, nous trouvons
•r,, = ai3,+ î3 5^'.
dp
Nous avons trouvé ensuite comme terme en ^,EJ : '
7 J ' (lu 2n.-hi J ■" - du
iSli SUR LA STABILITE DE LEQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
^1 nous observons que -j- se roduil a / pour p ;— poj nous Irouvcrons pour le coeflicienl en question :
Enliu dans l'énergie de ili sur Hl nous tTVons encore un ternie en Lii^, qui a pour coefficient
— 2 n Tm ? N? M,- N,- /-i r/a = — 2 - [i; D,-.
Je prends le signe — parce que j'ai adopté l'hypothèse d'après laquelle ^H est intérieur à £„.
En réunissant tous ces termes, je trouve que le coefficient définitif de \{i^\ est
?,o,Y 1, + i - IV, Ss + — ^— - k; S, -+- 2 -) -f- il ûi 5^' .
\ 7 2 n -H I / rfp
Remarquons encore que nous avons trouvé
f/p du, i- (lu il
Nous pouvons en déduire
51, =- |,:RoSo^', B=- l^tRoSs-^.
Je rappelle que ^ tt/ n'est autre chose que le volume de Eq.
Passons maintenant aux termes en f'; le premier que nous rencontrons a pour coefficient l'intégrale
24 J df- du^ydu/ lf\ J du^ydnj
Supposons que l'on veuille développer en série de Lamé la fonction /'M^N'
cl soit
/'M3IV?= ir,M,N,-,
les F; étant certains coefficients, qui naturellement dépendront de p, nous en déduirons
Il est clair alors que nous aurons pour le seul coefficient qui nous intéresse, qui est Fr, et que je désignerai simplement par F :
Q, r, = Q , r = r /5 M '':. N ', drs ;
Cela nous montre, en rapprochant de l'expression de -j—, ip-J^) ■> T'o si nous posons pour abréger :
le coefficient du terme envisagé en ^J sera
ap dù-
Vient ensuite comme terme en ?- :
Pour le calcul de ce coefficient, il nous faut -td quant à ( -^ j c'est /-'. Or nous avons
rfO /2 d^ ij. (U dp^ dl f
du h du- (0 dp du dp p
ce (jui nous donne en dclinitive pour le coeflicionl cherché :
Enfin dans l'énergie de i\\ sur i\\, nous avons deux termes en i^l, le premier a pour coefficient
() J du- 12 p dp
(je prends le signe — à cause de l'hypothèse intérieure) et le second
En réunissant tous ces termes, nous trouvons finalement pour le coefficient
rfp- 2 j^ 2« -h I
R- Observons que R" S^ est égal à R5 S5 au facteur constant prés ^j qui est égal
d'après l'équation de Lamé à un polynôme connu du second ordre en p-.
D'ailleurs R5S5 est égal au facteur^ près à RjSo, qui figure dans l'expression
l88 SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
de II,,, pt cela parce que le coefficient de stabilité correspondant à Y{„ doit s'annuler pour l'ellipsoïde Eq.
Calcul du moment d'inertie.
Le calcul de J est plus facile; nous avons en effet
l'intégrale étant étendue à tous les éléments dr de la poire; le moment d'inertie de l'ellipsoïde E„ sera
l'intégrale étant étendue à tous les éléments dr de l'ellipsoïde, et la différence J — Jo sera la même intégrale étendue à tous les éléments de la couche comprise entre l'ellipsoïde et la poire. Posons
dQ
gi = r'- + z- = qo -+- u
Nous aurons
Il nous faut donc calculer Q„ et -~ - j nous avons posé plus haut O = R,H,,M,N,+ Br,n3M,,N3-t- BtRiMvNi-i- B„n.
Pour p = po, II est nul ; de sorle que
Q„= B,HÎM,N,+ B3RSM3lN.i-t-B4R;MiN,..
Comme les fonctions R ne sont définies qu'à un facteur constant près, nous pouvons supposer que K| = i, et que le coefficient de p- dans R3 et dans R.» est égal à I .
On trouve d'autre part
d où
dp
dO du
> r (,j.2-b"-)(r'--b^-) , (hl^-c"-)(v'=-c-')1 r ~'^^ [{'y— a2 ) ( 62 — c-^ ) ^ (c2— a2)(c-— 6-^)J'
Celle expression peul fucilemem se metlre sous la forme
du
OÙ les C sont des coefficients numériques faciles à déterminer. Nous trouvons d'abord
dv
(car nous savons que ii est nul).
Passons au calcul de
I rdQ /dvy 9.J du \(
Nous pouvons r(''duire ( .- ) au terme unique
Le terme cherché se réduit donc à
' El / Z^M?N.?(C,MiN,-i-C3M,N3-HCiMiN4)«'cr,
c'est-à-dire à
i E? ( C, p, Q, -+- C3 ?, Q3 + Cl p, o^ )
de sorte que finalement
J =J„+Ç,B3R2l>,+ c,,B..RÎQj-h iE;(.C,P.,<>,-l-C3p3'->:,+ G.,j3..Q,).
Le calcul des coefficients B^R^iis et B^R^iî^ est aisé.
Si en effet ai, b,, Ci, sont les trois axes d'un ellipsoïde, on sait que son moment d'inertie est
J = -^«i6,C|(i;-l-er),
d'où
=è,c,(/.î + cr), = a.cU36r + cr), — = -b,c,{ù-, + ic\).
