X-HC=± Y

Ces droites el celte courbe peuvent être dans deux situations diflérenies, représentées par les figures 3 et 4-

Chacune des deux figures devrait se composer de deux moitiés symétriques par rapport à l'axe des x, mais nous n'avons représenté que la moitié qui est au-dessus de cet axe. Dans le cas de la figure 3 la courbe nous offre deux arcs utiles BC et DE pendant que les arcs AB el CD doivent être rejetés à cause de l'inégalité Y- >.(X-)- c)-. Dans le cas de la figure 4» il n'y a qu'un arc utile BC et l'arc AB doit être rejeté.

H. p. — vir. ôi

Le passnge de la figure .î ;i la figure 4 se fait quand la droite CD devenant tangente à la courbe, les deux |)oints G el D se confondent. Cela a lieu pour

iNous nous supposerons dans ce qui va suivre placés dans le cas de la figure 3 et nous envisagerons seulement l'arc utile BC ; c'est en efl'et le cas le plus intéressant au point de vue des applications.

Posons

^ j,''. — Ji L — G ■ ^ TITT, ^ L + G '

on voit que £ s'annule nu point C el devient infini au point B el que quand on

Fig.

Fig. .',,

parcourt l'arc BC depuis C jusqu'en B, on voil ^ croître constamment depuis zéro jusqu'à 4-m. Si donc on se donne ^, le polnl correspondant de l'arc BC sera entièrement déterminé, ce qui revient à dire que xi et ^'2 sont fonctions uniformes de l.

Qu'arrivera-l-il maintenant si /jl n'est plus nul, mais seulement très petit?

Faisons encore

et voyons si en tenant compte des relations

Xi el X'j seront encore fonctions uniformes de t, de y, el de j'2. Pour qu'il

Cj On voit aisément pourquoi j'écris cette dernière relation; l'arc BC comme on le voit sur la figure est tout entier .lu-dessus de l'axe des X, ce qui entraine l'inégalité t^> 0; il est clair que cette inégalité subsistera encore pour les valeurs suffisamment petites de (i.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 4o3

cessât d'en êlre ainsi, il faudrait que le déterminant t'oiictionnel ,, — — s'an-

nulàt pour un système de valeurs satisfaisant aux conditions (7). Or cela

n'arrivera pas si ^x est assez petit et si C est assez différent de -•

Dans la plupart des applications, ces condilions seront remplies; nous pourrons donc prendre 'E, comme variable indépendante; cette variable sera essentiellement positive et Xi et Xa seront fonctions uniformes de ^, ju et j'j.

Toutefois pour trouver le mode de représentation géométrique le plus convenable, il faut encore faire un changement de variables. Posons

X-', = X, -H X,., X',, = Xi — X«, y\ = -(j, -(- J„), y, = -^(y^—y, ).

Après ce changement de variables, les équations conserveront la forme canonique

dx\

dy\ d?

dx'„

dy\ dF

dy\ '

dt dx\ '

~ dy, '

dt ~ dx%

On voit que y\ et j^', sont encore des variables angulaires; quand en effet y\ ovL y'., augmente d'un multiple de 271, ji et j'2 augmentent aussi d'un multiple de 2 71 et par conséquent la situation du système ne change pas.

Mais il y a plus; quand on change simultanément jk'j et jk.. Qn. y\-\-T: et y\ + Tt, y^ ne change pas et y, augmente de 2 7r. La situation du système ne change donc pas.

Cela posé nous représenterons la situation du système parle point de l'espace qui a pour coordonnées rectangulaires :

X = cos/'i e^<^°*/', Y = sin/'i e^<="5.''!, Z = ^'i\ny\.

Pour ^ :;= o la situation du système ne dépend pas de r\ et il en est de même du point représentatif qui est alors sur le cercle

Pour^ = co, la situation du système ne dépend pas àe y\ et il en est de même du point représentatif qui est alors sur l'axe des Z si cosy\ est négatif et à l'infini si cosy\ est positif.

A chaque point de l'espace correspond donc une siiiialion du système et une seule; réciproquement, à chaque situation du système correspondent, non pas un, mais deux points de l'espace et en effet aux deux systèmes de valeurs {x^■, ^'«.1 J n y'ï) ^^ (■'^1) ^'-11 y\ ~^'^i y'-. + ■'^) correspondent deux points différents de l'espace, mais une seule situation du système.

4o4 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Les éqiialions ( i ) adnieUcul les invariants inlograux

/ { dx, (/\i ■+- c/jTo </r. )= / ( '/.f'i (A ', -+- '/j'î t^y^ )

/ r/.Ci dji dx« dy^ = dx\ dy\ d.c'^dy'^.

Si nous transformons cel invariant par les régies exposées dans le paragraphe 7 nous verrons que

/ ' x\ - dl dy'i dy'., r x\- dX d\ d'L

J , dF ' , Vf "J I , dF , dF \,,-.„ r;

dx\ dx, \ dx\ dx., /

est encore un invariant intégral.

Comme f est essentiellement positif, la quantité sous le signe / est de

même signe que

, dF , dF dF dF

dx, dXi dX\ dxi

Or pour p. = o, on truu\ e

dF dF I

Xi H r» -j— =Xi- -,■

dx\ dx« xa

Si nous nous supposons placés dans le cas de la figure 3 et sur l'arc BC, nous devons supposer

C>-, x-^-Cx'!, (i<^«<i,

d'où Ton tire

Xt — —, = 3x, — 2C<3a;i — 2- = 'i(xi — i)<ii,

XT^ 2

Ainsi Xi -j- — h xo -^ — est toujours négatif quand p. est nul. Il en sera encore

de même quand p. cessera nul, pourvu que C soit assez différent de -• Dans ces conditions l'intégrale

/• x7 dX dY dZ

est un invariant positif.

