ET I.E PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

Comptes rendus de VAcadémie des Sciences, t. 124, p. 713-716 (5 avril 1897).

Je considère un point mobile dans un plan, les écjualions du niouvenienl s'écrironl

et celle des forces vives s'écrira

, X ' l dx'- dY'-\ ,, ,

U étant la fonction des forces. Je me propose d'étudier à un point de vue nouveau les solutions périodiques de ces équations. La trajectoire qui correspond à une solution périodique sera une courbe fermée (T).

A chaque solution périodique correspondront deux exposants caractéristiques^ égaux et de signe contraire. Si ces deux exposants sont imaginaires, la solution périodique sera stable; s'ils sont réels, elle sera instable. Mais la considération du principe de moindre action va nous conduire à pousser plus loin cette classification et à distinguer deux sortes de solutions instables.

On sait, par le principe de Mauperluis, que l'intégrale

h ds.

appelée action, est plus petite pour une trajectoire satisfaisant aux équations (1) que pour une courbe inlinimenl voisine ayant mêmes extrémités.

Cela est vrai si ces deux exlrémilés sont 1res voisines l'une île l'auirc; mais, en général, tout ce que nous savons est ijue la variation première ôJ de l'intégrale J est nulle.

Gest là une condition nécessaire, mais non suffisante pour (|u'il y ait minimum.

Si l'on veut pousser plus loin la discussion, il faut avoir recours à la notion des foyers cinétiques dont je vais rappeler la définition. Soit M un point situé sur une trajectoire T; par ce point je mène une autre trajectoire infiniment voisine de T; si cette trajectoire vient recouper T en un point M', ce point M' sera le foyer de M.

L'étude des foyers cinétiques, dans le cas des solutions périodiques, m'a conduit aux résultats suivants :

Supposons d'abord la solution périodique stable; soient* l'arc de la trajectoire fermée (T) correspondante, compté à partir d'une origine quelconque, et S la longueur totale de celte trajectoire. Il existera une fonction /(.î) constamment croissante, augmentant de 27r quand i augmente de S, de telle sorte

que

La relation entre la valeur s de l'arc correspondant à un point M de (T) et la valeur s' correspondant à sou foyer M' sera

f{s') =/( s ) -h coust.

Si la solution périodique est instable, dcLix cas sont à distinguer : La solution sera de la première sorte, si aucun point de la trajectoire n'a de foyer. Alors les trajectoires correspondant aux solutions asymptoliques seront des courbes spirales s'enroulant autour de (T) et s'en rapprochant asymplotiquement. Les spires de ces courbes spirales ne coupent pas (T) et ne se coupent pas entre elles, au moins si l'on se borne à la partie de la courbe qui ne s'écarte pas trop de (T).

Mais un autre cas peut se présenter et nous dirons alors que la solution périodique instable est de la seconde sorte. La courbe fermée (T) sera divisée en un nombre pair d'arcs ; soient 2p ce nombre et Aq, Ai , ..., A2/J t les points de division. Pour plus de symétrie dans les notations, je désignerai indifleremmenl le point A,/ par les notations A,/, Aq+i,j, A,/^^4yJ, ....

1" Le point A^^ 1 sera le foyer de A,y.

2" Si un point M esl sur l'arc A,/Ay.f.i, son fojcr sera sur l'arc A^4 j A,y^2- 3" Soient M, le foyer de M, M-, le second foyer de M, c'esl-à-dire le foyer de Ml. M,, le ry'*"" foyer de M. Si le point M est sur l'arc AoAj. il en sera de même des points Mo/,, M^^j, . . . , Mo/,y,, ... et ces points se rapprocheront indéfiniment et constamment de l'un des points A,, ou Ai.

4" Il existera sur l'arc A,, A, un point B„ qui coïncidera avec son 2 /y'"'" foyer et, quand k tendra vers + 00, le point IM^^/,/) se rapprochera indéfiniment de B„.

Les solutions asvmploliques sont représentées alors par des courbes qui ne présentent plus la même forme que dans le cas précédent : elles coupent une infinité de fois la courbe (T), et les points d'intersection admettent comme points limites le point Aq et ses foyers ou le point Bo et ses foyers.