Si nous ajoutons à l'ellipsoïde une couche infiniment mince d'épaisseur
igo SUR LA STABILITE DE L'EQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
/;;l^Il^<l. la ligure reste ellipsiiidale, mais les Irois axes subissent des accroissements
/uiç3M(,"Ny', /l2>?3MÇ^'Nt-i, /I5IÇ3M',"N'/',
où /l'i, M.f, Nf{i^ I, 2, 3) sont les fonctions /, M3, IN3, où l'on a fait respeclivemeul :
pour i = i :
\x = b, V = c, p = po;
pour 1 = 2:
,a = a, v = c, p = po; pour j = 3 :
;x = rt, \ = b, p = po.
On voit alors que
Dans les dérivées -7^ ! • • • i on a fait bien entendu
(itii
"1 = v'ipii — «-)- ''1 = v'(?ii — ^-)t c,= \'{pl-~c^). On trouverait de même l'expression de B4RJÎ2.., .
Conditions de la stabilité.
Soit U l'énergie de gravitation de la masse envisagée, J le moment d'inertie, to la vitesse angulaire; l'énei-gie totale sera U + -w-J.
Soit 0),, la vitesse angulaire de l'ellipsoïde critique Eu et posons
notre énergie totale sera W + eJ.
Nous avons trouvé plus haut le développement de W et celui de J jusqu'à l'approximation qui nous convient; nous avons d'abord
W = \V„+ SG,?? -+- Ho?5 -I- SQ/b?/-
Nous avons appris à calculer les coefficients G,, Ho et Q, ; nous remarquerons : 1" que les G( ne sont autre chose que les coefficients de stabilité; 2° que G5 est nul, et qu'il en est de même de Q5 ainsi que de tous les coefficients Q, qui ne se rapportent pas à une fonction de Lamé paire et uniforme.
Comme H,, se compose de deux parlies qui joueront un rôle assez diflôrenl, j'écrirai
Ho= H + H',
JNous avons d'aulre part
j = j„-i- Yo^:^-)- T^fn-i- T'.!'.
et nous avons appris plus haut à calculer les coeflicients y.
On obtiendra les équations qui définissent la poire, en écrivant que les dérivées de l'énergie sont nulles; on trouve ainsi :
i" [*ar la dérivée par rapport à ^,-, :
2° Par la dérivée par rapport à H;, :
2 Oj |.-i -I- Qn ? I + EV3 = 0 ; 3" Par la dérivée par rapport à ^,, :
2 C... I4 -I- Qi Ç? + Eyi = o ; 4" Par la dérivée par rapport aux autres t, :
2G<?<-<- QiH = o.
Le rapprochement de ces diverses équations donne
L -J 21., j v -.'.Uj 2Cj4 / La quantité dont il faut déterminer le signe, c'est
Or
Posons alors
OjJ — (OoJo = tOo(J — Jo) H Jo.
n n y^2ll-2ll'
Ou voit (lue la quaiuiU' dont il faut déienniner le signe sera
Il est aisé de véritier (|ue celle formule (A) esl homogène; voici ce que j'enleuds par là. Les tondions de Lamé M, ne sonl délinics (ju'à un fadeur conslanl prés, el nos formules, pour avoir un sens, doivenl èlre homogènes par rapport à chacun de ces fadeurs conslanls arbitraires. L'intégrale
0,= flMfNf du
esl évideiamenl proportionnelle à la quatrième puissance de ce fadeur, puisque ce facteur entre également dans M, et dans iN,.
Nous devons donc vérifier que la formule (A) esl homogène par rapport ù ili, et en particulier par rapport à i2;,. Pour écrire, par exemple, qu'une quantité (B) esl proportionnelle à la a.'""" puissance de il; el à la p"""' puissance de 12,-,, j'écrirai
lî = [ofQP].
Je trouve ainsi
[i,-L),= r^^M,?N?M;N/f/cr= [q., v^fJ/], d'où 8,-=r'^l = Lfi5t2r^J.
r,Q,= f l^miNlMi?^idG=[ o'q; J,
On trouve ensuite
Q,.= [[i,.t.,] = [Q., v/û;]; H = [rQ,]=[Q?]> ii'=Lp;Qd = [«:L <i, = [û/];
2|^=[lin' etenlin ^^ g :- H . H' = [U? J.
Les coefficients appelés plus haut B, el C, dans le calcul de J sont proporliouneU à 12, % ce qui donne
Y,= [|ï,0:;| = Wih], Y,= [15,0,] = [y/o;];
De même
d'où
SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. igS
D'autre part
(le sorte que liualement le second membre de notre formule (A) est homogène et de degré i par rapport à 0.^, et ue contient pas les autres i2,.
Détermination des intégrales.
Dans les coefficients et les formules (jui précédent entrent diverses intégrales, et nous devons chercher à les calculer.
i" Les axes de l'ellipsoïde Eq élanl supposés connus, on formera aisément les diverses fonctions R,-, ce n'est (ju'une affaire de calcul algébrique; on a à résoudre diverses équations algébriques, et ces équations sont du second degré pour toutes les fonctions de Lamé d'ordre o, 1,2, 3, et pour quelques-unes de celles d'ordre 4 f^l 5.
Les fonctions R,- étant formées, on aura immédiatement les valeurs R" qui correspondent à p ::= p,, et aussi celles des dérivées successives R), R-', ....
