TT
Les coefficients de \k dans la seconde équation (2') sont des constantes. Nous prendrons comme solutions des équations (2')
r)J, r\\ elYi" étant trois constantes d'intégration.
Celte solution n'est pas la plus générale, puisqu'elle ne contient que trois constantes arbitraires, mais c'est la plus générale parmi celles que l'on peut ramener à la forme (3). Nous voyons ainsi que pour p. ^o, les six exposants caractéristiques sont nuls.
Ne supposons plus maintenant que \>. soit nul. Nous allons maintenant chercher à développer a, S/etT;, non pas suivant les puissances croissantes de fji. mais suivant les puissances de \J\i. en écrivant
a = a I ^, ij. + ao JJL + «3 [J. y' fjL -f- . . . ,
S/ = s;- + S • s/li + S/ [Ji + S; iJL v/(^ + . . . , T,- = T» + T; 4Tx + T,^ IX + Tf ,a \l'^^....
Je me propose d'abord d'établir que ce développement est possible.
Montrons d'abord que les exposants caractéristiques a peuvent se développer suivant les puissances croissantes de \J \i..
D'après ce que nous avons vu au paragraphe 10, les exposants caractéristiques nous seront donnes par l'équation suivante, en reprenant les notations des paragraphes 9 et 10 :
d'px
d\jn
4ii
dh
dy,
d[in
d'in d'p,
d-in ■ ■ d^n
Le premier membre de cette équation est holomorphe en a ; de plus, d'après le
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 36l
théorème III (§ 2), les y peuvent être développés suivant les puissances de jj. et des (3 (c/. § 9), d'ailleurs d'après le paragraphe 9 les ^ peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances de p.. D'après cela les y et le déterminant que je viens d'écrire peuvent eux-mêmes être développés suivant les puissances de p.. Il résulte de là que les exposants a nous sont donnés en fonction de (j. par une équation G(a, p.) = o dont le premier membre est holoinorphe en a et en p..
Si pour p^o, tous les exposants a étaient différents les uns des autres, l'équation G = o n'aurait pour (3 = o que des racines simples, et l'on en conclurait que les <x seraient développables suivant les puissances de p (théorème IV, §2).
Mais il n'en est pas ainsi ; nous venons de voir en effet que pour p. = o, tous les x sont nuls.
Reprenons les notations du paragraphe H, notre équation pourra s'écrire, en supposant trois degrés de liberté seulement :
G(a, ,u) d^rii ^^ dAat d\a, r/A^i d àa, a'A«i
dSdi d oa-2 d Sa} d om, d ots-> d om-,;
d \ai d \a-i ,. d \a^ d Aa« d \a« d \(ii
dScii dScii d 5(ir. d oznt </ ora-i </ onj-
f/A«3 d la^ d \a ^ ^ d \at d \a^ d \a:,
dScii dSui f/S«3 d Swi d 5rsi d om-t
d Son
d \a doa
rf Aini
dSa-.i
rfAm,
d Sa?,
d Ara.
o'Ara, ofAnj, rfAiHi r/Aroi ^,. (/Airri c/Ara,
dSi(i doai dSa-i dowi d Sm^ ' d cm-
f/Ara-. r/Ara. rfAm-; r/Aroo '/Aroo .., d ^tïs-i
d \ax
d OTn>
dlr,„
d ora.i
d Scjî
d oro,
d Sra
c/AcTa
d ûcii d 5a^ d Sa?, dSr^i d Sm^ dSm-,
rfAcTi «yAcT, d Ivî:: rfAcJa c/AcTa ofAro.T
dSrit d Sa« d Sa-., dSwi d Sw-^ dSwj
Cela fait, je pose
Je divise les trois premières lignes du déterminant par y/p.; je divise ensuite les trois dernières colonnes par \/p (de sorte que le déterminant lui-même se trouve finalement divisé par p.^).
Je fais ensuite p = o.
J'observe que d'après ce que nous avons vu au paragraphe il, Aai, Aaj, H. P. — \li. 46
A«3 sont divisibles par (x. Si donc j'envisage le premier élément de la première ligne, cet élément après la division par \ fj. s'écrira
et quand on j fera fi = o il deviendra — IT.
De même le second élément de la première ligne s'écrit -— — — et il tend vers zéro avec p..
Ainsi quand on aura fait fJt = o, les trois premiers éléments des trois premières lignes s'annuleront à rexception des éléments de la diagonale principale qui deviendront égaux à — IT.
Considérons maintenant les trois derniers éléments des trois dernières lignes; ils s'écriront
dàwi i — eXTi/jI ^/^^^.
— ; \ — ou —=
selon qu'ils appartiennent ou non à la diagonale principale. D'après ce que nous avons vu au paragraphe il, Awk est dévoloppable suivant les puissances de jj-, des ôa,- et des dmr, de plus pour f;:. = o, Acj, ne dépend pas des ônr,-. On en
conclura que —rr-^ est divisible par u. ■ aomi ^ '
Donc quand on fera |jl = o, les trois derniers éléments des trois dernières lignes deviendront égaux à — XT ou à zéro, selon qu'ils appartiennent ou non à la diagonale principale.
