GÉNÉRALISATION DE LA MÉTHODE DE JACOBI
équations qui s'intègrent immédiatement puisque F ne dépend que des y', et pour le problème complet où F est remplacé par F* :
</x^ dF^ dy' (l¥'
(Ù rly' f/t dx'
Appliquoas celte méthode à la théorie de la précession; nous prendrons
parce que U est petit par rapport à T. Nous avons trois degrés de liberté, mais nous prendrons «+«'=5 coordonnées analogues à nos variables q, qui seront :
i" L'angle o du plan OP^, passant par l'axe O- mobile et par un axe arbitraire OP avec le plan O )'5 des yz mobiles ;
2° L'angle i); de l'axe 0^ mobile et de l'axe OP ;
3" L'angle / du plan OP-:, avec le plan OPZ qui passe par OP et par l'axe OZ fixe;
4" L'angle oj de OP avec (JZ;
5° L'angle 0 du plan OPZ avec le plan OYZ des YZ fixes.
Les variables p seront
d:T ,„ rfT ,, dT „ d'Y ^ (TV
rfç d>S^ dy^ dti) du '
elles représentent les moments de rotation par rapport à 0^, à une perpendiculaire à PO-, à OP, à une perpendiculaire à POZ, et enfin à OZ. On peut alors exprimer T en fonction de 9, ']i, 0, '>>, ■/, <I», G, 0; et, en introduisant notre fonction S et no faisant pas varier les constantes )'', on aura
(10) (^/S = <I> ^/a -t- G f/^ -f- e rfO — .1; ar<F — o) n'a.
Il faut alors déterminer <l>, G, 0, ']/ et oj de façon que le second membre de (10) soit une différentielle exacte et (pie T(cp, 1];, 0, w, y^, <1>, G, 0) se réduise à une constante ; la solution doit dépendre de trois constantes arbitraires. On j parviendra en faisant
j '{/ = consl., 0) = const., O = consl., ( 4> = G cos4' = const., 0 = G cosco = const. ;
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ce rjui ialrùduil bien trois constantes arljitraires indépendantes G, <I> et 0, et
qui donne
r,2 c A Cl*!»-
(A et G sont les deux moments d'inertie de la Terre).
Les conditions (ii) signilienl que OP est l'axe des moments de rotation; et l'on en conclut
<I"=Q = o, S = <i>9 + Cx-H0O.
Les variables <t, G, 0 jouent le rôle des y', donc o = -^, ;^ et 0 joueront le
rôle des x'; les six variables forment donc un système canonique; et l'on a pour une fonction F*= T + U quelconque
dt ~
dV
dz, dV dt ~ f/* '
r/0 Jt "
df de'
dG dt ~
rf* f/F* dt d^ '
de dt ^
du '
pour le problème approché simple où F =: T, on a
di d'ï 0 da dT A—C ^ d% dT
-fi' = -— = — = consl., -— = -r- = — n=r- 'P = const., -r- = -7— = o;
dt dO A ' dt da lAC ' dt de
rfG__nTr ^__f^ ^__;^
~dt ~ ~ dx ~ °' dt ~ do ~"' dt ~ ^0 ■" "■
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 123, p. giâ-giS (3o novembre 1896).
La théorie des soIulIoqs périodiques peut,, dans certains cas, se rattacher au principe de moindre action.
Supposons trois corps se mouvant dans un plan et s'atlirant en raison inverse du cube des distances ou d'une puissance plus élevée de ces dislances; j'appelle a, b, c ces trois corps.
L'énergie cinétique T est essentiellement positive et il en est de même de la
fonction des forces U, qui est égale à une somme de termes de la forme — - — >
où A- est une constante positive, m et m' les masses de deux des trois corps, r leur distance et n un exposant au moins égal à 2. L'action hamiltonienne
)dl
sera donc essentiellement positive.