2° Dans nos équations figurent les intégrales S, ; or le calcul de ces intégrales
se ramène à celui des intégrales définies / ^P i ;r) 5^^'
Quelle est la forme de la fonction^) (|ui figure sous le signe / ? Nous
allons l'exprimer en fonction de l'argument elliptique 9, et nous emploierons les notations p et i de Weierstrass. Soit R/=n,n-, H,- étant le produit de o, i, 2, ou 3 des facteurs \/(p- — a'-), ^/(p- — 6-), \/{p- — c-) et II,' un produit de facteurs de la forme p- — X|. Nous poserons
p-— «-= P(6)— ei, (.'- — b^-=p((l) — e"-, p^ — c2= p(e) — fi:,, e,-i-e«-h e-i=o; d'où
p-— P(8) = «-— *?!= b-— e, = C-— e3= --(a--hb--i- c-). Nous avons d'ailleurs comme on sait
La valeur zéro de l'argument 0 correspond à p =00, et nous appelleronsûo et E/c les valeurs qui correspondent à p ^ po ou à p = ^a.
H. p. — VIT. 25
Considérons alors la l'onclion -r^ comme une fonction doublement périodique,
et décomposons-la en éléments simples. Les éléments simples seront
i" Un terme constant.
2" Des termes en
p(0 — co,), p(0 — lOo), P((î — W:i)
provenant des facteurs y/(p- — a'-), \/ {p- — b-), y{p- — c'-'), qui peuvent exister dans R,.
3" Des termes en
provenant des facteurs p- — l'I.
Les coefficients de ces divers termes, sauf le terme constant, peuvent se déterminer par un calcul purement algébrique.
Quant au terme constant, c'est une fonction linéaire non homogène desÇ(£A), fonction linéaire dont les coefficients peuvent se calculer algébricjuement.
L'intégrale indéfinie contiendra donc des termes en
0, er(Ei), ae-io,), U^-o.u), ^(e-coa), iog^l'^l'], i:(()£^.) + ^(e + £,),
-) c — tx J
ce qui donnera dans l'intégrale définie des termes en
-I {''0 — it)
Le calcul de S, se ramène donc au calcul de ces diverses quantités. Connaissant S/, on aura immédiatement Sj et S] par les formules
4" Nous avons ensuite les intégrales doubles
iU= f lM}Nf(h.
M? est un polynôme entier connu en p{'h)', N," est le même polynôme en j3(02); nous avons d'ailleurs
Quant aux limites d'intégration, elles sont données par les équations a2>|ji'->62>v2>c"-, d'où ei>Jj(e,)>e..>p(02)>e3, ce qui montre qii il faut faire xuricr 0, depuis d), — W;, jus(ju'à w, + ùj;, et Oj
SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES. It)5
depuis w- — oji jus<[u'à to, 4- w, le long des côtés convenables du recUingle des périodes.
Les limites ('tant constantes, l'intégrale double se ramène à une combinaison d'inlcgrales simples :
Ces intégrales simples se calculent d'une façon 1res simple. On peut par un calcul algébrique décomposer M/ et M,'jj(Oi) en éléments simples, c'est-à-dire en polynôme dont les termes sont des multiples de jj(Oi) et de ses dérivées. Parmi ces termes nous retiendrons seulement le terme constant et le terme en jj(Oi). Le premier donnera comme intégrales gji et w,, le second ru et y];, à un facteur numérique près.
Le calcul de 12, est ainsi ramené à celui des périodes to et r).
5" Nous avons ensuite les intégrales
Qi{ii= r/-'M?N?M;N,û'a= V — I p-M^\5M,N;[p(e,) — p(0,)lrfO,
Ici encore M? M; est un polynôme entier en ,p(Oi) et N'^N, (!St le même polynôme en j3(02). On a d'ailleurs
(P5-|^-)(p5-v^l [p(lii)-p(B„)l[p(0,)-jn"o)J
Notre intégrale double se ramène encore à une combinaison d'intégrales simples
■'■' 'L.' P(0.)-Plfo)j p(0,)-p((i„) J p(0,)-p(0„)./ j,(0,)-p(U„) J'
Le calcul se fait de la même manière. Cliacune des fonctions sous le signe / doit être décomposée en éléments simples, ces éléments sont une constante; p(Oi) ou ses dérivées, et enlin
Les coefficients de celle décomposition pouvant se calculer algébriquement, l'intégration introduira, outre les périodes u et rj, deux transcendantes nouvelles, qui seront
— 4a8o)W:,-Flog— — -— — = 4-n:.flo— 4w:.?(e,),
7(tO|-f-W;, — \)o) 3(L<lt I0:;-I-O|,)
,,,„ , , 'j'((o-, — oj| — On ) a'(co ; -f- (0| -H f)„ ) -4C(6o)co,+ log^ ' ' " ] ^' ' " =4-niB„-4o3i^(9o)
l ( tù;i +0)1 \J„) ■!( O);; 0>| -|- 0„ )
qui se ramènent d'ailleurs toutes deux à Oq et à ^0„).
6° Nous avons ensuile l'inlégrale €1,— ijui esl la dérivée de la précédenle
par rapport à p. (Ici 0 est, biea entendu, pris égal à p,,.)
Elle dépend des dérivées par rapport à p des quatre intégrales simples qui ligurent dans l'expressipn ci-dessus de ii,[3,.
La dérivée de chacune de ces intégrales simples se calcule d'ailleurs aisément. Chacune de ces intégrales esl une somme de produits où l'un des facteurs esl 1, cj,, m ou ïî,0„ — 6o,Ç(0o) et où l'autre facteur esl un coeflicient calculable algébriquement.
