IX
dx..
dXn
rfa. ■
dai
dx,
dx.
dx„
dai
■ doi.
dxi
dx.
dx„
da-n
da„
est une conslante On a, en eliet,
M dt
J dt
dy.1 dy.« . . .du,, el
A, -H Aa -+-... A„,
dxk
A/, élant le détermiuant A dans la là""" colonne duquel on a remplacé-^»
(ixk
da^ dy.,i ' " dxj dt dy.2 dt '
d-^xt
• Mais on a
d'où
d-Xk d\i dxi d\/i dx-i
dS-i dx„ da-i dt dxi d^i dxi dy-i ' ' ' ' dx^ do-i
On déduit de là
dxk '
d'où
-j = I (Al -I- Aj-l-. . . + A„) r/a, r/x,. . .d-j.^
r /d\k dX, cfS.„\ ... ,
= / -; 1 -, h...-)--; ) Ùidi,doLi...dj.,t= O C. Q. K. D.
J \ dxi dx-i dXn I
Supposons maintenant qu'au lieu de la relation (2) nous ayons rfMX, r/MX. rfMX,,
dx 1
dXn
M étant une fonction quelconque de Xi, x^., . . . , x„. Je dis rjue
J = / M r/.ci dx-i . . . dxn = / M Arfai da.« . . . rfa„
est une constante.
On a, en efifet,
di
di ff.dM ,, ^A\ , , .
-7- = ; A — ; 1- i\I — ;- 1 dy-i «20. . .dx„.
dt J \ dt dt }
3o6 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
11 faut moulier que
dt dt
On a on effet [en vertu des équations ( i )]
dt ' dx\ ' ' dxi " dXn
et (d'après ce que nous venons de voir) :
(j\ i,rs^ dX-, d\„\
dt \dxi dxn ' ' ' dx„ I
11 vient donc
d\\ ,,d\ ./^MX, dMX., dMX„\
dt dt \ dxi dx2 dx,i I
Passons maintenant aux équations de la Dynamique. Soient les équations
dxi d? dvt dV , . ,
Soit une solution contenant deux constantes arbitraires a cl [3 et s'écrivant Je dis que
est une constante.
Il vient, en effet,
di f "^ I 'l-'i 'lyi 'l-yt dXj d-x, dy, d-Vj dx, \
dt ~J 2j XdTdi. If^ ^ dt d'{j 777 ~" dt d{j da ~ dt d-j. 77p / ^ " '"
Il vient ensuite
d-Xi •^ d-¥ dxk ■^ d-V dyk
dt d-j. ^^ dvi dxk dy. ^U dyi dyk da.
d'^Xj ■^ (-/-F dxk \r< d-i' dvk dt d';. " jLJ dfi dxk 'df' '^ ^mi dyi dyk 'd^'
d\y, __ j^ d^V dxk -^ d^V dyk dt d-j. Jmà dXi dxk dy. ^êà dxi dyk dy.
d-Yi 'V d'V dXk 'V' d'V rlvk
dt d!;. ~ ^ ^ dxi dXk d\i Zd dx[ dyk ~dj '
On conclut de là que
' d'-U-i dyi d-Yi dxi^
21 d'-J-i dji d'Vi dxi \dt7h. in ~ dt d-j. TTjj"
■^ ■^ / d'-V dxk dy'i d-F dvt dyi d'-F dxn dxi d'-F dxt d}j,-
^^Xdy'idxk di. d'p ' dyidvk d^ d'f dxidxk da. d^ ~^ dxidyk d'^i da.
Le second membre ne change pas quand on permule a el |3, on a donc
■^ / r/-Xi dvi ^ d'y, d.iA '^ / '^'-■''i '^.Vî à'Yi dx, \ .— J \ (/< d:t. d\1, ~ dt (h. 'd^ ) ~ ^^ \d1 d'^j ~fh. ~ dt d''j Th. ) '
Celte égalité exprime que la quantité sous le signe / dans l'expression de
-j est nulle et par conséquent que
di
dt
Il me reste à envisager le dernier des invariants intégraux, qui se présente dans le cas du problème des n corps.
Reprenons les équations de la Dynamique, mais en posant
T ne dépendant que des )• et U des x seulemenl. De ()lus T est homogène de degré 2 et U homogène de degré — i .
Prenons une solution
X, = o,(/, 2 ). y,= iiji t, y.)
ne dépendant que d'une seule constante arbitraire a. Considérons l'intégrale simple
Cl et C(i étant les valeurs constantes de la l'onction F aux extrémités de l'arc le long duquel on intègre.
Il vient
r/.l dt
Il vient
<^ rfF r/T . dvi __ r/U
dt ~ dy, " dV,'' 'dî ^~ d7i'
-X, 'yi i/-T dvk d-vi ■^ d-\\ dxk
' dx ^^ dy i dvk d-J. dt da. â^ dxi dxk da.
3oS SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
il" OÙ
dt J jLd^\ <hi <U (lytdyk ffy^ d^ dxi </Si<i.Ck <iy- /
Mais en vorlii du llu'orénie des fonctions homogènes on a
rf-^T dT -^ d'-\} rfU
d"où
dt
^ •' ' (/fi dvk ~ dfl ' ^ ■' ' f/j-, f/j-A- ~ " dxk '
J ^ \ dft da. dXi d3. /
ou
^ = 3 A ,lï -4- rfU ) + 3 ( C , - C„ ).
Or d'après la dèfinilion de C, cl G,, on a
C„— C, = Ç'IV = Ç(dT -H d\}).
Il vient donc
dt