Considérons une classe de trajectoires de nos trois corps a, b, c; ce seront des trajectoires fictives, c'est-à-dire ne satisfaisant pas aux équations du mouvement; mais elles seront soumises aux conditions suivantes :
1° A.U temps t, les distances des trois corps seront les mêmes qu'au temps tu', les vitesses seront les mêmes en grandeur et feront les mêmes angles avec les côtés du triangle des trois corps; en d'autres termes, la figure formée par les trois corps et par les droites (|ui représentent leurs vitesses aura repris à l'époque t, la même forme qu'elle avait à l'époque t„; ou bien encore les
distances de ces trois corps seront des fonctions périodiques du temps de période <i — <o-
2" La droite bc aura, entre les époques t^ et /i, tourné d'un angle donné «i.
3" La droite ac aura, entre ces mêmes épocpies, tourné d'un angle donné t.)i + 2 K^t:, K^ étant un entier donné.
4" La droile ab aura tourné d'un aiii^le (o, + 2K;,7r, K;, étant un entier donné.
Une classe de trajectoires fictives se trouve ainsi définie par trois constantes entièrement arbitraires ^o^ '1 e' ^i Pt par deux entiers arbitraires K^ et Kj.
Mais l'action hamiltonienne, ne pouvant devenir négative, admettra un minimum, et, en vertu du principe de moindre action, la trajectoire (|ui correspondra à ce minimum devra être une trajectoire elfective et satisfaire aux équations du mouvement.
Cette trajectoire eirective, d'après sa définition, correspondra à une solution périodique du problème dont la période sera /, — /„.
Je me propose de démontrer que, dans chaque classe de trajectoires fictives, il y en a une qui correspond à un minimum de l'action hamiltonienne et, par conséquent, à une solution périodique.
Pour cela, il me suffit de faire voir i|u'en faisant varier d'une manière continue notre trajectoire fictive, elle no pourra passer d'une classe à l'autre sans que l'action hamiltonienne devienne infinie.
En effet, le passage d'une classe à l'autre s'eflectuera lorsque deux des trois corps viendront à se rencontrer. Si, par exemple, a et c se rencontrent, la trajectoire considérée T sera infiniment voisine de deux autres T' et T"; pour T', le corps a passera très près de c, mais à droite; pour T", il passera très près de c, mais à gauche. Il est clair que les valeurs de l'entier K-j. qui correspondent à T' et à T", dlHéreronl d'une unité.
Je dis maintenant que, si a et c se rencontrent, l'action est infinie.
En ellet, l'action sera du même ordre de grandeur que / i\] dt , ou que
j 2 ^/i] dr, ou que ikinni' i — , c'est-à-dire infinie si /j J^ 2. ( )r on a n r= 2
si, comme nous le supposons, l'atiractioii s'exerce en raison inverse du cube des distances.
Alors, dans chaque classe, il doit y avoir un minimum de l'action; il doit
doue y avoir une Irajecloire olVective, cl celle liajecloire correspond à une sohilion périodique du problème.
A chaque système de valeurs des deux constantes arbitraires t^ — <o et wi et des deux entiers Ko et K3 correspond une solution périodique.
Noire raisonnement ne s'applique évidemment que si l'aUraclion pour les très petites distances est du même ordre de grandeur que l'inverse du cube de la dis lance ou d'ordre plus grand.
Dans tous ces cas, il y aura une infinité de solutions périodiques.
Mais, dans le cas de la loi de Newton, l'action ne devient plus infinie quand les deux corps se rencontrent; nous ne pouvons plus affirmer qu'il y a une solution périodique dans chaque classe.
Tout ce que nous pouvons dire, c'est qu'à cha(|ue valeur de la période t, — tu, et à chaque valeur de l'angle «1 (en ne considérani pas comme distinctes deux valeurs différant d'un multiple de 27:), correspond une solution périodique.
On pourrait obtenir certains autres résultats par l'artifice suivant : supposons que la loi d'allraclion soit celle de Newton tant que la dislance est supérieure à uue très petite (pianlité £, et celle de l'inverse du cube des dislances, (|uand la distance est plus petite que e. Alors, les trajectoires seront les mêmes qu'avec la loi de Newton, sauf si deux des corps s'approchent beaucoup l'un de l'autre, auquel cas le mouvement serait troublé pendant un temps très court. Au problème ainsi modifié, les considérations qui précèdent s'appliquent, mais les résultats, applicables au problème ordinaire des trois corps, que l'on peut obtenir ainsi, ne paraissent pas susceptibles d'un énoncé simple.
