Définition des invariants intégraux
Considérons un système d'équations dilFérentielles :
Xi étant une fonction donnée de Xf , x-^, . . . , x,,- Si l'on a
V{xi, .r.,, . . .,x„) — const.,
cette relation s'appelle une intégrale des équations données, f^e premier membre de celte relation peut s'appeler un invariant puisqu'il n'est pas altéré quand on augmente les xi d'accroissements infiniment petits dx; compatibles avec les équations différentielles.
Soit maintenant x\, .r',, ..., x\^ une autre solution des mêmes équations différentielles, de telle façon que l'on ait
'dt - ^"
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 3oi
X', étant une fonction formée avec x\, x'.-,, ..., x'^ comme X; l'était avec Xi.
Xoj • • • : Xfj .
Il pourra se faire qu'on ait entre les 2/1 quantités x et x' une relation
Fi(x], X,, . . .,.r„, j;\,x'„, . . ., a;'„) = consl.
Le premier membre Fi pourra encore s'appeler un invariant de nos équations différentielles, mais au lieu de dépendre d'une seule solution de ces équations, il dépendra de deux, solutions.
On peut supposer que Xi, x^ Xn représentent les coordonnées d'un
point dans l'espace à n dimensions et que les équations différentielles données définissent la loi du mouvement de ce point. Si l'on considère deux solutions de ces équations, on aura deux points mobiles différents, se mouvant d'après une même loi définie par nos équations différentielles. L'invariant F, sera alors une fonction des coordonnées de ces deux points, qui dans le mouvement de ces deux points conservera sa valeur initiale.
On pourrait évidemment de même, au lieu de deux points mobiles, en envisager trois ou même un plus grand nombre.
Supposons maintenant que l'on considère une infinité de points mobiles et que les positions initiales de ces points forment un certain arc de courbe C dans l'espace à n dimensions.
Quand on se donne la position initiale d'un point mobile et les équations différentielles qui définissent la loi de son mouvement, la position du point à un instant quelconque se trouve entièrement déterminée.
Si donc nous savons que les points mobiles, en nombre infini, forment à l'origine des temps un arc C, nous connaîtrons leurs positions à un instant t quelconque et nous verrons que les points mobiles à l'instant t forment dans l'espace à n dimensions un nouvel arc de courbe C. Nous sommes donc en présence d'un arc de courbe qui se déplace en se déformant parce que ses différents points se meuvent conformément à la loi définie par les équations différentielles données.
Supposons maintenant que dans ce déplacement et cette déformation l'intégrale suivante :
A Y, f/.r, -h Y, r/jTo H- , . . -)- Y„ dx„ ) = / - ^' i ''f'i
(où les Y sont des fonctions données des x et qui est étendue à tout 1 arc de courbe) ne change pas de valeur. Celte intégrale sera encore pour nos équa-
3o2 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
lions dillV'Teiilielles un invariant, dépendanl non plus d'un, de deux ou de trois, mais d'uae infinité de points mobiles. Pour indiquer cpielle eu est la forme, je l'appellerai un invariant intégral.
De mémo on pourrait imaginer qu'une intégrale de la forme / \ — ^ ,kdxidxii^
étendue à tout lare de courbe, demeure invariable; ce serait encore un invariant intégral.
On peut imaginer également des invariants intégraux qui soient définis par des intégrales doubles ou multiples.
Imaginons qu'on considère un fluide en mouvement permanent et de telle sorte que les trois composantes X, \ , Z de la vitesse d'une molécule quelconque soient des fonctions données des trois coordonnées x^ }', z de cette molécule. Alors on pourra dire que la loi du mouvement d'une quelconque des molécules du fluide est définie par les équations différentielles
fix dv ,, à't,
On sait que l'équation aux dérivées partielles
(f\ d\ M dx dy dz
exprime que le fluide est incompressible. Supposons donc que les fonctions X, Y, Z satisfassent à cette équation et considérons un ensemble de molécules occupant à l'origine des temps un certain volume. Les molécules se déplaceront, mais, en vertu de l'incompressibilité du fluide, le volume qu'elles occuperont demeurera invariable. En d'autres termes le volume, c'esl-à-dire l'intégrale Iripje /// dx dy dz sera un invariant intégral. Plus généralement si l'on
envisage les équations
dxi
et que l'on ait la relation
dl ^ ■^" <''='. 2, . . ., n)
l'intégrale d'ordre n : / dxi dx-,. ■ .'rfjrnqueje continuerai à appeler le volume, sera un invariant intégral.
