L'ÉOUILIBHE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Bulletin (islroDomique, t. '2, p. 4o5-4'3 (septembre i885).

Dans le travail que j'ai récemment publié sur le même sujet ('), je n'ai pas donné les détails des calculs. Bien que mou analyse diflere peu de celle qu'à employée M""^ de Kowalewski dans ses recherches sur l'anneau de Saturne, il ne sera peut-être pas inutile de revenir sur ces détails, ne fût-ce que pour faire voir quelles sont les simplifications qui peuvent être dues aux hypothèses que l'on a droit de faire sur l'extrême petitesse de certaines quantités.

Il s'agit d'abord de calculer le potentiel du tore. Soient O le centre du tore, C le centre d'un cercle méridien, M un point quelconque du plan de ce cercle, R la distance OC, oj l'angle du plan OCM avec un plan méridien fixe, x cl y les coordonnées rectangulaires du point M rapporté à deux axes passant par le point G, le second parallèle à l'axe du tore. Les coordonnées de M rapportées à trois axes rectangulaires dans l'espace seront alors (R + .z')cosw, (R + a;) sinoo et r.

Nous poserons de plus

A = p cos cp, .K = p sin ç

et nous appellerons r le rayon du cercle méridien du lore, de telle sorle que l'équation du tore, dans ce système particulier de coordonnées, se réduira à 0 = r.

f'j Bulletin aslronomiqut:, t. 2, p. loj (OEiivrex di' II. Poinrnré, ce Tome, p. t-;).

Pour évaluer le potenliel du tore par rapport au point M, nous décomposerons la surface du cercle nicridiea en une infinité d'éléments infiniment petits d'ji' . CliacuQ de ces éléments engendrera, par sa révolution autour de l'axe, un anneau élémentaire. Soient x' et y' les coordonnées de l'élément dut' rapporté aux deux axes rectangulaires définis plus haut, rf/-/. la masse de l'anneau élémentaire correspondant, dV le potenliel de cet anneau. V le potenliel du tore complet. Soient enfin

a = \l{x — x' )--^ yr — y y-, /' = ^/(2R -I- a: -I- x )- -\- (y — ,l'')-

la plus petite et la plus grande distance du point M à l'anneau considéré, et M(a. b) la moyenne arithmético-géomélrique de ces deux dislances. On trouvera, en conservant les mêmes unités que dans le Mémoire cité,

rfuL = 2 !r( K -I- J-' ) (h')'. f/\ = . . ' '^ , , V = / (/\ .

La théorie des fonctions elliptiques nous apprend que l'on a

S„ et S, étant des séries ordonnées suivant les puissances de j- La même

théorie nous donnerait également les coefficients de ces séries; mais je vais indiquer un autre moyen de les calculer.

Soit