Usage des invariants intégraux

Ce (|ui fiiit l'intérêt des invariants intégraux, ce sont les théorèmes suivants dont nous ferons un fréquent usage.

Nous avons défini plus haut la stabilité en disant (jue le point mobile P doit restera distance finie; on l'entend quelquefois dans ini autre sens. Pour (ju'il ■ y ait stabilité, il faut que le point P revienne au bout d'un temps suffisamment long sinon à sa position initiale, du moins dans une position aussi voisine que l'on veut de cette position initiale.

C'est dans ce dernier sens que Poisson entendait la stabilité. Lorsqu'il a démontré que, si l'on tient compte des secondes puissances des masses, les grands axes des orbites demeurent invariables, il s'est seulement attaché à établir (jiie les développements de ces grands axes en séries ne contiennent que des termes périodiques de la forme sina/ ou cosa^, ou des termes mixtes de la forme t sinc.t o\i tcosy.t. sans contonii- aucun terme séculaire delà forme t ou t'-. Cela ne signifie pas que les grands axes ne peuvent jamais dépasser une certaine valeur, car un terme mixte tcos7.t peut croître au delà de toute limite; cela veut dire seulement que les grands axes repasseront une infinité de fois par leur valeur primitive.

La stabilité, au sens de Poisson, peut-elle appartenir à toutes les solutions ? Poisson ne le croyait pas, car sa démonstration suppose expressément ([ue les moyens mouvements ne sont pas commensurables ; elle ne s'applique donc pas qu(!lles que soient les conditions initiales du mouvement.

L'existence des solutions asymptotif[ues, c[ue nous établirons plus loin, montre suffisamment que si la positiou initiale du point P est convenablement choisie, ce point P ne repassera pas une infinité de fois aussi prés que l'on voudra de cette position initiale.

Mais je me propose d'établir que, dans un des cas particuliers du problème des trois corps, on peut choisir la position initiale du point P (et cela d'une infinité de manières), de telle façon que ce point P repasse une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale.

3l4 SUR LF. PROBLÈME DES TROIS CORPS

Eli il'aiilrcs leriues, il y uura iiuo inliiiilt' de soliilions parliculières dvi problème ijni 110 jouiront pas île la slaliililé au second sens du mol, c'est-à-dire au sens de Poisson; mais il y en aura une infinité qui en jouiront. J'ajouterai que les premières peuvent être regardées comme; exceptionnelles et je chercherai plus loin à faire comprendre le sens précis que j'attache à ce mol.

Supposons n = 3 et imaginons que X\, u-,. .r,, représentent les coordonnées d'un point P dans l'espace.

Tiii^oRKME 1. — Sii/>posons que le jioint P reste à distance finie, et que le

volume j clx, d.i-,dx:t soit un invariant intégral: si Von considère une

région r„ quelconque., quelque jietile que soit cette région, il r aura des trajectoires qui In traverseront une infinité île fois.

En effet le point P restant à distance finie, ne sortira jamais d'une région limitée R. J'appelle V le volume de cette région R.

Imaginons maintenant une région très petite /'o, j'appelle c le volume de cette région. Par chacun des points de /'o passe une trajectoire que l'on peut regarder comme parcourue par un point mobile suivant la loi définie par nos équations différentielles. Considérons donc une infinité de points mobiles remplissant au temps zéro la région /•„ et se mouvant ensuite conformément à cette loi. Au temps T ils rempliront une certaine région r,. au temps 2t une région To, etc., au temps n- une région /„. Je puis supposer que t est assez grand et r,, assez petit pour que /„ et r^ n'aient aucun point commun.

Le volume étant un invariant intégral, ces diverses régions r,,, r^. . . ., r„ auront même volume ^'. Si ces régions n'avaient aucun point commun, le volume total serait plus grand que nv; mais d'autre part toutes ces régions sont intérieures à R, le volume total est donc plus petit que V. Si donc on a

il faut que deux au moins de nos régions aient une partie commune. Soient r^ et Ty ces deux régions (q ^ />)• Si r,, et /',; ont une partie commune, il est clair que r„ et r,,-f, devront avoir une partie commune.

Plus généralement, si l'on ne pouvait trouver /.■ régions ayant une partie commune, aucun point de l'espace ne pourrait appartenir à plus de /." — i des

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 3l5

régions r„, l'i, .... /■„. Le volume total occupé par ces régions serait donc plus grande que j Si donc on a

il faut que l'on puisse trouver /. ré^'ions ayant une partie commune. Soient r^,^, r^,^, .... /•/,, ces régions. Alors ?■„, '/,.-/,,; ''p,-p,y ■ ■ ■ ■ ''/n-/', auront aussi une partie commune.

Mais reprenons la question à un autre point de vue. Par analogie avec la nomenclature du paragraphe précédent nous conviendrons de dire que la région r» est la /i'*""' conséquente de r„ et que r,, est la n^'""' antécédente de r„.

