Calcul des exposants caractéristiques

Reprenons les équations ( i ) du paragraphe précédent

, , dx, ,1F ,lyi dV

Supposons qu'on ait trouvé une solution périodique de ces équations

et proposons-nous de déterminer les exposants caractéristiques de cette solution.

Pour cela nous poserons

r,= 0/(0 + ?/> yi— ^/(0-+-T|,,

puis nous formerons les équations aux variations des équations (i) que nous écrirons

^ dt jU dvi dxk '■''Au dyi dyk ^

(^) \^ L ^-p * ^op (t, A- = 1,2, 3)

f dt Au dxi dxk ' J^ dxi dxk

et nous chercherons à intégrer ces équations en faisant

(3) ?, = e«'S„ ri,.= e«T,-,

S, et T, étant des fonctions périodiques de t. Nous savons qu'il existe en général six solutions particulières de cette forme [les équations linéaires (2) étant du sixième ordre]. Mais il importe d'observer que, dans le cas particulier qui nous occupe, il n'y a plus que quatre solutions particulières qui conservent

(') Œuvres de H. Poi/icaré, ce Tome p. 253.

cette forme, parce que deux des exposants caractéristiques sonl nuls, el qu'il y a par conséquent deux solutions particulières d'une forme dégénérescenlc.

Cela posé, supposons d'abord fz = o, alors F se réduit à Fq comme nous l'avons vu dans le paragraphe précédent et ue dépend plus que de x^, xl, clxl.

Alors les équations (2) se réduisent à

dh dt

n'.r? dx