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^•■1= '^/(.iC -1- 2;;;, ..., j;„ = ij/„.„(/ -h 2,-T|
(') Œuvres de H. Poiiicaré, t. IV.
Elles devroni donc être des combinaisons linéaires des n solutions (3) de sorte qu'on aura
/ ij;,., (; -H 2-) = A,., 'i-i.iCO + A,., J;, ,(?)-H. . .-f- A,.„ 'in.lCOi
,,, 1 J/2.i(« + 2;t) = a.,., 4-1. , (Oh- A2.2'J>-2.i(0 +•••-)- Ao.,, <!>„., (0,
\ 4„.,(<-t-2r) = A„.,6,.i(0-H A„.oi!/2.,(Oh-.---)- A„.„J;„,,(0,
les A étant des coefficients constants.
On aura d'ailleurs de même (avec les mêmes coefficients)
J/,.o(«-t-2;i) = A,.,'ii2(0-^- A,. ,'1,2.2(0 -^... -H A,.„6„.2(0,
Cela posé formons l'équation en S :
Ai.i — S Al. 2 A-) 1 A. -1 — S
Ai.„
Soit S| l'une des racines de celte équation. D'après la théorie des substitutions linéaires, il existera toujours n coefficients constants Bi, Bj, . . . , Bn tels que si l'on pose
0,.,(O) = B)'i>,.,(/)-i-B2<!/2.i(O-H---+R/.']'".i(O et de même
on ait
et de même
Posons il viendra
0,.,(O = B,6,.,(/)+B2'K.(O-i--.-+R/,'J'„.,(O 0,.,(<-+-2-) =SiO,.i(0
ei.,(?-(-2-; = Sie,.,(0-
Cette équation exprime que e~*''Oi.,(i) est une fonction périodique que nous pourrons développer en une série trigonométrique ).|.i (<).
Si les fonctions périodiques (»,■./,(<) sont analytiques, il en sera de même des solutions des équations difl'érentielles (2) et de /i ,(/). La série )i.i(i) sera donc absolument et uniformément convergente.
De même e~^''0,.,(<) sera une fonction périodique qu'on pourra représenter par une série trigonométrique >.,,i(^).
^ious avons donc une solution parliculière îles équalions (2) qui s'ccrit
A cliaijue racine de lénualion (5) correspond une solution de la forme ((J). Si l'équation (5) a loules ses racines distinctes, nous aurons n solulions de celle forme linéairemenl indépendantes et la solution générale s'écriia
Les C sont des constantes d'intégration, les a sont des constantes et les À sont des séries trigonométriques absolument et uniformément convergentes.
Voyons maintenant ce qui arrive quand l'équation (5) a une racine double, par exemple quand «i = y.-,. Reprenons la formule (7), faisons-y
et faisons-v tendre c-j vers xi. 11 vient
X, = e«.'[C, X, . I ( ^) + G, el'o-'.l' Xs. , ( 0]
ou en posant
C, Cl = Cl — C->, C-2 = ^ — î
il viendra
Xi = e'i' C'i X,,,(0 -+- Co •
Il est clair que la différence 'A,.i{t) — ^t.t{i) s'annulera pour x.,z=(x^. Nous pourrons donc poser
"/••>., (0 = '-i.i(0 + (='2~ «i)'-'(0- 11 vient ainsi
r eï,-5.,i'— I T
.' C, X,.,-+-G'oXi., ^ ^ +C',X'(Oe<*=-''"
et à la limite (pour c.^:^ ai);
x\= c, e«.'Xi.,-(-C', e«''[/X,,,H-limX'(0].
On verrait que la limite de À'(<) pour x-, = x, est encore une série trigonomélrique absolument et uniformément convergente.
.<\.insi l'effet de la présence d'une racine double dans l'équation (5) a été d'introduire dans la solution des ternies de la forme suivante : e^''tl{f). ?.(<) étant une série Irigonomélrique.
Ou verrail sans peine qu'une racine triple introduirait des termes de la tonne e^^'t-}.(t) et ainsi de suite.
Je n'insiste pas sur tous ces points de détail. Ces résultats sont bien connus par les travaux de MM. Floquet, Callandreau, Bruns, Stieltjes, et si j'ai donné ici la démonstration //( extenso pour le cas général, c'est quo son extrême simplicité me permettait de la faire en quelques mots.
