II. — Système énergétique

I . Objections diverses. — - Le système énergétique a pris naissance à la suite de la découverte du principe de la conservation de l'énergie. C'est von Helmholtz qui lui a donné sa forme définitive.

On commence par définir deux quantités qui jouent le rôle fondamental dans cette théorie. Ces deux quantité sont : d'une part, Vénergie cinétique ou force vive; d'autre part, Vénergie potentielle.

Tous les changements que peuvent subir les corps de la nature sont régis par deux lois expérimentales.

i" La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est une constante. C'est le principe de la conservation de l'énergie.

2° Si un système de corps est dans la situation A à l'époque t^ et dans la situation B à l'époque <,, il va toujours de la première situation à la seconde par un chemin tel que la valeur moyenne de la dilTérence entre les deux sortes d'énergie, dans l'intervalle de temps qui sépare les deux époques tu et l^, soit aussi petite que possible.

C'est là le principe de Hainilton, qui est une des formes du principe de moindre action.

La théorie énergétique présente sur la théorie classique les avantages suivants :

i" Elle est moins incomplète; c'est-à-dire que les principes de la conservation de l'énergie et de Hamilton nous apprennent plus que les principes fondamentaux de la théorie classique et excluent certains mouvements que la Nature ne réalise pas et qui seraient compatibles avec la théorie classique;

2" Elle nous dispense de l'hypothèse des atomes, qu'il était presque impossible d'éviter avec la théorie classique.

24o LES IDÉES DE HERTZ SUR LA MÉCANIQUE.

Mais elle soulève à son loiir de nouvelles difficultés; avant ile parler des objections de Hertz, j'en signale deux qui nie viennent à l'esprit :

Les définitions des deux sortes d'énergie soulèveraient des difficultés presque aussi grandes que celles de la force et de la masse dans le premier sjstème. Cependant on s'en tirerait plus facilenieiil, au moins dans les cas les plus simples.

Supposons un système isolé formé d'un certain nombre de points matériels; supposons que ces points soient soumis à des forces ne dépendant que de leur position relative et de leurs dislances muluelles et indépendantes de leurs vitesses. En vertu du principe de la conservation de l'énergie, il devra y avoir une fonction des forces.

Dans ce cas simple, l'énoncé du principe de la conservation de l'énergie est d'une extrême simplicité. Une certaine quantité, accessible à l'expérience, doit demeurer constante. Celle quantité est la somme de deux termes : le premier dépend seulement de la position des points matériels et est indépendant de leurs vitesses; le second est proportionnel au carré de ces vitesses. Celte décomposition ne peut se faire que d'une seule manière.

Le premier de ces termes, que j'appellerai U, sera l'énergie potentielle; le ■ second, que j'appellerai T, sera l'énergie cinétique.

Il est vrai que si T -t- U est une constante, il en est de même d'une f(jnctiun quelconque de T + U, cp(ï -f- U).

Mais celle fonction (p(T-|-U) ue sera pas la somme de deux termes, l'un indépendant des vitesses, l'autre proportionnel au carré de ces vitesses. Parmi les fonctions qui demeurent constantes, il n'y en a qu'une qui jouisse de cette propriété, c'est T + U (ou une fonction linéaire de T + U, ce qui ne fait rien, puisque celte fonction linéaire peut toujours être ramenée àT + U par un changement d'unité et d'origine). C'est alors ce que nous appellerons l'énergie; c'est le premier terme que nous appellerons l'énergie potentielle et le second qui sera l'énergie cinétique. La définition des deux sortes d'énergie peut donc être poussée jusqu'au bout sans aucune ambiguïté.

U eu est de même de la définition des masses. L'énergie cinétique ou force vive s'exprime très simplement à l'aide des masses et des vitesses relatives de tous les pcjinls matériels, par rapjjorl à l'un d'entre eux. Ces vitesses relatives sonl accessibles à l'observalion, et, quand nous aurons l'expression de l'énergie cinétique en fonction de ces vitesses relatives, les coefficients de cette exj)ression nous donneront les masses.