.Supposons alors que r^ soit la première des conséquentes successives de i\ qui ait une partie commune avec /„. Soit ;•'„ cette partie commune; soit s'^ la p"""" antécédente de ;''„ qui fera aussi partie de /■„, puisque sa/)"'"'" conséquente fait partie d(; Fp.

Soit ensuite r'^,^ la première des conséquentes de /•'„ qui ait une partie commune avec r'„ ; soit /•,', cette partie commune; sa (/)i )'"'"" antécédente fera partie de r'g et par conséquent de r,,, et sa (p +/>i )''""° antécédente quej'appellerai s"„ fera partie de s', et par conséquent de /■„.

Ainsi si fera partie de /•„ ainsi que ses p'*'""' el {p + p\ )'''"" conséquentes.

Et ainsi de suite.

Avec l'I nous formerons i\ comme nous avons formé l'I avec r'„ et /•'„ avec r„ ; nous formerons ensuite ;'|,^ r',l

.le supposerai que la première des conséquentes successives de r'û qui ait une partie commune avec r", soit celle d'ordre/?,,.

J'appellerai s", l'antécédente d'ordre /' -f-/'i 4-/'i + . . • +/>/, i de /•".

Alors 5" fera partie de /■„ ainsi que ses n conséquentes d'ordre

De plus $1 fera partie de s'l'\ s'I'^ de s"„'' ■, ....

Il y aura alors des points qui appartiendront à la fois aux régions r,,, s\, s„, . . . , s'I, .vil ' ..... L'ensemble de ces points formera une région a qui pourra d'ailleurs se réduire à un ou à plusieurs points.

Alors la région a fera partie de r„ ainsi que ses conséquentes d'ordre

p, P-i-Pu ••■■ /' -l-/'l -H.. . + /)„, /' -H/' 1 -H. . .-4- /<„-!- /*„+!,

En d'autres termes, toute trajectoire issue d'un des points de u traversera un(( infinité de fois la région /•„. c. q. f. d.

3l6 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

GoROLLAiiiE. — // résulte de ce qui iir<''cède qu'il existe une infinité de trajectoires qui Irai-ersent une infinité de fois la région /•„ ; mais il peut en exister d'autres qui ne traversent celle région qu'un nombre Jini de fois. Je me propose maintenant d'expliquer pourquoi ces dernières trajectoires peuve?it être regardées comme excejitionnelles.

Celle expression n'ayant par ellc-niênie aucun sens précis, je suis obligé d'abord d'en conipléler la définition.

Nous conviendrons de dire que la probabilité pour que la position initiale du point mobile V appartienne à une certaine région /■„ est à la probabilité pour (|ue celte position initiale appartienne à une autre région r[, dans le même rapport que le volume de /'o au volume de r'„.

Les probabilités étant ainsi définies, je me propose d'établir que la probabilité pour qu'une trajectoire issue d'un point de /"o ne traverse pas celte région plus de A" t'ois est nulle, quelque grand que soit k et quelque petite que soit la région /■„. C'est là ce que j'entends quand je dis que les trajecloires qui ne traversent Tq qu'un nombre fini de fols sont exceptionnelles.

Je suppose que la position initiale du point P appartienne à /■„ et je me propose do calculer la probabilité pour que la trajectoire issue de ce point ne traverse pas /.■ + i fols la région r,, depuis l'époque zéro jusqu'à l'époque nr.

Nous avons vu que si le volume i> de ;•(, est tel que n > -^^ — j on pourra trouver

/.■ -|- I réglons que j'appellerai r,,, r,, r^., ..., /'a, et qui auront une partie commune. Soit ^^^ cette partie commune, soit s„ son antécédente d'ordre a/,; et désignons par S/, la y>''""' conséquente de s^.

Je dis que si la position initiale du point P appartient à s„, la trajectoire issue de ce point traversera A" + i fois au moins la région r„ entre l'époque zéro et l'époque nz.

En ellet, le point mobile (|ul décrit celle trajectoire se trouvera à l'époque zéro dans la région i,,, à l'époque pz dans la région Sp, à l'époque nz dans la région s,,- Il traversera donc nécessairement, entre les époques zéro et nz, les régions suivantes : s„, .faj ï,,, «aj-ïj-,- •••) -îj, -=c,î ■^ai-a,! ^y.i- Or je dis que toutes ces régions font partie de /•„. En effet .^3,1 fait partie de /'o par définition; s^ fait partie de /'„ parce que sa (a/,)''"'" conséquente i^j fait partie de r^p et en général i2,j., fera partie de r» parce ipie sa (a,)'"""^ conséquence s^.^ fait partie de r, .

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. Siy

Donc le point mobile traversera /> -f- i fois au moins la région i\,.