I^a dérivée de ce coefficient par rapport à p,, sera ainsi calculable algébriquement, et (piant à la dérivée du premier facteur elle sera
O, O. 0 mi T,; — (0,
11 ne s'introduit donc aucune transcendante nouvelle. 7° Considérons maintenant l'intégrale
iNous aurons
''^ [p(",)-p(o.,>inp'»-i)-jMO„)]-^'
d'où
^ ( 7 [p(0,)- p(9o)J-J [p(0.)-p(Uo)? r Nf.M-, r iVi:;p(0i)f/0i )
~J lp(f).)-p("o)JV |p(9,')-p(HojJM'
On opérerait toujours de la même manière en décomposant chaque fonction sous le signe /en éléments simples. Les éléments simples seront ici. outre une constante ,p(0| ) et ses dérivées :
Ç(0,-hO„)-Ç(0,-6o)-2^0„) el ])(0,-t-Û„) + p(0,-O„)-?p(e„).
L'intégration introduira donc les mêmes transcendantes que dans le cas de £2,p,- et en outre (par l'intégration du dernier élément simple que je viens de citer) : 4^/ — '^''>p{^Ki)i ce qui n'est pas une transcendante nouvelle.
8" Il ne nous reste plus que les intégrales iîj ^ i i^., -1-^ qui sont les dérivées de la précédente.
Eu raisonnant comme dans le cas de — pj on verrait que ces intégrales n'introduisent pas de transcendante nouvelle.
Le calcul de ces trausccndanles ne peut présenter de difllcullé si l'on emploie les formules de Weierstrass réunies et mises sous une forme si commode par les soins de M. Sclivvarz. On n'a qu'à employer des séries très convergentes procédant suivant les puissances de la quantité que Jacobi appelle q et Weierstrass h. D'ailleurs dans le cas de l'ellipsoïde Eq, la valeur de q est si petite que l'on pourrait s'arrêter au premier terme. Ainsi dans le calcul dej3,, de F, de leurs dérivées et de £2,, on ne rencontrera aucun obstacle; car il ne s'introduit qu'un petit nombre de transcendantes wj, o):,, t)i, rjj, ^(Oo), O». Le calcul ne serait pas tout à fait aussi facile pour S,, de sorte que, dans ce cas, on pourrait recourir avec avantage aux développements donnés par M. Darwin à la fin de son Mémoire Ellipsoïdal Harmonie Analysis, et qui procèdent suivant la quantité qu'il appelle [3.
Si les axes de l'ellipsoïde jacobien critique sont comme l'a calculé M. Darwin dans son second Mémoire : o,65o66; 0,81498; 1,88 583; on trouve, sauf erreur de calcul de ma part ;
•«1 = 0,53790; (1J3 = f X o,9o52iS
T|i= 1,1936; 1:î = — ÎX 0,9080;
Oo=o, 27501; Ç(6o) = 0,71640.
Nouvelle expression des conditions de stabilité.
La détermination de chacune des intégrales ne présente donc aucune difficulté, et le calcul serait en somme facile si ces intégrales n'étaient en nombre infini.
Rappelons le résultat obtenu plus haut. La poire sera stable ou instable, suivant que Vexpression
sera positive ou négative.
Or nous pouvons tout de suite remarquer que parmi les quantités qui figurent dans cette expression : T, J„, o^, --n, y,, G;,, G,, H ne dépendent que d'un nombre fini d'intégrales, tandis que
Vif el Il'=i.yl£i!i^'Q ^^ 2 Gf 2 ^ 2 n + I
dépeudenl d'une inflnilé d'intégrales. Toute l;i dlfliculté provient donc du calcul de la quantité
Heureusement il ne s'agit pas de calculer la valeur exacte de cette quantitc^, mais de reconnaître si elle satisfait à une certaine inégalité. Pour étudier cette inégalité, il faut que nous mettions en évidence le signe de plusieurs de nos quantités.
Commençons par les coefdcients de stabilité G,. Si nous suivons la série des ellipsoïdes de Mac Laurin, tous ces coefficients sont d'abord négatifs. Le coefficient G;, changera de signe, tous les autres restant négatifs, f[uand nous arriverons à l'ellipsoïde de bifurcation, qui est en même temps un ellipsoïde de Mac Laurin et un ellipsoïde de Jacobi. Mais à partir de cet ellipsoïde de bifurcation, on abandonne la série des ellipsoïdes do Mac Laurin pour suivre celle des jacobiens.
Pour celte série le coefficient G3 est également négatif, en vertu du principe de l'échange des stabilités convenablement interprété. Pour les premiers jacobiens jusqu'au jacobien critique, tous les coefficients G, seront donc négatifs sauf G;,. Pour le Jacobien critique, tous les G, sont négatifs sauf G3, qui est nul, et G^, qui est positif.
Déterminons ensuite le signe de
Y ^ £0 JS t1 .
105 2G:i ^Gt
Je renverrai u mon Mémoire du Tome 7 des Acta, et au paragraphe intitulé Stabilité des ellipsoïdes. J'ai expliqué dans ce paragraphe que tous les jacobiens sont stables si l'on assujettit (à titre de liaison) la figure de la masse fluide à rester ellipsoïdale, c'est-à-dire si l'on assujettit tous les ^, à être nuls sauf ^3 el ç,.
