ig

iMfc.. 4.

Fig. 5.

ellipsoïdes ne pourront subsister, et la masse fluide devra prendre la forme d'un ellipsoïde de Jacobi, d'abord peu différent d'un ellipsoïde de révolution {fig- 4) puis plus allongé (Jig. 5).

Mais l'ellipsoïde de Jacobi, cessera, à son tour, d'être stable et la masse fluide prendra des formes d'équilibre appartenant à la série de figures nouvelles représentées plus haut {fig- i)-

D'abord peu différentes de l'ellipsoïde Eo, notre masse fluide prendra pour ainsi dire la forme d'un œuf avec un gros et un petit bout.

Puis elle se creusera dans le voisinage du petit bout {fig. 6); ce relief

s'accentuant peu à peu, il se produira à cette place un étranglement {fig- 7) qui fera présager la division du fluide en deux masses distinctes.

Ces deux niasses, s'élant séparées, restent d'abord voisines l'une de l'autre.

Fig. 8.

Fis

Chacune d'elles, sous l'influence de l'attraction de l'autre masse, prend une figure piriforme {fig- 8).

Le refroidissement continuant, chacune des masses se condense, sa rotation devient de plus en plus rapide et cesse d'être égale à la vitesse de révolution des deux masses autour de leur centre de gravité commun. Enfin, quand les

dimensions des deux niasses sonl devenues suffisamment petites par rapport à la distance qui les sépare, leur figure se rapproche de l'ellipsoïde {fig- q).

On pourrait être tenté de tirer de là des conséquences cosmogoniques et d'expliquer de celte manière l'origine des planètes. Le Soleil, en se condensant pou à peu, n'aurait pas alors, comme le croyait Laplace, abandonné successivement des anneaux d'où les planètes seraient sorties ensuite : il se serait au contraire déformé jusqu'à ce qu'une petite masse, destinée à devenir une planète, se détache d'un point quelconque de son équateur. Mais, avant d'adopter celte conclusion, il faut tenir compte de certaines remarques qui lui enlèvent beaucoup de probabilité.

En premier lieu, nous avons supposé notre masse homogène; au contraire, la nébuleuse, qui a servi à former le système solaire, était sans doute très hétérogène et une grande partie de sa masse devait être condensée au centre. Il est impossible, pour le moment, de se rendre compte des changements que cette hétérogénéité apporterait dans nos résultats.

En second lieu, les deux masses représentées dans la figure 9 sont comparables; la plus petite serait sans doute la moitié ou le tiers de l'autre; au contraire la masse de Jupiter n'est que la millième partie de celle du Soleil.

Peut-être le processus que je viens de décrire {fig- 2 à 9) se rapproche-t-il plus de celui qui a produit certaines étoiles doubles que de celui d'où est sorti le système solaire. Tout dans tous les cas reste hypothétique.

Anneau de Saturne. — Les figures dont nous venons de parler ne sont pas les seules qui soient connues. Il y a longtemps déjà, M. Matthiessen avait entrevu la possibilité des figures annulaires d'équilibre, et le même résultat avait été retrouvé ensuite par Lord Kelvin, qui s'est borné à l'énoncer. Grâce aux travaux de M"° Kowalevski et aux miens, nous en possédons une démonstration rigoureuse, peu différente probablement de celle que Lord Kelvin avait découverte, mais n'a pas publiée.

On peut établir qu'une masse lluide en rotation, soustraite à toute action extérieure, peut prendre la forme d'un anneau analogue à celui de Saturne, mais sans masse centrale. Si la vitesse de rotation est faible, cet anneau sera une sorte de tore très délié dont la section méridienne différera très peu d'une ellipse peu aplatie; mais l'équilibre de ces figures est instable.

Pour bien le faire comprendre, le mieux est de dire quelques mots des

FORMES d'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 2i3

Iravaux de Maxwell sur la stabilité de l'anneau de Saturne. On peut faire, au sujet de la nature de cet astre, trois hypothèses différentes :

1° L'anneau est solide;

2° Il est formé d'un très grand nombre de satellites très petits, que le télescope ne peut séparer les uns des autres;

3" Il est fluide.

Laplace avait fait voir depuis longtemps que, si l'anneau est solide, son équilibre ne peut être stable si sa figure est symétrique et si son centre de gravité coïncide avec son centre de figure. Mais il croyait qu'il suffisait, pour rétablir la stabilité, de supposer des irrégularités peu importantes que les observations ne pouvaient déceler.

Un savant anglais, dont des iravaux d'une tout autre nature ont illustré le nom, le célèbre électricien Clerk Maxwell, a repris la question par une analyse très simple. Il a montré qu'un anneau solide est instable à moins de présenter des irrégularités énormes. Si elles existaient, le télescope nous les aurait fait connaître depuis longtemps. Si j'ajoute que, d'après les calculs de Hirn, un anneau solide, plusieurs milliers de fois plus résistant que l'acier, se romprait sous l'effort des attractions subies par l'anneau de Saturne, on conclura que la première hypothèse doit être rejetée.