LES IDÉES DE HERTZ SUR LA MÉCANIQUE 24l

Ainsi, daas ce cas simple, on peut définir les notions fondamentales sans difficulté. Mais les difficultés reparaissent dans les cas plus compliqués et, par esemple, si les forces, au lieu de dépendre seulement des distances, dépendent aussi des vitesses. Par exemple, Weher suppose ([ue l'action mutuelle de deux molécules électriques dépend non seulement de leur distance, mais de leur vitesse et de leur accélération. Si les points matériels s'attiraient d'après une loi analogue, U dépendrait de la vitesse, et il pourrait contenir un terme proportionnel au carré de la vitesse.

Parmi les termes proportionnels aux carrés des vitesses, comment discerner ceux qui proviennent de T ou de U? Comment, par conséquent, distinguer les deux parties de l'énergie?

Mais il y a plus, comment définir l'énergie elle-même? Nous n'avons plus aucune raison de prendre comme définition T + U plutôt que toule autre fonction de T + U, quand a disparu la propriété qui caractérisait T + U, celle d'être la somme de deux termes d'une forme particulière.

Mais ce n'est pas tout, il faut tenir compte, non seulement de l'énergie mécanique proprement dite, mais des autres formes de l'énergie, chaleur, énergie chimique, énergie électrique, etc. Le principe de la conservation de l'énei'gie doit s'écrire

T -I- U -+- O = consi.,

où T riiprésonlerait l'énergie cinétique sensible, U l'énergie potentielle de position, dépendant seulement de la position des corps, Q l'énergie interne moléculaire, sous la forme tlicrmiqiie, chimique ou électrique.

Tout irait bien si ces trois termes étaient absolument distincts, si T était proportionnel au carré des vitesses, U indépendant de ces vitesses et de l'état des corps, Q indépendant des vitesses el des positions des corps et dépendant seulemeat de leur état interne.

L'expression de l'énergie ne pourrait se décomposer que d'une seule manière en trois termes de cette forme.

Mais il n'en est pas ainsi; considérons des corps électrisés : l'énergie électrostatique due à leur action mutuelle dépendra évidemment de leur charge, c'est-à-dire de leur état; mais elle dépendra également de leur position. Si ces corps sont en mouvement, ils agiront l'un sur l'autre électrodjnamiquement et l'énergie électrodynamique dépendra non seulement de leur état et de leur position, mais de leurs vitesses.

H. P - Vit. 3i

Nous n'avons donc plus aucun moyen de faire le triage des lermes qui doivent faire partie de T, de U et de Q et de séparer les trois parties de l'énergie. Si (T + U + Q) est constant, il en est de même d'une fond ion quelconque

^rr + u-t-Q)-

Si 1" + IJ + Q était de la forme parliculiére que j'ai envisagée plus haut, il n'en résulterait pas d'ambiguïté; parmi les fonctions ^(T + U + Q) qui demeurent constantes, il n'y en auiait qu'une qui serait de cette forme particulière, et ce serait celle-là que je conviendrais d'appeler énergie.

Mais je l'ai dit, il n'en est pas rigoureusement ainsi; parmi les fonctions (|ui demeurent constantes, il n'y en a pas qui puissent rigoureusement se mettre sous cette forme particulière; dés lors, comment choisir parmi elles celle qui doit s'appeler l'énergie? Nous n'avons plus rien qui puisse nous guider dans notre choix.

Il ne nous reste plus qu'un énoncé pour le principe de la conservation de l'énergie; il y a quelque chose qui. demeure constant. Sous celte forme, il se trouve à son tour hors des atteintes de l'expérience et se réduit à une sorte de tautologie. Il est clair que si le monde est gouverné par des lois, il y aura des quantités qui demeureront constantes. Comme les principes de Newton, et pour une raison analogue, le priacipe de la conservation de l'énergie, fondé sur l'expérience, ne pourrait plus être infirmé par elle.

Cette discussiou montre qu'en passant du système classique au système énergétique, on a réalisé un progrés; niais elle montre, en même teaips, que ce progrès est insuffisant.

Une autre objection me semble encore plus grave; le principe de moindre action est applicable aux phénomènes réversibles; mais il n'est nullement satisfaisant en ce qui concerne les phénomènes irréversibles; la tentative de von Helmholtz pour l'étendre h ce genre de phénomènes n'a pas réussi et ne pouvait réussir; sous ce rapport tout r(!ste à faire.

Ce sont d'autres objections, d'ordre presque métaphysique, que Hertz développe le plus longuement.