Cela posé, il y a deux faits sur lesquels je veux appeler l'attention :

i" La condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution périodique représentée par une courbe fermée (T) corresponde à une action moindre que toutes les courbes fermées infiniment voisines, c'est que celte solution soit une solution instable de la première sorte.

2" Supposons que l'on fasse varier d'une façon continue la fonction IJ et les conditions initiales du mouvement et que l'on envisage une solution périodique variant aussi d'une manière continue. On ne pourra jamais passer directement d'une solution instable de la première sorte à une solution instable de la deuxième sorte; on pourra passer seulement d'une solution instable de l'une d(^s deux sortes à une solution stable ou inversement.

Ce ([ue je viens de dire s'appliquerait sans changement au cas du mouvement relatif (').

Supposons que le point mobile soit rapporté à des axes mobiles, animés d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire w.

Les équations s'écriraient alors

d^x dv dV d^ y dx d\}

—ni 2 w —- = -^— , —r h 2 OJ -;- = -r-

dV- dt dx dv- dl dy

eu comprenant dans la fonction des forces U le terme proveuani de la force centrifuge ordinaire.

(') Voir aux Notes, Principes de Mécanique anal) tique.

23o SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET PRINCIPE DE MOINDRE ACTION,

F/éqiialioli (les forces vives serait eucore

et rexpression de raclion deviendrait

.1 = / [f/s y'U -I- h -\- (o(,r (ly —y dx)\.

Bévue Générale des Sciences, t. 8, p. 73^-743 (oo septembre 1897).

En 1890, le grand électricien Hertz était arrivé à l'apogée de sa gloire; toutes les Académies d'Europe lui avaient prodigué les récompenses dont elles disposaient. Tout le monde espérait que de longues années lui étaient encore réservées et qu'elles seraient aussi brillantes que l'avaient été celles de ses débuts.

Malheureusement, la maladie qui devait l'emporter si prématurément l'avait déjà atteint et bientôt ralentissait et arrêtait presque complètement son activité expérimentale. Il eut à peine le temps d'installer son nouveau laboratoire de Bonn; des maux divers le privèrent el nous privèrent des découvertes qu'il se promettait d'y faire.

Il servait encore les sciences physiques par l'influence énorme qu'il exerçait, par les conseils qu'il donnait à ses élèves; mais celte période n'est marquée que par une seule découverte personnelle, d'une importance capitale, il est vrai, celle de la transparence de l'aluminium par les rayons cathodiques.

Mais s'il était ainsi cruellement détourné des études qui lui avaient été si chères, il ne demeurait pas inactif; si ses sens le trahissaient, son intelligence lui restait, el il l'employait à de profondes réflexions sur la philosophie de la Mécanique. Les résultats de ces réflexions ont été publiés dans un Ouvrage posthume et je voudrais les résumer et les discuter ici brièvement.

Hertz critique d'abord les deux principaux systèmes proposés jusqu'ici et que j'appellerai le système classique et le système énergétique, et il en propose un troisième que j'appellerai le système hertzien.

Système classique.

I. Définition de la force. — La première tenlalive lio coordiualidn des fails mécaniques est celle que nous appellerons le système classique : c'est, dii Herlz, « la grande roule royale donl les principales stati(3ns porlenl les noms d'Arcliimède, Galilée. Newlon et Lagrange.

» Les notions fondamentales que l'on trouve au point de départ sont celles de Vespace, du temps, de la force et de la masse. La force, dans ce sysième, est regardée comme la cause du mouvement; elle préexiste au mouvement et est indépendante de lui. »

Je vais chercher à expliquer pour quelles raisons Herlz n'a pas été satisfait de cette manière de considérer les choses.

Nous avons d'abord les difficultés que l'on rencontre (juand on veut définir les notions fondamentales. Qu'est-ce que la masse? C'est, répond Newlon, le |)roduit du volume parla densité. — II vaudrait mieux dire, répondent Thomson et Tait, que la densité est le quotient de la masse par le volume. — Qu'est-ce que [diforce? C'est, répond Lagrange, une cause qui produit le mouvement d'un corps ou qui tend à le produire. — C'est, dira Kirchholl, le produit de la masse par V accélération. Mais alors, pourquoi ne pas dire que la masse est le quotient de la force par l'accélération?

