DX
Nous substituons dans les équations (2) les valeurs (4) et (5) à la place des ^, des rj, de leurs dérivées etdes dérivées secondes de F. Dans les expressions (4) je suppose que a soit développé suivant les puissances de ^j [i^ sauf lorsque cette quantité a. entre dans un facteur exponentiel e°".
Nous identifions ensuite en égalant les puissances semblables de \J \). et nous obtiendrons ainsi une série d'équations qui permettent de déterminer successivement a,, «2, «3, ■ • -, S°, S', . . ., T°, T,',
Je n'écrirai que les premières de ces équations obtenues en égalant successivement les termes tout connus, les termes en \] \j., les termes en |jt., etc. Je fais d'ailleurs disparaître le facteur e=" qui se trouve partout.
Egalons d'abord les termes en ^p.; il vient
dt
dJl dt
«,S,"=2A,°tS|+VB,",T|.,
Égalons les termes en pi, il vient
(8) ^+a,S/ + a,S,''=2](AA-Sj+A,\SÏ+liAT|+B?,Tn (/=i, 2, 3),
outre trois éi|iialions analogues donnant les —jj--
Si l'on tient compte maintenant des relations (6), les équations (j) deviennent
La première de ces équations montre que S|, S.' et SJ, sont des constantes. Quanl à la seconde, elle montre que —jj- est une constante ; mais comme T/ doit être une fonction périodique, cette constante doit être nulle, de sorte qu'on a
(9) a,v = CAsi + c»,s; + c,!^sj,
ce qui établit trois relations entre les trois constantes rj", les trois constantes S,' et la quantité inconnue a^.
De son côté l'équation (8) s'écrira
Les B," sont des fonctions périodiques de t; développons-les d'après la formule de Fourier et soit 6,7, le terme loul connu de B,^. Il viendra
ou en tenant compte des équations (g), il viendra
(10) «■fs;-=2*''i(Cl,sj-HC2,sî-t-q3Sj).
En faisant daas cette équation (10) «'= i, 2 et 3, nous aurons trois relations linéaires et homogènes entre les trois constantes S/. En éliminant ces trois constantes, nous aurons alors une équation du troisième degré qui déterminera ?.J.
Si nous posons pour abréger
l'équalion due à celle éliminalion s'écrira
e„— af
ei3
es
Elle
peul encore s'écrire
po po
es, es.
— oti
es 2 G»,
bn
bii
La déterminiilion de y.^ esl la seule partie du calcul qui présenle quelque difficullé.
Les équalions analogues à (^) el à (8) formées en égalant dans les équations (2) les coefficients des puissances semblables de y/jjt, permellent ensuite de déterminer sans peine les «/(, les S"' el les T"'. Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Les exposants caractéristiques a sont Jéveloppables suivant les puissances croissantes de \J\i..
Goncentraul donc toute notre attention sur la détermination de «t, nous allons étudier spécialement l'équation (11). Nous devons chercher d'abord à déterminer les quantités C"^ et 6,^.
On a évidemment
et
Bh =
ou
et
B?t = — SA m, »u sin c
(10 = niiyl + /«2,k" + "^^,yl -+- /' )
l>ik = — ^ A nii nik sin m.
D'après les conventions faites dans le paragraphe précédent, la sommation représentée par le signe 2 s'étend à tous les termes, quelles que soient les valeurs entières attribuées à mi, m., et m,. La sommation représentée parle
signe V s'étend seulement aux termes tels que
/) I /«i -I- n, m, -1- «:i nij = o.
Sous le signe ^ nous avons par const^quent
to = 7^2 do -4- /;i3ra-+ h.
Cela nous permet d'écrire
d^^if
(pour / et k = 2 ou 3).
dvni dm/; Si un ou deux des indices i et k sont l'igaux à i , bn: sera défini par la relation
Nous allons à l'aide de cette dernière relation transformer l'équation (ii) de façon à mettre en évidence l'existence de deux racines nulles et à réduire l'équation au quatrième degré.
Je trouve en effet par une simple iransfornialion de déterminant et en divisant par a] :
ni
— ai
es,
es,