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 3o3
C'est ce qui arriver;) en particulier |iour les équations générales de la Dynamique; car si l'on considère ces équations
il est aisé de voir que
Mais en ce qui concerne ces équations ^'éuérales de la Dynamique, il y a outre le volume, un autre invariant intégral qui nous sera encore plus utile. Nous avons vu en ellet que
^(h'^i'i —i'i ■'■u) =C(insi.
dx, dF dt ~~ dy-i
dy'i dF dt dxi
Zj dx,
Cela, traduit dans notre nouveau langage, signifie que l'intégrable double 2,(ijri dyt est un invariant intégral, ainsi que jo le démontrerai plus loin.
Pour exprimer ce résultat d'une autre manière, prenons le cas du problème des n corps.
Nous représenterons la situation du système des n corps par la position de 3/i points dans un plan. Le premier point aura pour abscisse l'ardu premier corps et pour ordonnée la projection sur l'axe des a; de la quantité de mouvement de ce corps; le second point aura pour abscisse 1')' de ce même corps et pour ordonnée la projection sur l'axe des y do sa quantité de mouvement et ainsi de suite.
Imaginons une double infinité de situations initiales du système. A chacune d'elles correspond une position de nos 3rt points et si Ion considère l'enseiiible de ces situations, on verra que ces 3/1 points remplissent 3n aires planes.
Si maintenant le système se déplace conformément à la loi de l'attraction, les 3;i points qui représentent sa situation vont aussi se déplacer; les 3« aires planes que je viens de définir vont donc se déformer, mais leur somme demeurera conslanle.
Le théorème sur la conservation du volume n'est qu'une conséquence de celui qui précède.
Il y a dans le cas du problème des n corps un autre invariant intégral sur lequel je veux attirer l'attention.
Considérons une simple infinité de positions initiales du système formant un arc de courbe dans l'espace à 6n dimensions. Soient Co el Ci les valeurs de la
3o4 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
constante des forces vives aux deux exliéiiiilt's de cel arc. Je déuioulrerai plus loin que l'expression
/ 1(2 Xi dji 4- >-,• f/^i ) -H 3 ( Cl — C) ) <
(où l'intégrale est étendue à l'arc de courbe tout outier et où le temps n'entre plus si C| = G„) est encore un invariant intégral; on peut d'ailleurs en déduire aisément les autres invariants intégraux dont il a été question plus haut.
Nous dirons qu'un invariant intégral est du premier ordre, du deuxième ordre .... ou du n"'"'' ordre selon qu'il sera une intégrale simple, double, . . . ou d'ordre n.
Parmi les invariants intégraux nous distinguerons les invariants positifs que nous définirons comme il suit.
L'invariant intégral d'ordre n : j M c?.?', dx>. . .dx„ sera un invariant positif
dans un certain domaine, si M est une fonction de Xu x.,, .... ./■„ qui reste positive, finie et uniforme dans ce domaine.
Il me reste à démontrer les divers résultats que je viens dénoncer; cette démonstration peut se faire par un calcul très simple.
.Soit
r/Xi dx-i dx„
(') ■;â = -^" i?r = -^-^' •■•' -dr = ^"
un système d'équations différentielles où Xi, X;. . . . , X„ sont des fonctions de a^i, .r.,, . . . , Xn telles que
dx\ dx« ' dx„
Soit une solution de ce système d'équations dépendant de ii constantes arbitraires : a, , cf..,, .... a„.
Cette solution s'éci-ira
a.'i= ?i(^, a,, «2, . . ., a„), X-i= 02(/, «1, Xf, . . ., «„),
Il s'agit de démontrer que l'intégrale
.) = / dXidX'. . .dxn^ I \dy.i d:/.;,. . .dj.,,,
ou