J'ai exposé en même temps la condition de la stabilité, qui avec notre notation actuelle s'écrit
W-\V„-"](J-J„)'<o, ou comme il s'agit de petites déformations
En supposant tous les ?, nuls sauf ^^s et S/,, et remplaçant W — Wq et J — Jq par leurs valeurs, nous trouvons
G3?.?+Gi??;-^(-r.,?3+T>?0'-<o, 2 Jo
ce qui entraîne rinégalilo
Comme oj^, Jq et G3 sont positifs et G, négatif, l'inégalité change de sens quand on la divise par yîj G;, G,, ce qui donne
\ii)5 2G,/\<»1 2Gv/ 4G3G4 W5 \W5 2G3 2G4/
OU enfin Y < o.
Passons à la détermination de signe de T. Pour cela nous allons envisager le coefficient G5 pour un ellipsoïde de Jacobi très peu difl'érent du jacobien critique.
Soit E„ cet ellipsoïde, et ^wj-f-s la valeur de -w'' correspondante. Nous
pourrons considérer £ comme définissant l'ellipsoïde E'^ ; nous supposons e très petit.
Soit ensuite S une surface peu différente de Eq et de E'„. Soit da' un élément de la surface de E'„ et /' la quantité qui joue par rapport à E'„ et à d(j' le même rôle que l par rapport à Eq et à d(7. Par les ditférents points de rfa' je mène des courbes normales aux ellipsoïdes homofocaux à E'„, et je les prolonge jusqu'à leur rencontre avec S. Soit di>' le petit volume ainsi formé. Je supposerai que la surface S ait été définie de telle sorte que l'on ait
Tî étant un coefficient constant très petit, M* et N* les fonctions qui jouent par rapport à E', le même rôle que M., et N,, par rapport à Eo.
Soit maintenant da un élément de Eo, par da menons des courbes p. =const. i> = const. prolongées jusqu'à S, et soit du le petit volume ainsi engendré. Nous poserons
de sorte que les coefficients Ç, pourront servir à définir la forme de S. Il est
aOO SUR LA STABILITE DE L EQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
clair i]iie les ï, sont des fonclioQs de £ et de n, développables suivant les puissances de £ et de rj.
Pour £ = o, l'ellipsoïde E', se réduit à E,,, et tous les 5, s'annulent à l'exception de $5, qui se réduit à ■/).
Pourri =0, la surface S se rt-duit à E'„ ; alors ^:, et L sont des quantités du premier ordre, e étant regardé comme de premier ordre, tandis que les autres ^, seront du deuxième ordre.
Si donc £ et v sont regardées comme des quantités du premier ordre, Ç, (en excluant les valeurs « = 3, 4, 5) sera du deuxièm»; ordre, parce que tous ses
termes contiendront en facteur soit £-', soit £r/; 5:, et £, se réduiront à -^ ; et
à --|:^£ à des quantités près du deuxième ordre; ^5 se réduira à n à des quantités
près du deuxième ordre.
Nous devons calculer W+£j.
Dans ce qui va suivre, nous négligerons les quantités du quatrième ordre et en plus £^ et £'-r). Dans ces conditions nous pouvons négliger d'abord tous les monômes du quatrième ordre par rapport aux ^, et arrêter le développement de W suivant les puissances des ^ au troisième ordre inclusivement. Nous pouvons également négliger les monômes du troisième ordre multipliés par £, et par conséquent arrêter le développement de eS suivant les puissances des ^ au deuxième ordre inclusivement.
Nous négligerons en outre : les fj (^i ^é: 3, 4, 5) qui sont du quatrième ordre; les monômes du troisième ordre en ^:, et ^, qui sont au quatrième ordre prés égaux à un multiple de s'; les termes en ^,Ç/,£y(« 7^ 3, 4- ^: ^"1 J = 3, 4i 3)i q"' sont du quatrième ordre; les termes on i\i{^i ^ 3, 4) 5), qui pourraient figurer dans £.1, parce qu'ils contiennent £- en facteur et par consôqunet sont, au quatrième ordre près, égaux à un multiple de £' plus uu multiple de t'-rt.
Dans ces conditions nous devons conserver les termes suivants :
dans ^^ :
W = W„-i- G,?s-i- G»??-4- Q-,?1Ç;,+ Qil?^,
dans £.J :
£j = ;.lo-+- EYo?= -I- £Tn?:i-t- EYi?,,
d'où
W-t-£.J =('W„+sJo)-+-G,t5-hGi?î-i-Q3Ç?$:,+ Q»??^-i-£To?I + £T:>b+E;iÇv.
Pour Y) = o, celte expression se réduit à
W'o = (\V„ -H £. !„)-!- 0.1$= •+-G;Çj-l-£Y:l?;)H-£Yl?l,
efl ses dérivées doivent s'annuler, puisque le jacobien esL une figure d'équilibre.
On aura donc
2G3Ç3+ ETs = 2Gi|t+e-|-i= o,
d'où, à des quantités près de l'ordre de s-, ou de sr), Comme ^5 se réduit à 0, pour s = o, on aura
en négligeant e', s'-rj, £/)■', rj''. En faisant rj = o il vient
W; = (W.^eJ„)-J(g^g).
D'autre part, comme v) joue par rapport à E', le même rôle que ^5 par rapport à Eo, on aura avec la même approximation
G', étant le coefficient de stabilité relatif à l'ellipsoïde E'„ et au « third zonal harmonie ».
On aura donc
Si nous supposons que E'„ est plus allongé que Eu, £ sera négatif, puisque les vitesses de rotation vont en diminuant dans la série des jacobiens. D'ailleurs G'j sera positif, puisque le coefficient de stabilité est passé du négatif au positif quand on a franchi l'ellipsoïde critique. Donc T < o.
