CHAPITRE II
THÉORIE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.
Soit F une fonction d'une double série de variables : X\^ x.^, . . . . x,,', Xi-, j'.,, . . . , -)'„ et du temps t.
Supposons que l'on ait les équations différentielles :
Considérons deux solutions infiniment voisines de ces équations :
Xi, Xi, ..., x„\ yu fi, r„;
x,-i-$i, x-i-t-i^-2, ■■■, .'•„+?„, ,Vi-4-T|,, yi-h-t]2, .r„-i--ti„,
les t et les ri étant assez petits pour que l'on puisse négliger leurs carrés. Les ^ et les tj satisferont alors aux équations différentielles linéaires
lU ^•àdvidxk^' ^d\'
iVi dvk ' drti
dt
■y f/-F ^ yi d-^ F
jmU dXi dx/c ' ^d dxi dvk ' '
qui sont les équations aux variations des équations ( i ).
Soit ^^ , rî- une autre solution de ces équations linéaires de sorte que
'dt~ Zi dvi dxk ■' '" ^ jU dy-i dvk "^^ ' (2 )
1 ^■ = V^L^-V i(i5Lr'
/ dt jLidxidxi^'' ZddXidvk "''
agC
Multiplions les équalious (2) el (:'.') respccliveiiienl par /;•, — i,, — r;,-, ;,■ et faisons la soiiunc cU' toutes eus é([uations, il viendra
'A ' ' i7, 777 ''.Vi '0 <
dxi dxL
dxi dvk
Çrr,
, d^V\ "'dxidykl
OU
ou enlin (3)
2iw?'-^;^'i = "
Vi El — ?'i^i + Vîb— Ç'ï'l!-t-- •■ + 'fl'. ?«—?'« 'Ih = const.
\"oilà une ri;lation (jui lie entre elles deux solutions (juelconques des équations linéaires (2).
11 est aisé di! trouver d'autres relations analogues.
Considérons (juatre solutions des équations (?. ) :
?/i li> ?/> ?/") '\i, ■''ii'i 'OÏi 'l"'- Considérons ensuite la somme des déterminants :
''ù '% •fi'( '^r
?<■ II- i"k i"k
■n* 'l'c 'Kk 'Kl
où les indices / et A' varient depuis i jusqu'à n. On vérifierait sans peine que cette somme est encore une constante.
Plus généralement si l'on forme à l'aide de 2/» solutions des équations (2) la somme de déterminants :
cette somme sera une constante.
En particulier, le déterminant formé par les valeuj-s des in quantités ^ et r; dans 2« solutions des équations (2) sera une constante.
Ces considérations permettent de trouver une solution des équations (2) quand on en connaît une intégrale et réciproquement.
Supposons en efiei que
soil une solution p.irliculiore des éijualions (2) et désignons par ti et r;; une solution (juelconque de ces mêmes équations. On devra avoir
-?i?i— ■n/3:/ = coilsl.,
ce qui sera une intégrale des équations (2). Réciproquement soit
i:A,?,-i-i:rî,r,, = consi.
une intégrale des équations ( 2 ), on devra avoir
d'où en idenliliiuil
Z^ dxi dxk^' ~^2d dxi dvk '''' ~ "' * *" " J
dt ^Êdd\ I; (Ixi Jm^dXkdXi
d/ ladvkdvi' ''^Zu,:
ce qui montre que
r/ll, v^ d.V . yi ,r^v Wk,
vk"yi ^^dxkdvi
est une solution particulière des équations (2).
Si maintenant
<I>(j.,, j(, t) = const.
est une intégrale des équations ( 1 ),
sera une intégrale des équations (2), et par conséquent
sera une solution particulière do ces équations.
Si 4> ^= const., <l>i = const. sont deux intégrales des équations (i), on aura
^Lmà \dxi dyi
dyi dxi
C'est le théorème de Poisson.
H. r. - vn.
= consl.
agS SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Consiclorons le cas [);irUcnliei' où les x désigiieiit les coordonnées reclangulaires de n points dans l'espace; nous les désignerons par la notation à double indice Xu, ^i>i, ^';ii, 1<-' premier indice se rapportant aux liuisaxes rectangulaires do coordonnées et le second indice aux n points iimtériels. Soit m, la masse du /"'""' point matériel. On aura alors
dKr,.i d\
dt- (f.i-/,,
V étant la fonction des forces.
On aura alors pour l'équation des forces vives :
=2;^(^v-v=co„st.
yki= »h
djck, ' dt '
- V = const.
dxki dV
dt " dvk,'
dtu dF d/ d.,:t,
Posons ensuite d'où et
Soit
(5) xk,= <!iia{t), rki= mi-ù'i,,{t)
une solution de ces équations ( i'), une autre solution sera
■ri.i= ^ki(t -r- h), Yki= "ii'i'uit -+- h),
Il étant une constante quelconque.
En regardant h comme infiniment petit, on obtiendra une solution des équations(2') qui correspondent à (i') comme les équations (a) correspondent à(i ) :
lki= /'i'kiC) = h-^, •ni;= /(m,(pl,(0 = /i 4— 5
fil i f/,t k i
h désignant un facteur constant très petit que l'on peut supprimer quand on ne considère que les équations linéaires (2').
Connaissant une solution
, V dW
m dx
de ces équations, on peut déduire une intégrale
Zj, m Z^dx'-
Mais celle même intt^grale s'obtienl très aisàmenlen diflérenlianl l'équation des forces vives (4)-
Si les poinls malériels sont soustraits à toute action extérieure, on peut déduire de la solution (5 ) une autre solution :
h ei A étant des constantes quelconques. En regardant ces constantes comme inliniment petites, on obtient deux solutions des équations (2') :
?li= I, î-li = hi= ■'■|l/= 'f|2( = ■^-li = o,
?!/ = <, ?ii!= ;:;/= T|2;= T|:,,-= O, T,, ,= «!;.
On obtient ainsi deux intégrales de (2') :
onst.
On peut obtenir ces intégrales en différentiant les équations du mouvement du cenlre de gravité :
i/rt,-.*-!, = «Siii-f- const.. lj'i,= const.
Si l'on fait tourner la solution (.j) d'un angle co autour de l'ase des :■, on obtient une autre solution :
./■|; = ;,, cos (0 — ;.i,sincj. "— =c,,cosoj — c.,,?in(o,
^•o,= sii sin (0 -i- c-i; ces ta. — = : ,; sni (o -+- c, ces o).
nii
En regardant w comme infiniment petit, on trouve comme solution de (2') :
Çu = — ■Z'îi, ■'■|i! = — .i'2;,
il(= o, Tl3(= O,
d'oti l'intégrale de (2') :
^(^11^12;— ri(?2(— xo/Ti,,--4- r!,?i() = const.
que l'on pouvait obtenir aussi en différentiant l'intégrale des aires de ( 1') :
-{^uy-ii= -c-iiVii) = const.
3oo SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Supposons maintenant (\in) la fonction V soit homogène et de degré — i par rapport aux x, ce qui est le cas de la nature.
Les équations (i') ne changeront pas quand ou multipliera t par /■', les x par X- et \es y par X-', A étant une constante quelconque. De la solution (4) on déduira donc la solution suivante :
(r»)' •'•*'■=■'•"' """^'(jj.)
Si l'on regarde /. couime très voisin de l'unité, on obtiendra comme solution des équations (a'j :
ou
,,.- . n, ri.-i .,, ^A'
d'où l'intégrale suivante des équations (2'), laquelle, à la différence de celles que nous avons envisagées jusqu'ici, ne peut être obtenue en différenlianl une intégrale connue des équations ( 1') :