.Si l'énergie est pour ainsi dire matérialisée, elle devra être toujours positive. Or, il y a des cas oh il est difficile d'éviter la considération de l'énergie négative. Considérons, par exemple, .lupiler tournant autour du Soleil; l'énergie

totale a pour expression ac- — + c, où «, b, c sont trois constantes positives,

V la vitesse de Jupiter; /• sa distance au .Soleil.

Comme nous disposons de la conslante c, nous pouvons la supposer assez grande pour que l'énergie soil positive; il y a déjà là quelque chose d'arbitraire qui choque l'esprit.

Mais, il y a plus. Imaginons, maintenant, qu'un corps céleste d'une masse énorme et d'une vitesse énorme vienne à traverser le système solaire; quand il aura passé et qu'il se sera éloigné de nouveau à d'immenses distances, les orbites des planètes auront subi des perturbations considérables. Nous pouvons imaginer, par exemple, que le grand axe de l'orbite de Jupiter soit devenu beaucoup plus petit, mais que cette orbite soit restée sensiblement circulaire. Quelque grande que soit la constante c, si le nouveau grand axe est très petit,

l'expression cn'- , + c sera devenue négative, et l'on verra reparaître la difficulté que nous avions cru éviter en donnant à c une grande valeur.

En résumé, nous ne pouvons pas assurer que l'énergie demeurera toujours positive.

D'autre part, pour matérialiser l'énergie, il faut la localiser; pour l'énergie cinétique, cela est facile, mais il n'en est pas de même pour l'énergie potentielle. Où localiser l'énergie potentielle due à l'attraction de deux astres? Est-ce dans l'un des deux astres ? Est-ce dans les deux? Est-ce dans le milieu intermédiaire ?

L'énoncé même du principe de moindre action a quelque chose de choquant pour l'esprit. Pour se rendre d'un point à un autre, une molécule matérielle, soustraite à l'action de toute force, mais assujettie à se mouvoir sur une surface, prendra la ligne géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court.

Celte molécule semble connaître le point où l'on veut la mener, prévoir le temps qu'elle mettra à l'atteindre en suivant tel et tel chemin, et choisir ensuite le chemin le plus convenable. L'énoncé nous la présente pour ainsi dire comme un être animé et libre. Il est clair qu'il vaudrait mieux le remplacer par un énoncé moins choquant, et où, comme diraient les philosophes, les causes finales ne sembleraient |)as se substituer aux causes efficientes.

2. Objection de la boule ('). — La dernière objection, qui paraît être celle qui a le plus frappé Hertz, est d'une nature un peu diflerente.

Ou sait ce qu'on appelle un système à liaisons; imaginons d'abord deux

(') Voir aux Notes, Principes de Mécanique attalytique.

244 l-ES IDÉES DE HERTZ SUR LA MÉCANIQUE.

points réunis par iiuo Irini^le rigide de façon que leur dislanco soil maintenue invariable ; ou, plus généralement, supposons qu'un mécanisme quelconque maintienne une relation entre les coordonnées de deux ou plusieurs points du système. C'est là une première sorte de liaison qu'on appelle « liaison solide ».

Supposons maintenant qu'une splière soil assujettie à rouler sur un plan. La vitesse du point de contact doit être nulle; nous avons donc une seconde sorte de liaison qui s'exprime par une relation non plus seulement entre les coordonnées des divers points du système, mais entre leurs coordonnées et leurs vitesses.

Les systèmes où il y a des liaisons de la seconde sorte jouissent d'une propriété curieuse que je vais cherclier à expliquer sur l'exemple simple que je viens de citer, celui d'une boule roulant sur un plan horizontal.

Soit O un point du plan horizontal et C le centre de la sphère.

Pour bien définir la situation de la sphère mobile, je prendrai trois axes de coordonnées fixes O.c, Oy et 0-3, les deux premiers situés dans le plan horizontal sur lequel roule ^la sphère; et trois axes de coordonnées invarialilement liées à la sphère GÇ, Cn et Cç.

La situation de la sphère sera entièrement définie quand on se donnera les deux coordonnées du point de contact et les neuf cosinus directeurs des axes mobiles par rapport aux axes fixes. Soit A une position de la sphère où le point de contact est en O à l'origine et où les axes mobiles sont parallèles aux axes fixes.

Les coordonnées du point de contact sont

et les neuf cosinus directeurs :

Donnons à la sphère une rotation infiniment petite £ autour de l'axe C^; elle viendra dans une f)Osition B où les coordonnées du point de contact deviennent

et les neuf cosinus :

o, cosï, sin£;

o, — siiiô, cos£.