Revenons aux conditions de stabilité de la poire.
Posons
.^daG,- (1)5 2Gs 2Gv
Nous avons trouvé
?fX-+-£T = o,
£ se rapportant à la poire et non plus à E'„.
loJ — co„J„ XY
Pour la stabilité, il suffit que w soit maximum, c'est-à-dire que £ soit négatif; il faut et il suffit que uJ soit minimum, c'est-à-dire que
wJ — (0,1 J„ > o.
Or £ < o, éniiivaut, puisque T esl ni^galif, à X < o. C'est donc là une condition suffisante de la stabilité.
\Y Supposons maintenant X >- o; alors T sera négatif, -=r positif, et wJ — WoJq
négatif; il v aura donc iastal)ilité.
En résumé la condition nécessaire et suffisante pour la stabilité est X ■< o, ou
ou
ij^7.n-^-i ^^20i
Si nous observons que R,' est positif, S; négatif, les G, négatifs sauf G;,, nous verrons que tous les termes du premier membre sont positifs sauf 2 H et — ■;^ ■
Si donc il y a instabilité, c'est-à-dire si l'inégalité précédente n'a pas lieu, il suffira pour le constater de calculer un nombre fini de termes du premier membre. Si au contraire il y a stabilité, on ne pourra s'en assurer qu'en calculant la somme des termes positifs du premier membre qui sont en nombre infini, ou en évaluant une limite supérieure de cette somme.
JRevue Générale des Sciences, t. 3, p. Sog-Siô (i5 (Iccembre 1892)
D'après les idées généralement admises, tous les astres ont été originairement liquides ou gazeux, et ceux qui n'ont pas conserve leur fluidité primitive, ont gardé, en se solidiliant, la figure qu'ils avaient prise quand ils étaient encore fluides.
Les astronomes ont ainsi été conduits à se poser le problème suivant, afin d'expliquer la figure des corps célestes : quelles sont les forces auxquelles étaient soumises ces masses fluides qui sont devenues les astres actuels et quelles formes d'équilibre devaient prendre ces masses sous l'influence de ces forces ?
La première de ces forces était l'attraction newtonienne. Chaque molécule fluide était attirée par les autres parties de la masse en raison directe des masses et en raison inverse du carré des dislances. La seconde était la force centrifuge produite par la rotation de la masse. On admet que cette rotation devait être uniforme, c'est-à-dire que toutes les parties de la masse devaient effectuer un tour complet dans le même temps. Et en eff'et, si cette uniformité n'existait pas, le frottement mutuel des diverses parties du fluide l'aurait promplement rétablie.
Déterminer la figure d'équilibre dun fluide soumis à ces forces est un problème d'Hydrostatique. Ce problème est très difficile, et sa solution, quelque incomplète qu'elle soit encore, a exigé de grands efforts, que l'importance de la question justifiait d'ailleurs pleinement.
(•) Voir aux Notes, Masses fluides en rotation {figures annulaires et résultats divers).
2o4 FORMES d'Équilibre d'une masse fluide en rotation.
Plusieurs goomèlres du siècle derniur, parmi lesquels ClaiiMul doit être cité en première ligne, ont résolu le problème, en supposant que la rotation est lente el que la figure d'équilibre diffère pou d'une sphère. C'est bien le cas, en effet, pour toutes les planètes dans leur état actuel; et cependant cela ne saurait suffire, car ou [leut se demander s'il en est encore de même pour certaines étoiles, comme les étoiles variables, par exemple. On peut aussi supposer, comme le faisait Laplace, que la matière, qui a servi à former les planètes, a d'abord, en se détachant du .Soleil, affecté une forme annulaire et par conséquent très différente d'une sphère.
Dés qu'on ne se restreint plus aux figures sphéro'idales, le problème devient beaucoup plus difficile, et il est encore bien loin d'être résolu, même en supposant, comme nous allons le faire, que la masse fluide considérée est homogène, c'est-à-dire que sa densité est constante.
Mac-Laurin a montré qu'une des figures d'équilibre (jue peut affecter un fluide homogène en rotation est un ellipsoïde de révolution aplati. Pendant longtemps on a pu croire que cette solution était unique.
Mais Jacobi, au commencement de ce siècle, a découvert une solution vraiment inattendue : certains ellipsoïdes à trois axes inégaux, appelés aujourd'hui ellipsoides de Jacobi, sont également des figures d'équilibre. La rotation s'effectue autour du petit axe.
Ce résultat causa un grand étonnement. On s'était habitué à regarder comme évident que toutes les formes d'équilibre devaient être des surfaces de révolulion. Il n'v a aucune raison pour cela, el cette évidence apparente était vaine. L'exemple n'est d'ailleurs pas rare dans les annal(\s de la Science et ce n'est pas là le premier fantôme de ce genre qu'on ait vu se dissiper ainsi.
Certaines personnes ont voulu expliquer de la sorte la variabilité de certaines étoiles à courte période. Si ces astres ont la forme d'ellipso'ides de Jacobi, ils se présentent à nous tantôt par le grand axe, tantôt par l'axe moyen et leur surface apparente doit varier périodiquement. Il est impossible pour le moment de se prononcer sur la valeur de celte explication.