Passons à la seconde, qui a été proposée autrefois par Cassini. Il serait trop difficile de traiter le problème dans toute sa généralité ; aussi Maxwell s'est-il borné à quelques cas simples; je ne parlerai que du plus simple de tous. Imaginons une couronne de satellites égaux, également espacés sur une circonférence ayant pour centre Saturne et décrivant cette circonférence d'un mouvement uniforme. Il est clair que ce mouvement peut se continuer indéfiniment si aucune cause extérieure ne vient le troubler. Mais, si une semblable cause vient y apporter une perturbation très petite, la couronne va-t-elle finir par se disloquer, ou bien sa déformation restera-t-elle très petite ?End'autres termes, l'équilibre de notre couronne sera-l-il stable ?

Je ne puis, bien entendu, reproduire ici l'analyse du savant anglais, et je dois me contenter d'un aperçu grossier. On peut voir d'abord que, si l'astre central n'existait pas, l'équilibre serait instable. Si, en effet, l'un des satellites prend de l'avance pour une cause quelconque, il se rapproche du satellite qui est devant lui et s'éloigne de celui qui est derrière. Il est plus attiré par le premier et

2l4 FORMES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

moins par le secoud : sa niarclie est encore accélérée; son avance tend à s'accroîlre el la couronne à se disloquer.

Si nous supposons au contraire que les masses des satellites soient infiniment petites par rapport à celle de Saturne, chaque satellite se comportera comme s'il était seul; or, uous savons (jue le mouvement d'un satellite isolé est stable.

On peut donc prévoir, sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours à un calcul complet, que la condition de la stabilité de notre couronne sera que sa masse soit suffisamment petite par rapport à celle de l'astre central.

Le même résultat subsiste pour un système plus compliqué de satellites; c'est encore le même qu'obtient Maxwell dans la troisième hypothèse, c'està-dire en supposant la masse fluide. Par un calcul qui n'est peut-être pas parfaitement rigoureux, il démontre qu'un anneau fluide ne peut être stable que si sa densité moj'enne est au plus égale à la 300' partie de celle de la planète.

Mais, on peut compléter le résultat de Maxwell par un raisonnement qui est assez court pour être reproduit ici. On sait que les électriciens se représentent un champ électrostatique comme sillonné par un très grand nombre de lignes de force. Ce qui définit une de ces ligues, c'est qu'en chacun de ses points la tangente est la direction de la force électrique.

Cette image leur est très précieuse, car elle peut remplacer dans la piatique une foule de formules mathématiques qui sont abstraites et compliquées. Mais ils usent aussi d'une autre image; ils supposent chacune de ces lignes de force remplacée par un petit canal qui est parcouru par un liquide fictif avec un débit constant et dans le sens de la force électrique. La quantité de ce liquide imaginaire qui passe à travers une surface quelconque, s'appelle le flux de force qui traverse cette surf^ice. Tout se passe alors comme si chaque molécule d'électricité positive émettait continuellement une quantité constante de ce liquide, et si chaque molécule d'électricité négative en absorbait au contraire continuellement une quantité constante. On peut, en d'autres termes, résumer toutes les lois de l'Electrostatique, en disant que le flux de force qui traverse une surface fermée est proportionnel à la somme algébrique des masses électriques contenues à l'intérieur de cette surface.

La même règle peut s'appliquer à l'attraction newionienne : celte force suit, en effet, la même loi que l'attraction électrique, qui est la raison inverse du carré des distances. Elle s'applique encore quand, au lieu de considérer la

FORMES d'Équilibre d'une masse fluide en rotation. ?.ij

gravitation seule, on considère la résultante de la gravitation et de la force centrifuge.

Imaginons en efifet une matière fictive dont l'action sur les corps voisins soit conforme à la loi de iVewton, mais soit répulsive, au lieu d'être attractive. C'est ce que l'on peut exprimer, si l'on préfère, en disant que la densité de cette matière est négative.

Supposons que cette matière fictive afTecte la forme d'un cylindre de révolution indéfini, à l'intérieur duquel se trouvent tous les corps que l'on veut envisager, et que sa densité soit proportionnelle au carré de la vitesse de rotation. La répulsion exercée par cette masse fictive aura même grandeur et même direction que la force centrifuge. Pour obtenir la résultante de la gravitation et de la force centrifuge, il suffira donc de considérer à la fois l'action de toutes ces masses, tant réelles que fictives.

Cela posé, considérons notre masse fluide en rotation et une molécule superficielle faisant partie de cette masse, et soumise par conséquent à la gravitation et à la force centrifuge. La force totale, qui agit sur celte molécule, doit, pour qu'il y ait équilibre, être normale à la surface de la masse; mais, pour que cet équilibre soit stable, il faut de plus que cette force soit dirigée vers l'intérieur de la masse fluide, sans quoi elle tendrait à en détacher notre molécule. Toutes les lignes de force coupent donc normalement la surface de la masse, et le liquide imaginaire, qui est supposé les parcourir, et dont la vitesse a même direction que la force totale, doit toujours traverser cette surface en allant du dehors au dedans. 11 en résulte que le flux de force total qui traverse cette surface est positif, et comme, d'après la règle énoncée plus haut, il est proportionnel à la somme algébrique de toutes les masses, tant réelles que fictives, situées à l'intérieur de cette surface, cette somme algébrique doit aussi être positive.