Pour fz z= o, les équations (5) s'intègrent aisément comme on le sait et l'on

trouve

L = consl., G = coiist., ^ = consl., / = «/ -i- consl.,

Les solutions ainsi obtenues sont représentées dans le mode de représen-

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 4oâ

lalion géonaélrique adoplé par cerlaines trajectoires. Ces trajectoires sont fermées toutes les fois que le moyen mouvement n est un nombre commensurable. Elles sont tracées sur des surfaces trajectoires qui ont pour équation générale ^ = const. et qui sont par conséquent des surfaces de révolution fermées analogues à des tores.

Nous verrons dans la suite comment ces résultats sont modifiés quand fi n'est plus nul.

Comme second exemple, je reprends l'équation dont j'ai déjà parlé à la (in du paragraphe 1 1 :

-^ -+- /j2p -+- mf = fi. n,

R étant une fonclion de p et de ^, holomorphe par rapport à p et s'annulant avec p et périodique par rapport à t. Celle équation peut s'écrire en reprenant les notations du paragraphe cilé :

d¥ da dF

~ d-j dt ~ r/p '

d'i dF

dt ~ dr]

dt) dF

' dt ^^ di,

avec

dp 3-

n-p- ^ inp' ■}. 4

Posons

a = \J n \JïX\ cosj)i,

•îxx sin/i.

Les équations conserveront la forme canonique des équations de la Dynamique et la fonction F dépendra de deux variables linéaires Xi et r\ et de deux variables angulaires j^, et ^.

On voit aisément que quand on se donne la constante des forces vives C, x^. yi et Ç, la qualrième variable r) est entièrement déterminée; on a en efl'et

C — «xi —

Pour jCi=o, la situation dn système ne dépend pas de j'i. Nous pouvons donc adopter pour représenter cette situation le point dont les coordonnées sont

X = cosÇe'->"s.v, Y = sinÇe-i'>':''».Vi, Z = jr, sin/i.

A chaque situation du système correspond ainsi un point de l'espace et inversement. Il faut excepter les points à l'infini et les points de l'axe dos Z qui nous donneraient ar, = oo et par conséquent un résultat illusoire.

4ofi SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Coiiune troisième exemple, envisageons un point mobile pesant se mouvant sur une surface parfaitement polie et dans le voisinage d'une position d'équilibre stable.

Prenons pour origine le point le plus bas de la surface; pour plan des xy le plan tangent qui sera horizontal; pour axes des x et des y les axes de l'indicatrice de façon que l'équation de la surface s'écrive

ax"- bv- , .

o(x, y) étant un ensemble des termes du troisième degré au moins en x et en^' et ,tj. un coefficient très petit.

Nous aurons alors en appelant x' et y' les projections de la vitesse sur les axes des x et des }■ :

dx dF dt dx' '

dy dF dx dF dt ~ dy' ' dt dx'

dy'

~ dy

Changeons de variables en posant

\/2.ri f8)

X = ' COSJKi, X = V 2Xt sjga SUl Vt

^"^ 'cosjo, y' = s/2xl y gb siny.

Les équations différentielles conserveront la forme canonique des équations de la Dynamique. L'équation des forces vives s'écrit

\j gaxx-^ \l gbx,-^ '^g<:i{Xi, x^, j,,/o)= C,

(p désignant la même fonction que plus haut, mais transformée par le changement de variables. Gomme Xi et x^ sont essentiellement positifs (ainsi d'ailleurs que les coefficients a et 6), l'équation des forces vives montre que ces deux quantités restent toujours inférieures à une certaine limite. D'après la définition de la fonction œ celte fonction s'annule avec Xi et ar.,, et il en est encore de même de ses dérivées partielles du premier ordre. Nous en conclurons que fi étant très petit, la fonction ixo et ses dérivées du premier ordre ne pourront jamais dépasser une certaine limite supérieure très petite. Nous pouvons donc écrire

dx[ \ \ g dxi. \ V ,

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. ioj

Faisons maintenant x.,^=^x,: le rapport ^ sera essenliellemenl positif. L'équatioa des forces vives devient

(9) ^i{\fgâ-^ \>6?) -I- u^ç(.ri, Ji-,, ,-,, r-,) = G.

La dérivée du premier membre de (g) par rapport à a?, s'écrit

En vertu des inégalités (8), cette expression est toujours positive, ce qui montre que l'on peut tirer de l'équation (g) Xi en fonction uniforme de Ç, yi et j'2, et par conséquent que la situation du système est complètement définie par les trois variables )i, y^ et ^.

Pour ^ = o la situation ne dépend pas de j-j, pour ?^oo elle ne dépend pas de Va-

Nous représenterons donc cette situation par le point

X = cosj» e'<="'-''', Y = sin/o gleosy,^ Z = Ç sin.'i •

A chaque point de l'espace correspondra ainsi une situation du système et réciproquement.

Les exemples qui précèdent suffiront, je pense, pour faire comprendre l'importance du problème qui va nous occuper dans ce Chapitre et la façon dont on peut varier les modes de représentation géométrique.