Transformation des invariants intégraux
Reprenons les équations difïérenticUes
dj:i d.r, • dxn ^
et supposons que l'on ait
• ./(MX,) , f/(MX,) , , ./(MX,.)
de telle sorte que l'intégrale d'ordre n
J = / M c/a;| dx-i. . .dXn
soit un invariant intégral.
Changeons de variables en posant
x\ = ii(5), ;», . . ., ;„))
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. OOg
et appelons A le délerniinanl fonctionnel des n fonctions 'h par rapport aux n variables :.
Nous aurons après le changement de variables :
\dzs flz....dz„.
Si l'invariant J était positif avant le changement de variables, il restera positif après ce changement, pourvu que A soit toujours positif, fini et uniforme.
Comme en permutant deux des variables s, on change le signe de A, il nous suffira de supposer que A est toujours de même signe ou qu'il ne s'annule jamais. Il devra de plus être toujours fini et uniforme. Cela arrivera si le changement de variables (.3) est doublement univocjue, c'est-à-dire si dans le domaine considéré les x sont fonctions uniformes des z et les z fonctions uniformes des X.
Ainsi après un changement de variables doublement univoque, les invariants positifs restent positifs.
Voici un cas particulier intéressant :
Supposons que l'on connaisse une intégrale des équations ( i ) :
F(j;i, Xn, . . ., x„) = G.
Prenons pour variables nouvelles z,i^ C d'une part et d'autre part n — i autres
variables -i, z-> .;,i i. H arrivera souvent qu'on pourra choisir z^,Z2■, ■■■, Zn-i
de telle sorte que ce changement de variables soit doublement univoque dans le domaine considéré.
Après le changement de variables, les équations (i) deviendront
Z|, Z2. ..., Z„, étant des fonctions connues de ^i, .s^., ..., Zn- Si l'on regarde la constante C = s„ comme une donnée de la question, les équations sont réduites à l'ordre 7i — 1 et s'écrivent
(4) it-^" ■■■' -~dr- "-"
les fonctions Z ne dépendant plus que de -1, z-^,, . . . , s„t puisque ;;„ y a été remplacé par sa valeur numérique.
3lO SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Si les oquations (i) aJiueUeul iia iuvai'iaiil [losilif j M ilx^ dxj . . .(/x„, les équations (.j) ailineltroiit égaleiiiL'ul un invariant posilil ;
Je (lis niainteuanl (jue lus équations (/j') qui sont d'ordre ri -[ adnieltenl également un invariant intégral positif (|ui devra être d'ordre n — i. En eflet, dire ([ue J est un invariant intégral c'est dire que
r/(|JL/i) r/((jLZo) r/(,aZ„) ^ ^^
dzi (fz-i ' ' ' dz,i
on puisque Z„ est nul,
clzt dz^, ' ' ' riz,,
ce qui prouve que l'intégrale d'ordre n — i : / [jd z^ dz-^. . .dzn-\ est un invariant pour les équations (4')-
Jusqu'ici nous avons fait porter les changements de variables sur les fonctions inconnues Xi, x-,-, ■ ■ ■■ x,i, mais nous avons conservé le temps t qui est notre variable indépendante. Nous allons supposer maintenant i(ue l'on pose
et que nous prenions /, comme nouvelle variable indépendante. Les équations (i) deviennent alors
(^) -dr,-^> = ^'7it=^-^w, (, = .,2, ....0.
Si les équations ( i ) ont un invariant intégral d'ordre n : /M dx\ dx^ . . , dx,, on devra avoir
ce qui peut s'écrire
Cela montre que / M -^ dxt dx^. . .dx,, est un invariant intégral pour les équations (5).
Pour que cette transformation puisse être utile, il faut que t et /, soient liés
de telle sorte que -^ puisse être regardé comme une fonction connue, finie,
continue et uniforme de a?i, x■^^ ■ ■ -, x„.