En d'autres termes, la densité moyenne du fluide réel doit être supérieure en valeur absolue à la densité de la matière fictive, laquelle, comme nous l'avons vu, est elle-même proportionnelle au carré de la vitesse de rotation.

Cette régie, appliquée à l'anneau de Saturne, nous apprend qu'un anneau fluide ne peut être stable que si sa densité est au moins égale à la seizième partie de celle de la planète. Ce résultat, rapproché de celui de Maxwell, nous amène à cette conclusion que l'anneau ne peut être fluide, et nous force à adopter l'hypothèse de Cassini, que les observations de M. Trouvelot semblent d'ailleurs confirmer.

2l6 FORMES D EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Pour la même raison, les figures annulaires d'équilibre, étudiées par M""^ Kowalevski, ne peuvent être stables.

Figure de la Terre. — Je ne dirai que quelques mots du cas beaucoup plus difficile où la masse en rotation est supposée hétérogène. C'est certainement ce qui se passe pour la Terre, et ce qui complique encore la question, c'est que la loi suivant laquelle la densité varie dans linlérieur du globe nous est absolument inconnue. Loin de pouvoir nous en servir pour calculer l'aplatissement, nous devons, au contraire, profiter des mesures des géodésiens, pour tcâcher de deviner cette loi.

Nous disposons pour résoudre ce problème d'une autre donnée, qui est la constante de la précession des équinoxes. On sait en efTet que ce phénomène est dû à l'action du Soleil sur le renflement équalorial du globe terrestre, et comme cette action dépend de la façon dont varie la densité intérieure, les observations de la précession peuvent nous renseigner sur celte variation.

Au premier abord, on serait tenté de croire que le problème est non seulement toujours possible, mais qu'il reste indéterminé et qu'on pourra trouver une infinité de lois satisfaisant à ces deux données d'observation. Loin de là : une série de recherches récentes, parmi lesquelles celles de M. Radau sont les premières en date et en importance, ont montré qu'on ne peut trouver aucune loi des densités qui satisfasse à la fois à l'aplatissement mesuré et à la précession observée.

Les Géodésiens concluent à un aplatissement de 1/292, tandis que l'aplatissement le plus grand qui soit compatible avec la précession observée est de 1/297.

II est impossible pour le moment de se prononcer sur la valeur des nombreuses hypothèses que l'on peut faire pour expliquer celte divergence.

Les mesures géodésiqucs doivent-elles être révisées ? doit-on supposer que la Terre n'est pas un ellipsoïde de révolution et que l'aplatissement n'est pas le même suivant les divers méridiens ou dans les deux hémisphères ?

Je ne crois pas que les mesures les plus récentes autorisent celte conclusion.

Admettra-t-on que la Terre, solidifiée depuis longtemps dans presque toute sa masse, a conservé l'aplatissement dû à la vitesse de rolatlon qu'elle possédait au moment de sa solidification et que sa rotation a depuis cette époque été considérablement ralentie par l'action des marées ?

Croira-l-on au contraire (jue la croûte solide est très mince et que l'intérieur,

resté liquide, esl le siège de mouveinenls compliqués 1res difforenls de ceux que peut prendre un corps solide ? Les calculs de Laplace ayant été faits en regardant la Terre comme un solide invariable, on conçoit que la précession d'un pareil système puisse être très différente de la précession théorique.

Enfin, on peut supposer encore que l'aplatissement primitif a été altéré parce que les diverses couches, en se contractant par suite du refroidissement du globe, ont exercé les unes sur les autres des pressions et se sont mutuellement déformées.

Mais je m'arrête, il esl inutile de multiplier les hypothèses puisque toutes ces questions doivent rester provisoirement indécises.

SUR mE FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE

Comptes rendus de /'.icadèmie des Sciences, t. 132, p. 36j-3-ji (iS février 1901).

Ayant eu l'occasion de m'occuper du mouvement de rotation d'un corps solide creux, dont la cavité est remplie de liquide, j'ai été conduit à mettre les équations générales de la Mécanique sous une forme que je crois nouvelle et qu'il peut être intéressant de faire connaître.

Supposons qu'il y ait n degrés de liberté et désignons par a?i, Xj, . . . , x,, les variables qui définissent l'état du système. Soient T et U l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Envisageons un groupe transitif continu quelconque. Soit X;(y") une substitution inlinitésimale quelconque de ce groupe, telle que

Ces substitutions formant un groupe, on devra avoir

X/X;t — XjXi=^ Clk,sXx.

Nous pourrons poser (puisque le groupe est transitif)

^'(,= fj = ^,xi^+ •„,x^+. . . + vx;^

de telle façon qu'on puisse passer de l'étal (xi, Xo, . . ., x,,) du système à l'état infiniment voisin (xi-\~ x\ df, . . . ^ t„-\- x\^dt) par la substitution infinitésimale du groupe ^rn dt'K.il/).

T, au lieu de s'exprimer en fonction fies x' cl des x, pourra s'exprimer en