OG>OG'-GG', GG
d'où
OG>OG'^l^-^>.^'-' '''■'
Si donc
iM — I M — I ^ ' M
iM > hL±i^
l'inégalité
sera satisfaite.
Il n'y a donc (ju'un nombre fini de combinaisons des nombres entiers : «I, a.j, . . . , a„, (3 pour lesquelles l'inégalité (g) pourrait ne pas être satisfaite.
Si pour aucune de ces combinaisons OG n'est nul, nous serons certain de pouvoir assigner à OG une limite inférieure /.i.
Nous sommes donc conduit à la règle suivante :
Pour que Véquation (3) admette une intégrale développable suivant les puissances des x et périodique par rapport à t, il suffit :
\" qu aucun des deux polygones convexes circonscrits, le j)remier aux points Ài, A2, . . ., \,i et -\-\/ — i, le second aux points Ai, Ao, . . ., }„ e< — \J — I, ne contienne Vorigine,
28(i SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
2" qu^il lî V ait entre les quantités 1 aucune relation de la forme •
,3 y/ — I -H ^1 Ài -\- a-^X, + . . .-h a„X„ = Xi,
les X étant entiers positifs et (3 entier positif ou négatif.
C'est là une géuéralisation du lliéoréuie démontré dans ma Thèse. Or de ce théorème découlaient un certain nombre de conséquences. Voyons si l'on pourra en tirer de semblables du théorème généralisé.
Nous allons pour cela suivre absolument la même marche que dans la thèse citée.
Considérons l'équation
, , dz ,. dz .. dz „ dz
dt dX\ dxt dx„
obtenue en supprimant le second membre de l'équation (3). Considérons en outre l'équation
dz ^. dz ^. dz dl dxi dx-i
et l'équation
dz .,, dz ^ dz
dt dxi dXi
UXn
Si les >. satisfont aux conditions que nous venons d'énoncer, l'équation (3) admettra une intégrale z = Ti, où T) est ordonné suivant les puissances des x et périodique par rapport à t.
De même l'équation (11) admettra une intégrale z ^ T.j, où T2 est de même
forme que T,.
On en conclut <|uu l'équation (10) admet une intégrale particulière T/T, '.
Comme on peut dans le second membre de (3) remplacer successivement If z par /..,2, l.iZ, ..., X„ 3 et qu'on obtient ainsi « — 1 équations analogues à l'équation (il), on peut conclure que l'équation (10) admet n — 1 intégrales parti-
culières T','T, '', Tj'T, ', . . ., T^'T,, '", où T3, T,, . . ., T„ sont de même forme que Tj.
Pour avoir l'intégrale générale de (10), il faudrait posséder encore une n'*"" intégrale particulière. Pour cela considérons l'équation
, ^ dz .. dz -. dz
('") dî^^'di;-^--^^"di: = '-
Cette équation admettra comme intégrale particulière 2 = e'.
Nous en conclurons que l'équation (lo) admet comme intégrales particulières T, e^''', To e"'''', . . . , T„ e~''"', de sorte que l'intégrale générale de celte équation (10) sera
; = fonction arbitraire de (Ti £-'•>', To e-*"'', .... T^ e-''»').
En d'autres termes les équations différentielles
, dxi dxi dxn
Xi X2 X„
admettront comme intégrale générale
K), Ko, . . . , K„ étant n constantes d'intégration.
Ce tfiéorcme peut être regardé comme la généralisation de celui que j'ai démontré à la page 70 de ma Thèse.