On a fait une autre hypothèse qui se trouve reproduite dans quelques Ouvrages, bien qu'elle ne soutienne pas un instant d'examen. A une certaine époque, les géodésiens avaient cru observer que l'aplatissement du globe n'est pas le même pour les différents méridiens el que la Terre affecte la forme d'un ellipso'ide à trois axes inégaux. On a dit que cette figure devait être un ellipso'ide de Jacobi. C'était oublier que les ellipso'ides de Jacobi différent tous
FORMES D EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 2o5
beaucoup de la sphère el que le seul (pii soit compatible avec la vitesse de rotation de la Terre est une sorte d'aiguille très allongée.
Après la découverte de Jacobi, on a été naturellement conduit à se demander s'il n'existait pas d'autres formes d'équilibre non ellipsoïdales.
Le problème a été nettement posé dans l'admirable Traité de l'hilosophie naturelle de Thomson et Tait où se trouvent quelques pages éminemment suggestives. Ce sont ces pages qui ont inspiré les recherches ultérieures, parmi lesquelles les plus importantes sont, sans contredit, celles de AI. LiapounofT. Les travaux de ce savant russe, ceux de M. Matthiessen, de M""' Kowalevski et les miens ont mis en évidence l'existence de nombreuses formes d'équilibre sur lesquelles je voudrais donner quelques détails.
L Formes nouvelles d'équilibre.
Equilibre. — Si l'on fait varier d'une manière continue le moment de rotation (c'est-à-dire le produit du moment d'inertie par la vitesse de rotation), les ellipsoïdes de Mac-ljauriu, comme ceux de Jacobi se déforment d'une manière continue.
Considérons d'abord les ellipsoïdes de révolution de Mac-Laurin. Quand le moment de rotation croîtra, l'aplatissement, d'abord très faible, croîtra constamment el finira par devenir très considérable; la vitesse de rotation croîtra jusqu'à un certain maximum, pour décroître ensuite jusqu'à s'annuler.
Elle peut en elTet décroître, bien que le moment de rotation croisse, parce que l'autre facteur, qui est le moment d'inertie, croît 1res rapidement.
On arrive à des résultais analogues, ainsi que l'a démontré Liouville, en ce qui concerne les ellipsoïdes de Jacobi. Ces ellipsoïdes n'existent que si le moment de rotation est supérieur à une certaine valeur. Quand ce moment va en croissant à partir de celte valeur, la vitesse de rotation décroît et finit par s'annuler; le grand axe va en croissant et le petit axe en décroissant sans cesse; l'axe moyen décroît plus rapidement encore. D'abord il est égal au grand axe, de telle façon que l'ellipsoïde est de révolution autour du petit axe, c'est-à-dire de l'axe de rotation; au contraire quand le moment de rotation est très grand el la vitesse de rotation très petite, l'axe moyen est presque égal au petit axe, de telle sorte que la figure ressemble à un ellipsoïde de révolution très allongé.
On voit que les deux catégories d'ellipsoïdes forment deux séries continues de figures d'équilibre. Mais il y a une figure (jui est commune aux deux séries
2o6 FORMES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.
el qui esl, si l'on veul me pennellre celle comparaison, un point de bifurcation. Je veux parler de l'ellipsoïde de Jacobi (pii correspond à la valeur minimum du moment de rotation; il est en ellet en même temps, ainsi que je viens de le dire, un ellipsoïde de révolution aplati.
Je l'appellerai l'ellipsoïde Ej.
Les figures nouvelles d'équilibre dont il me reste à parler forment de même des séries continues; et quelques-unes d'entre elles, cpii appartiennent en même temps à la série des ellipsoïdes de Mac-Laurin ou à celle des ellipsoïdes de Jacobi, sont de véritables figures de bifurcation analogues à E,.
Je vais chercher à faire comprendre la forme de ces figures nouvelles. Prenons d'abord pour point de départ un ellipsoïde de révolution. Partageons-en la surface en n + i zones, en y traçant n parallèles. Partageons-la de même en ip fuseaux égaux paryo méridiens équidislants.
Ces parallèles et ces méridiens, se coupant à angle droit, déterminent une sorte de damier; imaginons maintenant que la surface de l'ellipsoïde se creuse ou se soulève, de telle façon que les cases noires de notre damier soient remplacées par des montagnes très peu élevées et les cases blanches par des vallées très peu profondes; nous obtiendrons ainsi une figure d'équilibre très pou difTérente de l'ellipsoïde.
Pour nous rendre compte de la forme des autres solides d'équilibre de la même série, nous n'avons qu'à supposer que ces reliefs vont en s'accentuanl et (pie les lignes qui séparent les dépressions des montagnes se déforment peu à peu.
Il est inutile d'ajouter (|ue l'aplatissement de l'ellipsoïde qui sert de point de départ et les latitudes de nos n parallèles ne peuvent pas être choisis arbitrairement el qu'ils ne sont pas les mêmes pour toutes les séries.
Le nombre n peut être nul de telle sorte que l'ellipsoïde soit seulement divisé en fuseaux; le nombre /> peut aussi être nul, de sorte qu'il soit seulement divisé en zones.
A chaque combinaison des deux nombres /; et/) correspond une série de figures nouvelles d'équilibre. Observons toutefois que les combinaisons (n = o, /) = I ), (n^ i , p =^ o), (rt = 1 , /j = I ) ne donnent que l'ellipsoïde de Mac-Laurin déplacé, mais non déformé, et que la série qui correspond à la combinaison (^n = o. p ^= 2) n'est autre chose que la série des ellipsoïdes de Jacobi.
