I .\o . " Al u- , a B|i Bia

Vi{,i,b) h "h 6'' "6 b b"-

Remplaçons dans cette identité a par \/ab et b par "— — , il viendra

M i \J.ab, —

= -r log ,- -4- -r-r I02

Mais on a

Les deux séries doivent donc être identiques; ce qui conduit aux identités

Bo = Aolog4 -^ 2B0, o = — Ao-h 4 A,, o = — 2A0— Ao log4 -+- 4 Ai log4 -- 3B0+ 8B|.

On a donc

eu uégligeanl les ternies de l'ordre de ^^ log -•

11 reste à déterminer A,,. Four cela nous appliquerons un cas particulier du théorème de Green, c'est-à-dire le théorème du flux de force. Considérons un cercle de rayon très petit décrit autour de l'élément c?co'. Ce cercle engendrera par sa révolution un tore enveloppant l'anneau élémentaire considéré. En un point de ce tore, a sera très petit et peu différent du rayon du cercle méridien, b diffi'Tcra peu de 2(R-\-x'). La surface du tore sera donc 471"^! (R + ar'); l'attraction exercée par l'anneau c?/jl sur un point du tore différera peu de

ab 2a( l\ ■+- y )

ce qui fait pour le tlux de force — 271- A^ dix. Or ce (lux doit être égal, d'après le théorème de Green, à i^ndiJ.. On a donc

A„ = -^ Nous poserons, pour abréger

et nous trouverons aisément les développements suivants :

■^l L + Jl + JL

b^ 2R 4R2 4R-' 16 RI

i ,0.1^ - J + ill Jl 4R: , h " b \K"- 16 R" i6R-i 6^'

log3«- ? ^ 7^= '- -

En tenant compte de ces développements, on trouve avec le même degré d'approximation que plus haut

; = :rî7 'oSôt; - Toi 'ogrrû JTm ^"Sttts - tâî» '"g^TR -" «ITs ^°=

AoM(a,6)~2R °8R 4R2^2aR 8R3^2fjR 16R' ^2aR HR' =2aR

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 29

On trouve ensuilfi

/ ■ 4(R^.£')c^cu' 'iY UH-t-x';

""",' AoM(a.6) ' riV) "" \oM(a. b}'

(.)n en déduit, toujours avec le même degré d'approximation,

J'ai écrit cette dernière formule, pour abréger, en prenant 2R pour unité de longueur, quitte à rétablir plus tard l'homogénéité.

Pour obtenir la valeur de V lui-même, il reste à calculer un certain nombre d'intégrales doubles de la forme suivante :

3(./-"', y' ) \tf^ - (/m

étendue à tous les éléments rfu' de la bection méridienne du tore. Une pareille intégrale n'est autre chose que le poleulicl logarithmique du cercle méridien par rapport au point M supposé attiré en raison inverse de la distance, et de telle sorte que la densité de la matière attirante soit égale à ©(a?', y')- Si celle densité est uniforme en tous les points également distants de G, le polenliel est le même que si toute la masse était concentrée au centre G du cercle méridien. On a donc

Siyestnul sur la circonférence du cercle méridien, c'est-à-dire poura;'-'-!- )■'-'= r-, l'intégration par parties donne

On trouve de même

■ ' J dx"'dy "''■•' ^ '' '^^ dx'" dy" " z 7

pourvu que / soit nul ainsi que ses m -\- n — 1 premières dérivées pour r" 4- .r'- = r2.

3o SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Ces formules doniu'nl

/ lus cAo' — -/■- log-- ) J " X a

(./• --I- )• -) loff— f/to = — loff-) 2 3 2

r / ■■> '.. .,N 1 " J ' ^'■' 1 P I (.!•--(-)- — r-)]0S~dM— 102-5

(./;--i- ) - — /■-)-loj<- (Ao = - - log •

J'appliquerai maintenant la formule (i) en diiférentiant la troisième des inlcgrales précédentes par rapport à x', ou par rapport à i ', et la quatrième deux fois par rapport à r': j'obtiendrai ainsi

X lo" t/M = ) 1 I y \os— av) = ,

/'/'., '. ., NI " J / , r -., , '1,1 '^f'' i;0S2Ç

2 ( (.;■ --h 1 ■— /•-) log- aw + 'i / X -^ log- (Ao = ^;

d'où je tire

/ .(• - log- (Im = —^ log -— ,

/ V - log- dM = — — log- H ^•

Si nous supposons que le point M est sur la surface du tore de telle façon que 0 = /•, ces formules se simplifieioul un peu, de sorte qu'on aura

■ , , /-/■■> cos ç ffw = - ;■■ OU!- Zi log : ■ i

j^lo,

/, " , , ,, r / S cos2 9\ /i cos 2 s

/„, , « , , ,, r fi C0S2(p\ ,/l 00S2(b\

ÇMog-rfo. = .,'. log-(- - ^j ^r.,-^- - ^^j,

/ a- log - rfio' =--;■' log — h-;-', ^ a 2 X

Toutes ces intégrales sont des fonctions linéaires de cos 9 et COS29; si nous les substituons dans l'expression de V, nous trouverons

V = F -T- G cos 9 -I- H cos 2 ç.

F, G et H étant indépendants de cp; on a, en rétablissant l'homogénéité

SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 3l

,u étant une constante facile à calculer d'après ce qui précède. Ouant à F, il

n'intervient pas dans la suite et nous n'écrirons que son terme principal qui

est 2nr^ loe

Supposons maintenant que la niasse considérée, au lieu d'aflecler la forme

du tore dont l'équation était p = ;■, prenne la forme d'une surface de

révolution S, peu différente de ce tore, et ayant pour équation

c = /■ -I- p, COS 2 i -(- 'j3 COS 3 S + . . . -I- [îi COS i Ç -f . . . .

Nous pourrons alors regarder l'attraction de cette masse comme la somme de l'attraction du tore et de la différence entre la surface S et le tore. Nous appellerons ôV le potentiel dû à cette différence, V le potentiel du tore par rapport à un point de sa propre surface, et V + A^' le potentiel du tore par rapport à un point de la surface S, de sorte que le potentiel total par rapport à un point de la surface S sera