C.1 -I- — I — n-p- cos- (0 = o

Nous verrons que si G2 est plus petit que — - (r)«'pi)^ cette courbe se compose d'une ovale fermée située tout entière à l'intérieur du cercle

et de deux branches iniinies situées tout entières à l'extérieur de ce cercle. Le lecteur fera facilement celte construction; s'il y éprouvait quelque

difficulté, je le renverrais au Méiuoire original de M. Hill dans le Tome I de V American Journal of Mathematics.

M. Hill conclul (le là que si le poiul p, to est à l'origine des lumps à l'inlérieur de cette ovale fermée, il y restera toujours; que par conséquent p restera

toujours j)lus petit quei/-^- Aiusi si l'on négligeait la parallaxe du Soleil,

son excentricité et les inclinaisons, il serait permis d'assigner une limite supérieure au rayon vecteur de la Lune. En ce qui concerne la Lune, en elfet, la

constante Gj est plus petite que (Q/f'f-i.)'.

C'est ce remarquable résultat de M. Hill que je me propose de compléter en montrant que, dans ces conditions, la Lune jouirait également de la stabilité au sens de Poisson; je veux dire par là que, si les conditions initiales du mouvement ne sont pas exceptionnelles, la Lune repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position primitive. C'est pour cela, comme je l'ai expliqué plus haut, que je me propose de démontrer que l'intégrale J est finie.

Comme p est plus petit que i/t^ fï' pai' conséquent limité, l'intégrale

://■ dw

ne peut devenir infinie que si r croît indéfiniment, et r ne peut devenir infini, en vertu des inégalités (r), que si p s'annule. Posons donc

.1' représentant l'intégrale étendue à tous les systèmes de valeurs tels que

(2) r>o, p>p„, Ci<F<C,,

et J" représentant l'intégrale étendue à tous les systèmes de valeurs tels que

(3) r>o, p<p„, C,<F<Co.

Quand les inégalités (a) sont satisfaites p ne peut s'annuler; donc /• ne peut devenir infini. Donc la première intégrale J' est finie.

Examinons maintenant .)". .le puis supposer que pd a été pris assez petit pour que

Les inégalités F > Ci , p < po entraînenl alors /• > o. Nous devons donc intégrer par rapport à /• entre les limites

Il vient alors

Cl -h - H — n -p- cos-oj et Ci -t- ' — i — n-a^ cos-w. p 2 '^ - p 2 '^

J"= 2JC(C.— Cl) / dM j p rfp = 2Jt'-p5(Cî— C).

J" et par conséquent J est donc fini. c. q. f. d.

M. Bohlin a généralisé de la manière suivante le résultai de M. Hill. Considérons le cas particulier suivant du problème des trois corps. Soit A un corps de masse i — p^, B un corps de masse p. et C un corps de masse infiniment petite. Imaginons que les deux corps A et B (dont le mouvement doit être képlerien, puisqu'il n'est pas troublé par la masse de C) décrivent autour de leur centre de gravité commun supposé (ixe deux circonférences concentriques, et que C se meuve dans le plan de ces deux circonférences. Je prendrai pour unité de longueur la distance constante AB, de telle façon que les rayons de ces deux circonférences soient i — ;jl et p. Je supposerai que l'unité de temps ait été choisie de telle sorte ([ue la vitesse angulaire des deux points A et B sur leurs circonférences soit égale à i (ou ce qui revient au même que la constante de Gauss soit égale à i).

Choisissons alors deux axes mobiles ayant leur origine au centre de gravité des deux masses A et B; le premier de ces axes sera la droite AB, et le second sera perpendiculaire au premier.

Les coordonnées de A par rapport à ces deux axes sont — p. et zéro, celles de B sont i — p. et zéro; quant à celles de C je les appelle x ol y; j'ai alors pour les équations du mouvement :

dx , dx' , d\

en posant

On a d'ailleurs

dv , dv' , dV

dt -^ ' dt dy