Ces difficultés sont inextricables.

Quand on dit que la force est la cause d'un mouvement, on fait de la Méla- |)hysique, et cette définition, si l'on devait s'en contenter, serait absolument stérile. Pour qu'une définition puisse servir à quelque chose, il faut qu'elle nous apprenne à mesurer la force; cela suffit d'ailleurs, il n'est nullement nécessaire qu'elle nous apprenne ce que c'est que la force en soi, ni si elle est la cause ou l'efTet du mouvement.

Il faut donc définir d'abord l'égalité de deux forces. Quand dira-t-on que deux forces sont égales ? C'est, répondra-t-on, (juand, appliquées à une même masse, elles lui impriment une même accélération, ou quand, opposées directement l'une à l'autre, elles se font équilibre. Cette définition n'est qu'un Irompe-l'œil. On ne peut pas décrocher une force appliquée à un corps pour l'accrocher à un autre corps, comme on décroche une locomotive; pour l'atteler à un autre train. 11 est donc impossible de savoir quelle accélération telle force, appliquée à tel corps, imprimerait à l(d autre corps, si elle lui était appliquée.

Il est impossible de savoir comment se coinporleraienl deux forces (|ui ne sont pas directement opposées, si elles étaient directement opposées.

C'est celte définition que l'on cherche à matérialiser, pour ainsi dire, quand on mesure une force avec un dynamomètre, ou en l'équilibrant par un poids. Deux forces F et F', que je supposerai verticales et dirigées de bas en haut pour simplifier, sont respectivement appliquées à deux corps C et G'; je suspends un même corps pesant P d'abord au corps C, puis au corps C; si l'équilibre a lieu dans les deux cas, je conclurai que les deux forces F et F' sont égales entre elles, puisqu'elles sont égales toutes deux au poids du corps P.

Mais suis-je sûr que le corps P a conservé le même poids quand je l'ai transporté du premier corps au second? Loin de là, Je suis sur du contraire ; je sais que l'intensité de la pesanteur varie d'un point à un autre, et qu'elle est plus forte, par exemple, au ptMe qu'à l'équateur. Sans doute la différence est très faible et, dans la pratique, je n'en tiendrai pas compte; mais une définition bien faite devrait avoir une rigueur mathématique; cette rigueur n'existe pas. Ce que je dis du poids s'appliquerait évidemment à la force du ressort d'un djnamomètre, que la température et une foule de circonstances peuvent faire varier.

Ce n'est pas tout; on ne peut pas dire que le poids du corps P soit appliqué au corps C et équilibre directement la force F. Ce qui est appliqué au corps C, c'est l'action A du corps P sur le corps C; le corps P est soumis de son côté, d'une part à son poids, d'autre part à la réaction R du corps C sur P. En définitive, la force F est égale à la force A, parce qu'elle lui fait équilibre; la force A est égale à R, en vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction; enfin, la force R est égale au poids de P, parce qu'elle lui fait écpiilibre. C'est de ces trois égalités que nous déduisons comme conséquence l'égalité de F et du poids de P.

Nous sommes donc obligés de faire intervenir dans la définition de l'égalité de deux forces, le principe même de légalité de l'action el de la réaction; à ce compte, ce principe ne devrait plus être regardé comme une loi expérimentale, mais comme une définition.

Nous voici donc, pour reconnaître l'égalité de deux forces, en possession de deux règles; égalité de deux forces qui se font équilibre; égalité de l'action el de la réaction. Mais, nous l'avons vu plus haut, ces deux règles sont insuffisantes; nous sommes obligés de recourir à une troisième règle et d'admettre que certaines forces comme, par exemple, le poids d'un corps, sont constantes H. p. - VII. . 3o

en grandeur ol on direction. Mai.s cello troisième règle, je l'ai dii, est une loi expérimentale; elle n'est qu'approxinialivenieut vraie; ('lie est une /nauiiii.se lié finit itm.