Soit maintenant o-,, la portion de /■„ cjui n'appartient ni à s^. ni à aucune région analogue, de telle façon que les trajectoires issues des divers points de cr„ ne traversent pas la région /•„ au moins k -+- i fois entre les époques zéro et nz. Soit w le volume de cr„.

La probabilité cherchée, c'est-à-dire la probabilité pour que notre trajectoire

ne traverse pas k -+- i fois r„ entre ces deux époques sera alors

Or par hypothèse aucune trajectoire issue de (7^ ne traverse /• -f- i fois /•„ ni a fortiori a,, entre ces deux époques. On a donc

■ k\' et notre probabilité sera plus petite que Quelque grand (jue soil /.', quelque

petit que soit v, on pourra toujours prendre n assez grand pour que celte expression soit aussi petite que nous le voudrons. Donc il y a une probabilité nulle pour que notre trajectoire, que nous savons issue d'un point de /•„, ne traverse pas cette région plus de /.' fois depuis l'époque zéro jusqu'à l'époque +c». c. q. f. d.

Extension du théorème I. — Nous avons supposé :

1 " que 71 = 3 ;

2" que le volume est un invariant intégral;

3" que le point P est assujetti à rester à distance finie.

Le théorème est encore vrai si le volume n'est pas un invariant intégral, pourvu qu'il existe un invariant positif quelconque / M dxi dx^ dx,,. Il est

encore vrai si n > 3, s'il existe un invariant positif / Mdxi dx-> . . . dx,,, et

SI ^1, a".j, . . ., .r„, coordonnées du point P dans l'espace à /i dimensions, sont assujetties à rester finies.

Mais il y a plus. Supposons que .r,, x-,, . . ., x,, ne soient plus assujetties à

rester finies, mais que l'invariant intégral positif / M dxi dx-. . . . dxa étendu à

l'espace à n dimensions tout entier ait une valeur finie. Le théorème sera encore vrai.

3l8 SUR LE PROBLÊME DES TROIS CORPS

\ oici lui cas qui se présenlcra plus fréquemment. Supposons que l'on connaisse une intégrale des équations (i)

F(a:i, X,, . . . . x„) = consl.

Si F = const. est l'équation générale d'un système de surfaces fermées dans l'espace à n dimensions, si en d'autres termes F est une fonction uniforme qui

devient infinie quand une quelconque des variables x,, a,\., r„ cesse d'être

finie, il est clair que x'i, x.,, .... x,, resteront toujours finies, puisque F conserve une valeur constante finie; on se trouve donc dans les conditions de l'énoncé du théorème.

Mais supposons que les surfaces F = const. ne soient pas fermées; il pourra

se faire néanmoins que l'invariant intégral positif / M dx^ dx^ ■ ■ ■ dx,, étendu à tous les systèmes de valeurs des x tels que

ail une valeur finie; le théorème sera encore vrai.

C'est ce qui arrive en particulier dans le cas suivant.

M. Hill dans sa théorie de la Lune a négligé dans une première approximation la parallaxe du Soleil, l'excentricité du Soleil et l'inclinaison des orbites; il est ainsi arrivé aux équations suivantes :

dx

dx- , ,

dy -d}=>'

dy' , .

■ dt= ^"■^'

qui admettent l'intégra

le

- + ,)''- [Jl

'i , n"- .K- = const.

et l'invariant intégral / dxdydx'dr'-

Si l'on regarde x,y, .// et j-' comme les coordonnées d'un point dans l'espace à quatre dimensions, l'équation F = const. représente un système de surfaces qui ne sont pas fermées. Mais l'invariant inlégral étendu à tous les points compris entre deux de ces surfaces esl fini, comnie nous allons le montrer.

f^e théorème I est donc encore vrai; c'est-à-dire (ju'il existe des triijectoires qui traversent une infinité de fois toute région de l'espace à quatre dimensions, quelque petite que soit cette région.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. Sig

Soit donc à calculer l'intégrale quadruple

J = / dx dy dx dy' ,

cette intégrale étant étendue à tous les systèmes de valeurs tels que

Changeons de variables et transformons notre intégrale quadruple, en posant

x' = cos o ^1 r, y = sin s y/y r, X = p cos (0, J' = ? sin oj ;

cette intégrale devient

i = j p dp dr c/to ds , et il vient d'autre part

F = /- — n-p- cos- oi.

Nous devons intégrer d'abord par rapport à cp entre les limites zéro et 2 7ï, ce qui donne

} = î- j p dp dr dt<) ,

et l'intcgrallon doit être étendue à tous les systèmes de valeurs de p, ;• et w qui

satisfont aux inégalités

(i) /■ > o, r > Ci-+- - -t- - «'-B-cos'-w, r <cCî-h - -h - n'^p-cos'-M.

De ces inégalités on peut déduire la suivante :

r l^ '^ '.. .. o ^ C» -I- - H — n -0- cos- (0 > o.

Regardons p et gj comme les coordonnées polaires d'un point et construisons la

courbe