Mais cette rotation est impossible puibcju'elle ferait glisser et non rouler la

LES IDÉES DE HERTZ SUR LA MÉCANIQUE. 2iJ

sphère sur le plan. 11 est donc impossible de passer de la posilion A à la position infiniment voisine B directement, c'est-à-dire par un mouvement infiniment petit.

Mais nous allons voir que ce passage peut se faire indirectement, c'est-àdire par un mouvement fini.

Parlons de la position A. Faisons rouler la sphère sur le plan de telle façon que l'axe instantané de rotation soit situé dans le plan horizontal et à chaque instant parallèle à l'axe Oy, et arrêtons-nous quand l'axe C^ sera devenu vertical et parallèle à O^. Nous serons arriv(''s dans une position D où les coordonnées du jjoinl de contact seront devenues

R étant le ra^'on de la sphère et les neuf cosinus :

-Hi, o, o.

Dans la posilion D le point de contact est à l'extrémité de l'axe C? qui est vertical.

Imprimons à la sphère une rotation £ autour de l'axe C^; cette rotation est un pivotement autour de l'axe vertical passant par le point de contact, elle ne comporte aucun glissement, elle est donc compatible avec les liaisons.

La sphère est venue alors dans une position E où les coordonnées de contact sont

et les cosinus :

sin£,

cose,

cose,

— sine.

Faisons maintenant rouler la sphère de façon que l'axe instantané de rotation reste constamment parallèle à Oy et, par conséquent, que le contact ait tout le temps lieu sur l'axe Ox. Arrêtons-nous quand le point de contact sera revenu à l'origine O. Il est aisé de voir que nous sommes arrivés à la position B.

On peut donc aller de la position A à la position B en passant par l'inlerraédlaire des positions D et E.

Hertz appelle liolonomes les systèmes tels que, si les liaisons ne permettent

pas de passer directement d'une certaine position à une autre infiniment volsiae, elles ne permettent pas non plus de passer de l'une à l'autre indirectement. Ce sont les systèmes où il n'y a que des liaisons solides.

On voit que notre sphère n'est pas un système holonome.

Or, il arrive ceci que le principe de moindre action n'est pas applicable aux systèmes nonholonomes.

En effet, on peut passer de la positon A à la position B par le chemin que je viens de dire, et sans doute par beaucoup d'autres chemins; parmi tous ces chemins il y en a évidemment un qui correspond à une action plus petite que tous les autres; la sphère devrait donc .'pouvoir le suivre pour aller de A en B; il n'en est rien; quelles que soient les conditions initiales du mouvement, la sphère n'ira jamais de A en B.

Il y a plus, si la sphère va effectivement delà position A à une autre position A', elle ne prendra pas toujours le chemin qui correspond à l'action minimum.

Le principe de moindre action n'est plus vrai.

« Dans ce cas, dit Hertz, une sphère qui obéirait à ce principe, semblerait un être vivant qui poursuivrait consciemment un but déterminé, tandis qu'une sphère, qui suivrait la loi de la Nature, offrirait l'aspect d'une masse inanimée roulant uniformément... Mais, dira-t-on, de semblables liaisons n'existent pas dans la Nature; ce prétendu roulement sans glissement n'est qu'un roulement avec un petit glissement. Ce phénomène rentre dans les phénomènes irréversibles tels que le frottement, encore mal connus et auxquels nous ne savons pas encore appliquer les vrais principes de la Mécanique.

« Un roulement sans glissement, répondrons-nous, n'est contraire ni au principe de l'énergie ni à aucune des lois connues de la Physique; ce phénomène peut être réalisé dans le monde visible avec une telle approximation qu'on a pu s'en servir pour construire les machines d'intégration les plus délicates (planimétres, analyseurs harmoniques, etc.). Nous n'avons aucun droit de l'exclure comme impossible; mais le serait-il et ne pourrait-il se réaliser qu'approximativement que les difficultés ne disparaîtraient pas. Pour adopter un principe, nous devons exiger qu'appliqué à un problcmc dont les données sont approximativement exactes, il donue aussi des résultats approximativement exacts. Et d'ailleurs les autres liaisons, les liaisons solides ne sont aussi qu'approximativement réalisées dans la Nature; on ne les exclut pas cependant... ».