Nous sommes donc ramenés à la définition de Kirchhod : la farce est égale à la masse multipliée par V arcéléralion. Cette « loi de Newton » cesse à son tour d'être regardée comme une loi expérimentale, elle n'est plus qu'une définition. Mais celle définition est encore insuffisante, puisque nous ne savons pas ce que c'est que la masse. Elle nous permet sans doute de calculer le rapport de deux forces appliquées à un même corps à des instants diflérenls; elle ne nous apprend rien sur le rapport de deux forces appliquées à deux corps diUerents.

Pour la compléter, il faut do nouveau recourir à la lioisièmo loi de Newton (égalité de l'action et de la réaction), regardée encore, non comme une loi expérimentale, mais comme une définition. Deux corps A et B agissent l'un sur l'autre; l'accélération de A multipliée par la masse de A est égale à l'action de B sur A; de même, le produit de l'accélération de B par sa masse est égal à la réaction de A sur B. Comme, par définition, l'action est égale à la réaction, les masses de A et de B sont en raison inverse des accélérations de ces deux corps. Voilà le rapport de ces deux masses défini et c'est à l'expérience à vérifier que ce rapport est constant.

Cela serait très bien si les deux corps A et B étaient seuls en présence et soustraits à l'action du reste du monde. Il n'en est rien; l'accélération de -A n'est pas due seulement à l'action de B, mais à celle d'une foule d'autres corps C, D, .... Pour appliquer la règle précédente, il faut donc décomposer l'accélération de A en plusieurs composantes, et discerner quelle est celle de ces composantes qui est due à l'action de B.

Cette décomposition serait encore possible, si nous adm.ettions que l'action de C sur A s'ajoute simplement à celle de B sur A, sans que la présence du corps C modifie l'action de B sur A, ou que la présence de B modifie l'action de C sur A; si nous admettions, par conséquent, que deux corps quelconques s'attirent, que leur action mutuelle est dirigée suivant la droite qui les joint et ne dépend que de leur distance; si nous admettions, en un mol, V hypothèse lies forces centrales.

On sait que, pour déterminer les masses des corps célestes, on se sert d'un principe tout dilFérent. La loi de la gravitation nous apprend que l'attraction

de deux corps esi proportionnelle à leurs masses; si /• est leur distance, m el

, , , , . . kmni

m leurs masses, k une constante, leur attraction sera — -- •

Ge qu'on mesure alors, ce n'est pas la masse, rapport de la force à l'accélération, c'est la masse attirante ; ce n'est pas l'inerlie du corps, c'est son pouvoir attirant.

C'est là ua procédé indirect, dont l'emploi n'est pas théoriquement indispensable. Il aurait très bien pu se faire que l'attraction fût inversement proportionnelle au carré de la dislance, sans être proportionnelle au produit des

masses, qu'elle fût égale à ^; mais sans que l'on eut

f = kiiim' .

S'il en était ainsi, un pourrait néanmoins, par l'observation des mouvements relatifs des corps célestes, mesurer les masses de ces corps.

Mais avons-nous le droit d'admettre l'hypothèse des forces centrales ? Cette hypothèse est-elle rigoureusement exacte? Est-il certain qu'elle ne sera jamais contredite par l'expérience? Qui oserait l'affirmer? Et si nous devons abandonner cette hypothèse, tout l'édifice si laborieusement élevé s'écroulera.

Nous n'avons plus le droit de parler de la composante de l'accélération de A qui est due à l'action de B. Nous n'avons aucun moyen de la discerner de celle qui est due à l'action de C ou d'un autre corps. La règle pour la mesure des masses devient inapplicable.

Que roste-t-il alors du principe de l'égalité de l'action et de la réaction? Si l'hypothèse des forces centrales est rejetée, ce principe doit évidemment s'énoncer ainsi : la résultante géométrique de toutes les forces appliquées aux divers corps d'un système soustrait à toute action extérieure, sera nulle. Ou, en d'autres termes, le mouvement tlu centre de gravité de ce système sera revtiligne et uniforme.