Supposons maintenant que nous cherchions à déterminer les p premières variables x à savoir x^, Xo, . . . , Xp ^ïv fonction des n — p autres à savoir Xp^^. Xp^t, . . . , a.-„ et de t, à l'aide des équations suivantes :
dxi , dxi dx\ Y dx\
-jT + ^P+'^ -jZ. '^ ^P^"- -;jz 1- ■ ■ • + A„ -T— = A,,
Cil ClXp-^\ (XXp^i ^'■X n
dxi , dxi , dxi „ dx
, „ , ; —jr ■+- A/i+1 -} H Xn+2 -} 1- . . . + An —j—
(l3) ^ dt ' dXp^s, '^ dXp^ï dXn
Xp-l-l —j-^ h Xp+2 -j-^ 1- . . . + An , — ■ A,
î^ + X +, '^'^'' -I- X +., '^^'' -H . . . -I- Xn ^ = X .
dt ^ dxp^ I ' P - dXp^'i ' " dXn '"'
Il est aisé de voir que l'intégrale générale des équations (i3) s'écrira
(l4) Ç,= Ç2=. ..= Çp= G,
tpi, cp2> • ■ ■• 9p représentant p fonctions arbitraires de Tj e^'^'', T., e^'"', .... Prenons en particulier
Les équations (i4) s'écriront (i4') T, = T.,= ...= T^=o.
Des équations (i4') 01 pourra tirer Xi^ x^, . .., Xp en fonction de Xp^^, Xp^^, . . . , Xn et. t el l'on verra que ce sont des fonctions holomorphes par rapport à Xp^,, Xp^^, . . . , j;„ et périodiques par rapport à t.
Donc les équations (i3) admellenl une solulion développable suivant les puissances croissantes de Xp+i^ ^p+»i • • ■■, oc,, cl suivant les sinus et cosinus des multiples de t.
Ce théorème est démontré quand les X satisfont aux conditions énoncées plus liaut; voyons comment on pourra l'étendre aux cas où ces conditions ne sont pas remplies. Je suivrai pour cela la même marche que dans la IV" Partie de mes recherches sur les courbes définies par les équations différentielles {Journal de Lioiiville, ^' série, t. 2, p. i56-i5'j) ( ' ).
Proposons-nous de calculer les coeflicients de l'intégrale holomorphe des équations (i3) (à supposer que cette intégrale existe) et à cet ellet écrivons ces é<|ualions (i3) sous la forme suivante :
l/.lpf-l (l.lp^-2 "J-li
Soit
une (juelconque des fonctions Yi, \., . . ., \„, ainsi que nous l'avons supposé plus haut, et proposons-nous de calculer les p fonctions x,, x^, . . ., Xp sous la forme
Pour calculer les coeflicients A par récurrence, substituons les séries (i:)) dans les équations (i3') et identifions les deux membres. Nous aurons pour calculer A; 'j-xj^^o:^ l'équation suivante ;
A,-.3.ïp^,x^,,...a„(> V^— ^-+- «/^t-i A/<+i-+- a/5+2 V+2-»-.- --t-anX» — X,-) = P [ C, (— C), A],
P[G, ( — C), A] étant un polynôme entier à coefficients positifs [)ar rapport aux coefficients C de ^ii+u ^i,+i, • • • , Y,;, aux coefficients C de \',- changés de signe et aux coeflicients A déjà calculés.
Pour qu'aucun des coeflicients A ne devienne infini nous devons donc supposer qu'il n'y ait entre les \ aucune relation de la forme
Cl6) '^ v^— I -i- «/,+, X/,+1 -t- «^4.., X/;+2 -H . . .-H a„).„— /.(= o,
où les y. soient entiers positifs et [3 entier positif ou négatif.
C) Œuvres de //. l'oincaré, t. I, p. 172.
Cela posé soit /.' une quantité positive que nous déterminerons plus complètement dans la suite.