Ces figures nouvelles d'équilibre admettent p plans de symétrie passant par
FORMES d'équilibre D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 207
l'axe de rolation. Si p est nul, elles sont de révolution autour de cet axe. Enfin, si n est pair, elles ont un p + i'*"" plan de symétrie perpendiculaire à l'axe de rotation.
Il existe d'autres séries de formes d'équilibre que l'on obtient en prenant comme point de départ un ellipsoïde de Jacobi.
Voici comment on les obtient :
Traçons à la surface d'un ellipsoïde de Jacobi n lignes convenablement choisies de façon à la diviser en n + i zones, entourant les pôles du grand axe. (Ces lignes doivent être choisies parmi celles que les géomètres appellent lignes de courbure. )
Imaginons maintenant que la surface de l'ellipsoïde se creuse ou se soulève de telle façon que la première de ces zones soit remplacée par une montagne,
Kig. I.
la zone suivante par une vallée, la suivante par une montagne et ainsi de suile. Nous obtiendrons ainsi une figure d'équilibre très peu din"érente de l'ellipsoïde.
Pour nous rendre compte de la forme des autres solides d'équilibre de la même série, nous n'avons qu'à supposer que ces reliefs vont en s'accentuant. Notre ellipsoïde déformé va présenter alors une suite de renflements et d'étranglements alternatifs, formant comme une série de plis transversaux.
A chaque valeur du nombre «, à partir de «= 3 inclusivement, correspond une de ces séries de figures d'équilibre.
Toutes admettent deux plans de symétrie rectangulaires, l'un perpendiculaire à l'axe de rotation, l'autre passant par cet axe. Les figures d'équilibre qui correspondent à une valeur paire de n admettent un troisième plan de symétrie perpendiculaire aux deux premiers.
J'appellerai particulièrement l'attention sur la série qui correspond à « = 3. Je représente sur la figure i l'un des solides d'équilibre de celte série. Le trait pointillé est le contour de l'ellipsoïde de Jacobi qui a servi de point de départ, et le trait plein est le contour de la nouvelle figure d'équilibre.
2o8 -FORMES d'Équilibre d'une masse fluide en rotation.
Parmi les figures do celle série, il y en a une qui esl en même temps un ellipsoïde de Jacobi. Je l'appellerai l'ellipsoïde F^,.
Stabilité. — Tous ces solides sont des ligures d'équilibre, mais cel équilibre esl-il slable '? C'est ce que nous avons encore à examiner.
Lord Kelvin (Sir W. Thomson) et M. Tait, dans l'Ouvrage que j'ai cilé plus haut, ont les premiers remarqué qu'il y a deux sortes de stabilité.
Observons d'abord qu'il y a deux espèces d'équilibre. 11 y a, en premier lieu, l'équilibre absolu qui esl atteint quand tous les corps envisagés sont en repos; mais ce n'est pas celui-là que nous avons à considérer dans le problème qui nous occupe, puisque noire masse fluide n'est pas en repos mais en rotation. Seulement, elle paraîtrait en repos, à un observateur qui serait entraîné comme elle dans un mouvement de rotation uniforme : elle serait en équilibre relatif par rapport à cet observateur.
Les lois de l'équilibre absolu et celles de l'équilibre relatif ne sont pas tout à fait les mêmes. L'un et l'autre sont stables quand ils correspondent au minimum de l'énergie totale du système envisagé. Il est clair on effet que, pour faire sortir le système de sa situation d'équilibre, il faut lui fournir une certaine quantité d'énergie, et qu'il ne pourra s'en écarter beaucoup que si cette dépense d'énergie esl très grande.
Cette condition, qui esl toujours suffisanle, esl nécessaire dans le cas de l'équilibre absolu; elle ne l'est pas dans le cas de l'équilibre relatif; un système animé d'un mouvement de rotation très rapide peut être on équilibre slable sans que l'énergie soit minimum.
C'est là l'explication d'une foule de paradoxes dynamiques; je n'en citerai qu'un qui esl d'observation vulgaire et qui, pour celle raison, a presque cessé de nous sembler surprenant : la toupie, quand elle tourne assez vile, peut se maintenir debout sur la pointe.
Ainsi, quand même l'énergie n'est pas mininuim, un système peut conserver son élat d'équilibre relatif pendant un temps indéfini. Il le pourrait du moins si les frottements étaient nuls.
Mais Lord Kelvin a démontré que, si les froUemenls existent, quelque faibles qu'ils soient, il n'en est plus de même et que l'équilibre finira par être détruit, à moins que l'énergie ne soit minimum. C'est ainsi, pour reprendre notre exemple, que la toupie finit par se ralentir et par tomber.
Il y a donc deux sortes de stabilité : la stabilité ordinaire, dont les frotte-
menu finissent par avoir raison, el la stabilité séculaire que les frottemenls ne peuvent détruire.
C'est la seconde qui doit nous intéresser le plus.
En se plaçant au point de vue de la stabilité séculaire, les ellipsoïdes de Mac-Laurin, moins aplatis que Ei, sont stables; les autres sont instables. Les ellipsoïdes de Jacobi, moins différents de l'ellipsoïde de révolution que Ej, sont stables; les autres sont instables.
Enfin toutes les figures nouvelles dont nous avons parlé plus haut sont instables, à l'exception de la série sur laquelle nous avons insisté à la fin du paragraphe précédent (').
C'est celle qui dérive de l'ellipsoïde de Jacobi et qui correspond au cas de /i=:3. C'est elle dont fait partie la forme d'équilibre que nous avons représentée plus haut sur la figure i.