Voilà, semble-t-il, un mo^en de définir la masse; la position du centre de gravité dépend évidemment des valeurs attribuées aux masses; il faudra disposer de ces valeurs de façon que le mouvement de ce centre de gravité soit rectiligne et uniforme; cela sera toujours possible si la troisième loi de Newton est vraie, et cela ne sera possible en général que d'une seule manière.

Mais il n'existe pas de système soustrait à toute action extérieure; toutes les parties de l'Univers subissent plus ou moins fortement l'action de toutes les

23b LES IDEES DE HERTZ SUR LA MECA^ IQUE,

autres parties. La loi du mouvement <lu centre île granité n^esl ligoineusement vraie que si on l'applique à V Univers tout entier.

Mais alors il faudrait, pour eu tirer les valeurs des niasses, observer le mouvement du centre de gruvltt'; de l'Uuivers. L'absurdité de cette conséquence est manifeste: nous ne connaissons cjue des mouvements relatifs; le mouvement du centre de gravité de l'Univers restera pour nous une éternelle inconnue.

Il ne reste donc rien et nos efl'orts ont été infructueux; nous sommes acculés à la définition suivante, qui n'est qu'un aveu d'iuipuissance : les masses sont des coefficients qu'il est commode d' introduire dans les crdculs.

Nous pourrions refaire toute la Mécanique en attribuant à toutes les masses (les valeurs différentes. Cette Mécanique nouvelle ne serait en contradiction ni avec l'expérience, ni avec les principes généraux de la Dynamique (principe de l'inertie, proportionnalité des forces aux masses et aux accélérations, égalité de l'action et de la réaction, mouvement rectiligne et uniforme du centre de gravité, principe des aires).

Seulement les équations de cette Mécanique nouvelle seraient m'j«/)^«'/ny;/e5. Entendons-nous bien : ce seraient simplement les premiers termes qui seraient moins simples, c'est-à-dire ceux que l'expérience nous a déjà fait connaître; peut-être pourrait-on altérer les masses de petites quantités sans que les équations complètes gagnent ou perdent en simplicité.

J'ai insisté plus longuement que Hertz lui-même SLir cette discussion; mais je tenais à bien montrer que Hertz n'a pas cherché à Galilée et à Newton une simple querelle d'Allemand; nous devons conclure, qu'avec le système classique, il est impossible de donner de la force et de la masse une idée satisfaisante.

2. Objections diverses. — Hertz se demande ensuite si les principes de la Mécanique sont rigoureusement vrais. « Dans l'opinion de beaucoup de physiciens, dit-il, il apparaîtra comme inconcevable que l'expérience la plus éloignée puisse jamais changer quelque chose aux inébranlables principes de la Mécanique; et cependant ce qui sort de l'expérience peut toujours être rectifié par l'expérience. »

Après ce que nous venons de dire, ces craintes paraîtront superflues. Les principes de la Dynamique nous apparaissaient d'abord comme des vérités expérimentales; mais nous avons été obligés de nous en servir comme de définitions. C'est par définition que la force est égale au produit de la masse par

l'accélùralion; voilà un principe qui est désormais placé hors de l'alteinte d'aucune expérience ulléi-ieure. C'est de même par définition que l'aclion est égale à la réaction.

Mais alors, dira-t-on, ces principes invérifiables sont absolument vides de toute signification; l'expérience ne peut les contredire; mais ils ne peuvent rien nous apprendre d'utile; à quoi bou alors étudier la Dynamique?

Celle condamnation trop rapide serait injuste. 11 n'y a pas, dans l;i Nature, de syslème parfaitement isolé, parfaitement soustrait à toute action extérieure; mais 11 y a des systèmes à peu près isolés.

Si l'on observe un pareil système, on peut étudier non seulement le mouvement relatif de ses diverses parties l'une par rapport à l'autre, mais le mouvement de son centre de gravité pur rap|)ort aux autres parties de l'Univers, (ju constate alors que le mouvement de ce centre de gravité est ('/ peu près recliligue et uniforme, conformément à la troisième loi de JNevvton.

C'est' là une vérité expérimentale, mais elle ne pourra être infirmée par l'expérience; que nous apprendrait en effet une expérience plus précise? Elle nous apprendrait que la loi n'était quà peu prés vraie; mais, cela, nous le ' savions déjà.

