L'OS 2 C

L'expression du potentiel V étant ainsi corrigée, nous pouvons écrire les conditions d'équilibre. r,a condition nécessaire et suffisante est, en effet, que l'expression

\ (H -h rcosz -h % cos 2 o cos o ■+- m cos 3 ç cos o -t- . . . )

soit indépendante de l'angle cp. Dans l'expression précédente nous négligerons

tous les termes qui contiennent en facteur - ou jS:,, (3,, . . . , ou (3;, ou o)'-p2. Elle ne contiendra plus alors que des termes en coscp ou cos2(p. Egalons à zéro les coefficients di' cusç» et cos2œ. Nous obtiendrons les deux équations suivantes :

cj'- ;cB.>r /•'• in /•■' , 8 H

g étant exprimé par une intégrale définie.

On lire de là les valeurs approximatives de oj- et de pj :

- =-v, lo.s l) et

j /-^ , AR 76Ri'°« — '

h étant une constante numérique exprimée par une intégrale définie.

On voit ainsi que la section méridienne peut être assimilée à une ellipse dont

l'aplatissement est approximativement -j—- Quant au moment de la quantité de

JOJ-

mouvement, il a pour valeur asymptotique

M.-RV'^(.og^-i)

ce qui montre que ce moment croît indéfiniment quand R croît lui-même, tandis que la vitesse angulaire tend au contraire vers zéro.

Les mêmes méthodes sont applicables à la troisième solution de MM. Tait et Thomson, qui est celle où la figure d'équilibre est formée de plusieurs anneaux concentriques. L'existence de la solution se démontrerait comme plus haut. Nous allons chercher à en déterminer les éléments.

Nous prendrons seulement deux anneaux que nous assimilerons à des tores

de ravoas r el R , ;• et R, en négligeant les aplatissements des sections méridiennes. Ces deux lores devront avoir un plan de symétrie commun, perpendiculaire à l'axe. IN'ous appellerons o l'angle que fait avec ce plan de symétrie le rayon qui joint un point M de la surface du tore au centre de la section méridienne correspondante; nous appellerons de même o' l'angle analogue pour le second tore. Nous supposerons R > R'. Nous appellerons \u le potentiel en un point de la surface du premier tore et V'„ la valeur du potentiel en un point de la surface du second tore. Nous trouverons, en nous bornant aux premiers termes :

,., .SR r. r- ,/, 8R' qX ., is H - r'- r coi t.

N, = .r-log— --^,eosç(^log— -.^^.rMog^--^-^ R-R '

Soient u et w' les vitesses de rotation des deux tores ; il faudra pour l'équilibre que les deux expressions

Vo -I ( R -H r cos 3 ). V'o H — — ( R' -f- r cos :' i

soient indépendantes de o et o'. ce qui nous donne les deux équations

n/-3 >. ij r.r-r

w- t\ r — — — log — ■; T—, = o

Si l'on veut que oj = '»', il faut donc que l'on ait

.M = .= rr'(R R;(^log-.-^log — j,

M étant la masse totale du fluide. Cette équation montre que R — R' doit être très petit par rapport à R, ou bien que l'on doit avoir approximativement

Si en effet R — R' n'est pas très petit par rapport à R, le produit --rr'(R — R') est de même ordre de grandeur que r-R, W-R', où M, et par conséquent le dernier facteur du second membre, doit être fini.

Je réserve pour un article ultérieur la discussion de la stabilité de ces figures d'équilibre. Je me bornerai, pour terminer, à faire la remarque suivante qui. malgré sa simplicité, n'a pas été faite encore à ma connaissance.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. 25

Si la vitesse angulaire 'jj dépasse une certaine limite, il n'v a aucune figure d'équilibre stable possible (').

En effet, pour que l'équilibre soit stable, une condition nécessaire, mais non suffisante, c'est que la résultante de l'attraction et de la force centrifuge, qui doit être normale à la surface d'équilibre, soit dirigée vers l'intérieur de la masse.

Soient V le potentiel dû à l'attraction, 'ai la vitesse angulaire, /• la dislance à l'axe, et posons

Les composantes de la force seront -3-1 -j-i -j^ et la force estimée suivant la

normale -;— • On aura d'ailleurs dn

I ,/ïC; r/ti' ^-\' ritx ,jt\-

dx-

dv'- dz'-

dx'-

dv^-

dz-

Le théorème de Green donnera donc

l'intégrale étant étendue à tous les éléments de la surface d'équilibre. Si

donc 'jj>y/2-, l'intégrale sera positive; il sera donc impossible que -3— soit toujours négatif, ce qui est nécessaire pour que la résultante de toutes les forces soit toujours dirigée vers l'intérieur de la masse. L'équilibre stable est donc impossible. c. p. r. d.

\'oir aux Notes, A/asses fluides en rotation 1 résultats dûers •

SUR