Soit ensuite
V, = J:|C;.;l=c,a,...^Je':î^-'.r^.r^
pour I =y> -H I,
et
Formons les équations
e'iis->.v^'xl'...j;i
pour ( = I,
dj-.
dx
dx
dXi
''*' dx
dxi
*" dx,,
, dxi
dXn Y' ^f^ -
"dx'
Cherchons à satisfaire aux équations (i3") à l'aide des séries de la forme suivante :
Les coefficients B nous seront donnés par les équations suivantes :
B,-.p.a^^,3:,,,...j„[À'{a,,+ ,-l-a,,+.,-t--.--+-ï„— Ij] = P( ! C j, 1 C j, B |,
OÙ P[|C], |C'|, B] diffère de P[C, ( — C), A] en ce que les coefficients C et — C' y sont remplacés par leurs modules, et les coefficients A par les B correspondants.
On en conclut que tous les B sont positifs et que chaque B est plus grand que le module du A correspondant.
Il suffit pour cela d'une seule condition, c'est que
À'(0( /,+ !-(- Z,,+.2-|-. . .-+- 2„— l)< I [j \/'—l -h Xp+x'/./. + i^ ■J.f,^.i'/.,,^..+. . .+ a„/.„— /.,■ |.
Si cette condition est remplie chacun des termes de la série (i5) sera plus petit que le terme correspondant de la série (i5') et comme cette dernière converge, la série ( i5) convergera également.
Il suffit pour cela que l'on puisse trouver une quantité positive X' assez petite pour que l'on ait toujours
c'est-à-dire, d'après ce que nous avons vu plus iiaul, qu'aucun des deux polygones convexes circonscrits, le premier aux points X^+i, "kp+^i . . . , X„ et -f- \J — r ,
le second aux points ?iy,+, , t^p+^i • • ■ i 'u et — \ — i , ne contienne l'origine. H. p. ~ VII. 37
ago SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
5t donc aucun de ces deux poly icônes convexes ne contient r origine, s'il n'y a entre les '/^aucune relatiim df f/i fornie { 16), les équations {i.i) admettront une intégrale particulière de la forme suivante :
Xi = 9i(:ry;H-i. J^/;-i-'j, • • •, x,i, t),
^2 ^ ?2 (^/;+iî ^/;-t'2) ■ • ■ • -t^iii t ),
les o étant développables suivant les puissances de Xp^i, Xp+i, . . . . Xn et les sinus et cosinus des multiples de t.
Cela posé, envisageons les équations
Ces équations sont de nicnie tonne que les équations (10'); la seule dillérence, c'est que les À n'ont pas des valeurs qui satisfont au:x conditions suffisantes énoncées plus haut pour que l'équation ( 1 3) ait une inléj^rale holomorphe.
Nous allons nous proposer de trouver non pas la solution générale des équations (10"), mais une solution contenant n — p constantes arbitraires.
Parmi les équations (10"), je considère en particulier les suivantes :
, , dXft^^ dx,,^i d.r„
J'écris en outre les équations
les cp; étant les intégrales liolomorplies des équations (i3) définies plus haut.
Il est évident que si X\. x^,, . . ., x,, sont /t fonctions de t qui satisfont aux équations (l'j) et ( 18), elles satisferont également aux équations (10").
Dans les équations (17) substituons à la pince de Xi, x^, ■■■, x^ leurs valeurs (18), ces équations deviendront
. , flX p^\ . .-- f<X j,-,i , „ '^'Xi, , „
(19) Yt — =^ ^■/'+1'^ /)+'"*" ^/'+li Yi ^ '•p+1^lJ+l~^ tj/i+i, ..., , — /■iiXn-^ i-nt
Tjp^i, Ziyj^o, . . . , /.„ étant des séries d(''veloppées suivant les puissances de Xp+i. Xp^2i ■ • • • Xn, lient tous les termes sont du deuxième degré au moins et dont les coeflicients sont des (onctions périodiques de t.
Ces équations ( 19) sont de la même forme que les équations ( 10'); leur intégrale générale sera donc de la forme suivante :
OÙ K,,^i K„ soul des conslantes d'intégration, où T^,^,, . . . . T^ sont des
séries développées suivant les puissances des x et les sinus et cosinus des multiples de /.
