CS

Dans le cas particulier où l'on n'a plus que deux degrés de liberté, celte équation s'écrit

«1 fil o o

d-^i> o —a, —Ht o dxnr,

c;, es, o «,

L'expression n,Cjo — 2«,/î2G"2+n!C", ne dépend que de x^ et x° ou si l'on veut de «1 et de «j. Quand nous nous serons donné les deux nombres n, et «3 dont le rapport doit être commensurable, nous pourrons regarder n]Cl„ — ■ 2 rii niC° ^-{- nlC" ^ comme une constante donnée. Alors le signe de a]

dépend seulement de celui de -j-T-

Quand on s'est donné rii et «j, on forme l'éijualion

dust

qui esl l'équation (^) du paragraplie précédont. Nous avons vu dans ce paragraphe qu'à chaque racine de cette équation correspond une solution périodique.

Considérons le cas général où l'équation (13) n'a que des racines simples; cliacune de ces racines correspond alors à un maximum ou à un minimum de <]/. Mais la fonction ij; étant périodique présente dans chaque période au moins un maximum et un minimum et précisément autant de maxima que de minima.

Or pour les valeurs de ro^ correspondant à un minimum, -r— ^ est positif; pour

les valeurs correspondant à un maximum, cette dérivée est négative.

Donc l'équation (12) aura précisément autant de racines pour lesquelles cette dérivée sera positive, que de racines pour lesquelles cette dérivée sera négative, et par conséquent autant de racines pour lesquelles a; sera positif que de racines pour lesquelles x] sera négatif.

Cela revient à dire qu'il y aura précisément autant de solutions périodiques stables que de solutions instables, en donnant à ce mot lo même sens que dans le paragraphe 10.

Ainsi, à chaque système de valeurs de iii et de n^, correspondront au moins une solution périodique stable et une solution périodique instable et précisément autant de solutions stables que de solutions instables pour^'u que p. soit suffisamment petit.

Je n'examinerai pas ici comment ces résultats s'étendraient au cas où I é([uation (12) aurait des racines multiples.

Voici comment il faudrait continuer le calcul.

Imaginons (jue l'un ait déterminé complètement les quantités ai, a^j • • • • ^'■m et les fonctions S", S,', . . ., S"', T", T,' . . . ., T,'""', et que l'on connaisse les fonctions S"'^' et T"' à une constante près. Supposons qu'on se propose ensuite (le calculer a„, ^1, d'achever la détermination des fonctions S'"^' et T'" et de déterminer ensuite les fonctions S'"^' et T"'^' à une constante près.

En égalant les puissances semblables de \j. dans les équations (4), on obtient des équations de la forme suivante, analogues aux équations (7) et (8).

Y h / G,"^ SJj' + ' — Kl T™ — 2m+i T," = quaiuilé connue

j y >- \^^hTf — aiS;"+' — a„,H iS,' = quantité ronnue

Les deux ini'inl)res de ces éi|ii;Uioiis (12) sont des louclioiis périodiques de /. Egalons hi viilour movonne de ces deux membres. Si nous désignons piir [UJ la valeur movenno d une toiiclii)n péri()di(|U(' ([uciconcjue U, si nous observons que si U est périodique on a

lïj-

si nous ra|»pelons (jue, T™ (Maul connu à une conslanle |>rés, 'l'<"--[T™] cl [B/j. (T™ — [T™ D] sonl des f[iianlil(;s connues, nous ol)lien(lions les équations suivantes :

1 '^•VJ^ii"" I - î'iCI';'"] — :i„,+iT," = riiianlilé coniiiK- (li) \ (/ = i,2, 3).

1 ^l'-'d'^'ï'ï - =<i[S,"" ' J ^ x,„+,s; = iiuanlité comme

Ces i'(|uati()ns ( 1 4 ) vuiil nous sci-vii' à calculer ;z,„ , , , ['i'"'| el. [S""'] et par conséquent à aciiever la dr'ierminalion des Conclions TJ" et S''"' qui no sonl, encore connues qu'à une conslanle prés.

Si l'on additionne les équalions (i4) après les avoir respectivement iTuiilipliées par S[, S.1, S', T", T!;, T, on trouve

2 2,'^/ ';"«/" Il = (luanliU: connue,

ce qui détermine «,,,+ 1.

Si dans les équalions (i4) "H remplace «„, ^i par la valeur ainsi trouvée, on a pour déterminer les six inconnues [T™ | et [S"'*"' ] six éijuations linéaires dont cinq seulement sont indépendanlc.>..

Cela posé, on déterminera [ I ," | par la condllinu que | 1',"] soit nul pour ^ = 0, conformément à l'hypothèse failc plus liaul, et les cinq équations (i4) restées indépendantes |iermeltront de calculer l(;s cinc] autres inconnues.

Les équations (i3) nous permeliront ensuit(! de calculer — '- — et — ^ — et I ^ ^ * lit lit

par conséquent de d('terminer les iDucllons T"" ' et S""' à une constante prés;

et ainsi rie suite.