Considérons maintenant les trois premiers éléments des trois dernières
lignes -j^ — ■'• D'après ce que nous avons vu au paragraphe H, on a pour/j. = o :
<•/ Ara,- rj, '/- Fo
(/San dxidxk
Passons enfin aux trois derniers éléments des trois premières lignes qui s'écrivent ,^ ' • D'après ce que nous avons vu au paragraphe H, si dans P\ on substitue «i, a-,, a-,, «, < + OT), n^t + sto, Uit -\- m-i à la place de .Ti, Xj, x^. y,, Yi, y:\, on voit que F, devient une fonction périodique de t de période T et si l'on appelle 'h la valeur moyenne de cette fonction périodique, on a pour p = o :
Act/ d^ dl^a, d"-'\
= T-r-i-i don — ;.^ — =T- -
jJi dmi \y ri onu drui dmji
Il importe de remarquer que l'on a identiquement
rfi
dwi ' fifeî
Nous voyons donc que pour p. = o on a
G(Xv/|^, IJl)
d'-'l dm'j
d-nii f/c»
(YtCfi ûfe;;
dm y drs-i
d-i<\, dmi
d-^i, dwi dm-i
dm-2 dm-i
dmi
dx'\
c/Xi rt':C2
dx\ dx?.
d-^ F„ dci dx-i
^/■^ F„ dx\
d-^¥„ dx-i dx~
^/=Fo
ilx^ dxz
f/j-î «/xj
dxi
En égalant à zéro ce déterminant, on a une équation du sixième degré en \\ deux de ses racines sont nulles ; nous n'en parlerons pas, car elles se rapportent aux deux solutions particulières de forme dégénérescente dont j'ai parlé plus haut. Les quatre autres solutions sont distinctes en général.
Il résulte alors du théorème IV (i^ 2), que nous pourrons tirer de l'équation
CifX lAI, u. ) . , . , I r 1, . • I, I .
^ — ppj-i — ^ O, A(et par conséquent a) sous la lorme d une série développée
suivant les puissances croissantes de \/p.. J'ajouterai que X peut se développer suivant les puissances de p. et que le développement de a ne contient que des puissances impaires de \i\i. En effet les racines de l'équalion G(a, p) = o doivent être deux à deux égales et de signe contraire [cf. § 10). Donc a doit changer de signe quand je change \/[j. en — y/p..
Démontrons maintenant que S, et T; peuvent aussi se développer suivant les puissances de y/p..
S, et T, nous sont donnés en effet par les équations suivantes :
dSj,
dt ""' Jmj dvidxt'"'' ^m^dyidyk
dTi ^ N? '/M' ,, NTi ^-F
dxi d\
-Ta-, Ta-.
Soit |3, la valeur initiale de S,- et |3| celle de T,; les valeurs de S, et de T, pour une valeur quelconque de t pourront d'après le théorème III, (§ 2), se déve-
364 ^l^"" LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
lopper suivant les puissances de |Jt, de «, des ,3,- et des (3/. De plus, à cause de la forme linéaire des équations, ces valeurs seront des fonctions linéaires et homogènes des (3,- et des P' .
Soit, pour employer des notations analogues à celle du paragraphe 9, (3;+ ij/; la valeur de S, et (3) +4'! celle de T, pour f:=T. La condition pour que la solution soit périodique, c'est que l'on ail
Les (['i et les 'Y^ sont des fonctions linéaires des (3; et des (3; ; ces équations sont donc linéaires par rapport à ces quantités. En général ces équations n'admettent d'autre solution que
de sorte que les équations (2") n'ont d'autre solution périodique que
S,= Tj= o.
Mais nous savons que si l'on choisit a de façon à satisfaire à G(a, p.) = o, les équations (2") admettent des solutions périodiques autres que S/= T,— o. Par conséquent le déterminant des équations linéaires i];,= i)j' ^o est nul. Nous
pourrons donc tirer de ces équations les rapports j!^ et ^ sous la forme de
séries développées suivant les puissances de a et de p..
Comme (3', reste arbitraire, nous conviendrons de prendre (3', = i de telle sorte que la valeur initiale de T, soit égale à i. Les (3, et et les (3) sont alors développés suivant les puissances de a et de p.; mais les S, et T,- sont comme nous l'avons vu développables suivant les puissances de a. de fx, des (3, et des (3) et d'autre part a est développahle suivant les puissances de y/ p..
Donc les S, et les T,- seront développables suivant les puissances de \/fx.
On aura en particulier :
T, = TÎ-i-Tl v/i^ + TriJi -(-....
Comme, d'après notre hypothèse, (3', qui est la valeur initiale de Ti doit être égale à 1 , quel que soit /j., on aura pour t ^ o :
Ayant ainsi démontré l'existence de nos séries, nous allons chercher à en déterminer les coefficients.
Nous avons
ai — O, il— ^,
et
?,=:e»'(S/'-+-S/ s/|I+...), rii=e«(T<> + T/ v>+---),
dt
./. -^^ dt ^•
. + a S," -1- a y/jl S/ + . . .
d'il dt
dt ^^ dt -"•
.-l-aT» + a v^T/+...
Nous développerons d'autre part les dérivées secondes de F qui entrent comme coefficients dans les équations (2) en écrivant
dyi dxk
dyt dyk
d'Y dxi dxk
d-^F djoi dyk
Ces développements ne contiennent que des puissances entières de [j. et ne possèdent pas comme les développements (4) des termes dépendants de i/fx. On observera que
A,'it=B,';..= DA- = o, C,",'=Gf,,
il!