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 3ll
Supposons par exemple que nous prenions pour nouvelle variable indépendante :
11 vient alors
et les équations (5) s'écrivent
'/.i-i X| 'ix-2 Xo dx,i—\ X„i dx,.
;777-x;;' TF.-y^n'' ■■■' inr^^f^'' w,^''
et elles admettent comme invariant intégral :
/ MX,, tlxi dx,. . .dx„.
De même si nous prenons pour nouvelle variable indépendante :
'i ^ 6( Xi, Xi, . . . , x„),
0 étant une fonction quelconque de x^jXi, • • • , .2",i, le nouvel invariant intégral s'écrira
,, / de ^. de ^. de ... , ,
M -T— X, -H -r— X.; + . . .-!- -r— X„ dx , dx. . . . dx „ . \ axi dxi a.Ci,
Il est à remarquer que la forme et la signification d'un invariant intégral sont beaucoup plus profondément modifiées quand on change la variable indépendante appelée temps que quand le changement de variables porte seulement sur les fonctions inconnues a7|, x-i^ ■ ■ -, ^/i, car alors les lois du mouvement du point représentatif P se trouvent complètement transformées.
Supposons « ;= 3 et regardons x,, x-^, x^, comme les coordonnées d'un point P dans l'espace. L'équation
8(xi, Xo, Xt.) = o
représentera une surface. Considérons une portion quelconque de cette surface et appelons S cette portion de surface.
Je supposerai qu'en tous les points de S on a
de „ de ^. de .,,
-j— Xi-(- -j— X,-i- -7— X axi axi dx:\
Il eu résulte que la portiou de surface S n'est tangente à aucune trajectoire. Je dirai alors que S est une surface sans contact.
Soit Po un point de S; par ce point passe uue trajectoire. Si cette trajectoire
3l2 SUR LE PROBLEME DES TROJS CORPS
prolongée vient iocoii|)or S en nn poinl l'i, je dirai ([ue l*i esL le ronséquenl (Je l'„. A son lour l'i peut uvoii' un conséquent i'j (pic j'nppelierui le second conséquent de Po el ainsi de suite.
Si l'on considère une courbe C Iracée sur S, les «'"""' conséquents des divers points de celte courbe formeront une autre courbe (V que j'appellerai la «"■""' conséquente de C. On définirait de la même façon l'aire qui est In n''""' conséquente d'une aire donnée faisant partie de S.
Cela posé, soit une portion de surface sans contact S ayant pour équation 0 = 0; soit C une courbe fermée tracée sur cette surface et limitant une aire A; soient C et A' les premières conséquentes, C" et A" les /(""'" conséquentes de C el de A.
Par chacun des points de C passe une trajectoire que je prolonge depuis sa rencontre avec C jusqu'à sa rencontre avec C. L'ensemble de ces trajectoires formera une surface trajectoire T.
Je considère le volume V limité par la surface trajectoire T et par les deux aires A et A'. Supposons qu'il v ait un invariant positif
.) = / I\I dxi (Ix-i dx-i.
J'étends cet invariant au volume V et j'écris que -r est nul.
Soit (/w un élément de l:i surface S. Menons la normale à cet élément, prenons sur cette normale une longueur infiniment petite dn. Soit & -\- -r- dn
la valeur de 0 à l'extrémité de cette longueur. Si l'on a mené la normale dans
le sens des 0 croissants, on aura
dB
dn
Posons
de ^, de ^. de ^.
-7— Xi -1- -;— X2+ -; X:,
dx, dx-. dx-i
de
du
1 aura alors
^; = AiH^Ao-rM.
la première intégrale étant étendue à l'aire A' et la seconde à l'aire A.
L'intégrale / MH rfw conserve la même valeur (pi'(jn l'élende à l'aire A, ou à A', ou par conséquent à A". C'est donc un invariant inti'gral d'une nature
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 3l3
particulière (|ui conservu la même valeur pour une aire quelconque ou pour l'une de ses conséquentes.
Gel invariant est d'ailleurs positif, car par hvpoliièse. M, H et par conséquent Mil sont positifs.