On s' explique maintenant comment V expérience a pu servir de hase aux principes de la Mécanique et cependant ne poui i a jamais les contredire.

Mais revenons à l'argumentation de Hertz. Le système classique est incomplet, car tous les mouvements qui sont compatibles avec les principes de la Dynamique ne sont pas réalisés dans la Nature, ni même réalisables. En effet, il est évident que les principes des aires et du mouvement du centre de gravité ne sont pas les seules lois qui régissent les phénomènes naturels. Sans doute, il serait déraisonnable d'exiger de la Dynamique qu'elle embrassât dans une même formule toutes les lois que la Physique a découvertes ou pourra découvrir. Mais il n'en est pas moins vrai qu'on doit regarder comme incomplet et insuffisant un système de Mécanique où le principe de la conservation de l'énergie est passé sous silence.

« Notre système, conclut Hertz, embrasse, il est vrai, tous les mouvements naturels, mais il en embrasse en même temps beaucoup d'autres qui ne sont pas naturels. Un système qui exclura une partie de ces mouvements, sera plus conforme à la nature des choses et constituera par conséquent un progrès. » Tel sera, par exemple, le système énergétique dont nous parlerons plus loin et

dans lequel le principe fondamental de la conservation do l'cuergle s'introduit tout uauirellement.

Peut-èlro ne coinprendra-t-on pas très bien ce qui empêche d'annexer tout simplement ce principe fondamental aux autres principes du système classique.

Mais Hertz se pose encore une atilre question :

Le système classique nous donne une image du monde extérieur. Cette image est-elle simple ? y a-t-on épargné les traits parasites, introduits arbitrairement à côté des traits essentiels? Les forces que nous sommes conduits à introduire ne sont-elles pas de véritables rouages inutiles, tournant à vide?

Sur cette table repose un morceau de fer; un observateur non prévenu croira que, puisqu'il n'y a pas de mouvement, il n'y a pas de force. Combien il se tromperait ! La Physique nous enseigne que chaque atome du fer est attiré par tous les autres atomes de l'Univers. De plus, chaque atome du fer est magnétique et par conséquent soumis à l'action de tous les aimants de l'Univers. Tous les courants électriques du inonde agissent aussi sur cet atome. J'allais oublier les forces électrostatiques, les forces moléculaires, etc.

Si quelques-unes de ces forces agissaient seules, leur action serait énorme; le morceau de fer volerait en éclats. Heureusement elles agissent toutes et elles se conlrebalancenl, de sorte qu'il ne se passe rien du tout. Votre observateur non prévenu, (jui ne voit qu'une chose, un morceau de fer en repos, conclura évidemment que toutes ces forces n'existent que dans votre imagination.

Sans doute, toutes ces suppositions n'ont rien d'absurde, mais un système qui nous en débarrasserait serait, par cela seul, meilleur que le nôtre.

11 est impossible de n'être pas frappé de la portée de cette objection. Pour montrer, d'ailleurs, qu'elle n'est pas purement artificielle, il me suffira de rappeler le souvenir d'une polémique qui a eu lieu, il y a quelques années, entre deux savants tout à fait éminents, von Helmhollz et M. Bertrand, à propos des actions mutuelles des courants. M. Bertrand, cherchant à traduire dans le langage classique la théorie de von Helmholtz, se heurtait à des contradictions insolubles. Chaque élément du courant devait êlre soumis à un couple; mais un couple se compose de deux forces parallèles, égales et de sens contraire. M. Bertrand calculait que chacune de ces deux composantes devait être considérable, assez grande pour amener la destruction du fil, et il concluait au rejet de la théorie. Au contraire, von Helmholtz, partisan du système énergétique, ne voyait là aucune difficulté.

LES IDÉES DE HERTZ SUR LA MÉCANIQUE. sSg

Ainsi, d'après Hertz, le système classique doit être abandonné :

i" parce qu'une lionne définition de la force est impossible;

2" parce qu'il est incomplet;

3" parce qu'il introduit des hypothèses parasites et que ces hypothèses peuvent engendrer souvent des difficultés purement artificielles et assez grandes cependant pour arrêter les meilleurs esprits.