FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE. 2I(J

fonction des vj et des x. Si nous donnons aux n et aux x des accroissements virtuels oxi et ox, il en résultera pour T et U des accroissements

ol = 7, -r— on-i- > -p- oj;; oU = 7, -y- o;r.

.é^ a^ï] ^ r/x ^^ dx

Le groupe étant transitif, je pourrai poser

de telle façon que l'on puisse passer de l'état j?,- du système à l'étal infiniment voisin Xi+nxi par la substitution infinitésimale du groupe 2crL),X,(/). Je poserai ensuite

Soit alors l'intégrale de Hamilton

J = Ç (J — V>)di.

on aura

Or on trouve aisément

Le principe de moindre action nous donne alors

■ dt rtf),, .^.J rfïi,-

Les équations (1) comprennent comme cas particuliers :

1° Les équations de Lagrange, quand le groupe se réduit aux substitutions, toutes permutables entre elles, qui augmentent une des variables x d'une constante infiniment petite.

2° Les équations d'Euler pour la rotation des corps solides, où le rôle des /), est joué par les composantes p, q, r de la rotation, et celui de ii., parles couples dus aux forces extérieures.

Elles sont surtout intéressantes dans le cas où U étant nul, T ne dépend que des -f).

SUR UNE GENERALISATION DE LA MÉTHODE DE JACOBl

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 149, p. tio5-iioS (i3 décembre njoj).

On sait que la méthode de la variation des constantes permet de résoudre un problème de Dynamique quand on sait résoudre un autre problème de Dynamique plus simple, mais très peu différent. Mais il est avantageux de résoudre ce problème approché simple par la méthode de Jacobi, afin que les équations conservent la forme canonique. On peut rencontrer pour cela des difficultés, et c'est ce qui m'est arrivé quand j'ai voulu appliquer cette méthode à la théorie de la précession et de la rotation des corps solides ; j'ai été ainsi conduit à généraliser un peu la méthode de Jacobi.

Soit un système dynamique à n degrés de liberté, dont la situation est définie par n coordonnées .r,-; nous appellerons ï l'énergie cinétique, et U l'énergie

potentielle, T -f- U = F l'énergie totale; nous poserons yt = -r-, et nous aurons

les équations canoniques de Hamilton

dx dF dy __dV

*'^ di ~ d^' dt ~^ de'

Faisons un changement de variables, en exprimant les x en fonction de

n-\- n! variables nouvelles qu, en nombre plus grand que celui des degrés de

liberté, et posons

Nous reconnaîtrons qu'on a l'identité

fa) "Ly dx='^pdq\

que les p sont liés par n! relations linéaires, de sorte que n seulement d'entre