Les équations
(20) T, = o fi' = I, 2, . . ,, /)), T,'/= Iv,e''i' (7 =/) -H 1, /) -t- 2, . . ., «),
nous donnent donc une intégrale des équations (lo") dépendant des n — p constantes arbitraires K^^.,, K^+j, .... K„.
Pour obtenir celte intégrale sous forme explicite, il faut résoudre ces équations (20) par rapport à a"i, Xj. . . . , x,, ; on trouve ainsi
xx = 'il i7, K/,+1, . . ., K„), Xi = 'ijtil, K/,.-,, ..., K„),
Xn— 'knii. K/,+ i, ..., K„).
les cp étant dos séries développées suivant les puissances de K^j+ieV- ■', ^p^^e'f-', .... K„e'"' et suivant les sinus et cosinus des multiples de t.
Ces séries sont convergentes. pourv\i qu'aucun des deux polygones convexes circonscrits, le premier aux points /.,, ^i. À,, ..j, . . . , )i„ et +v — i, et le second aux points /y,+ i; À,, |.j, ...,/,„ cl — \ — i . ne conlienne l'origine et qu'il n y ait entre les >, aucune relation de la forme ( 16).
Cette démonstration fait ressortir l'analogie de ce théorème avec ceux que j'ai énoncés dans ma Thèse et en particulier avec celui-ci :
Dans le voisinage d'un point singulier, les solutions d'une équation diffcrenliello sont développables suivant les puissances de <, /'', /'% . . . , V".
J'avais d'abord démontré ce théorème (que j'ai ensuite rattaché aux idées générales qui ont inspiré ma Thèse) par une voie assez différente dans le 45° Cahier du Journal de V Ecole Polytechnique (') et M. Picard y avait été conduit indépendamment par d'autres considérations (C R. Acad. Se, 1878).
h^. — Intégration des équations linéaires à coefficients périodiques.
On sait qu'une fonction de x périodique et de période 271 peut se développer
en une série de la forme suivante :
(1) /(.r') = Ao-(-A|Co?j:-!-Ao COS2.2; -i- . . . -1- A„ cos/i.f -f- . . .
-I- lîi fin X -i- B^ fin 2X -H . . . -1- B„ sin nx -\- . . .
(') Œuvres de II. Poincaré, t. 1, p. xxx\i.
aga SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
J'ai moniré dans le Bulletin astronomique (novembre 1886) (') que si la foncùon J\t) esl finie et continue ainsi que ses p — 2 premières dérivées et si sa (^-|-i )''"""' dérivée est finie, mais peut devenir discontinue en un nombre limité de points, on peut trouver un nombre positif K tel que l'on ait, quel que
soitTi.
\nPX„\<K, In^B„l<K.
Si/(j) est une fonction analytique, elle sera finie et continue ainsi que toutes ses dérivées. Ou pourra donc trouver un nombre K tel que
ln=A„l<K, ]«"-B„[<K.
Il résulte de là que la série
I Ao 1 + I A, I + I A, 1 +...-+- 1 A„ I +...-(- 1 B, i + I B., I +...+ I B„ I -H. . .
converge et par conséquent que la série (1) est absoluineiil et uniformément convergente.
Cela posé, considérons un système d'équations différentielles linéaires :
Les n- coefficients cp,./, sont des fonctions de t périodiques et de période 271. Les équations (2) ne changent donc pas quand on change t en t -\-2Tt. Cela
posé, soient
ix,= <h,,i(t), X2= '!^,,i{t), ..., j;„ = 'i/|.„(0, > • • ■ ) ) ^1 =']'«. 1(0; -^1= '^n.lO^ •■•' ^n= '\>„.n(t),
n solutions, linéairement indépendantes, des équations (2).
Les équations ne changent pas quand on change t en t + 2n el les n solutions deviendront
<lxs
dt - î'-
dx,
dt - ?-
