Exposé du problème

Reprenons les équations de la Dynamique en supposant deux degrés de liberté seulement, et par conséquent quatre variables x^^ x-,, y, et -»'... D'après ce que nous avons vu au paragraphe 14 ces équations admettent certaines solutions particulières remarquables que nous avons appelées asjmptotiques. Chacune de ces solutions asymptotiques est représentée, dans le système de représentation géométrique exposé au paragraphe précédent, par certaines courbes trajectoires. L'ensemble de ces courbes engendre certaines surfaces que nous pouvons appeler surfaces asymptotiques et que nous nous proposons d'étudier.

4o8 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Ces solutions asjmplotiques peuveal se inellre sous la forme suivante :

IV étant égal à Ae*', et A étant une constante arbitraire. De plus cp,, (p,, (p:t et <pi sont (par rapport à I, w élanl rep;ardé un instant comme une constante) des fonctions périodiques de période T, el «iT cl /(^T sont des multiples de 27t. Si entre les écpialions (i) on élimine t et (c, il viendra

(3) j, =/,()•,,.>■,). ■i;2 = /2(,ri,,>2)

et ces équations peuvent être regardées comme définissant nos surfaces asymplotiques. Nous avons vu ensuite que si l'on clierclie à développer cpi, cp», co;, et cp.i suivant les puissances de \/fx, on arrive à des séries qui sont divergentes, mais que ces séries représentent néanmoins asymplotiquemcnt ces fonctions lorsque fx est très petit.

Je rappelle que je conviens de dire que la série

Ao -t- A I X -t- ... -I- S pxi> -I- . . .

représente asymplotiquemcnt la fonction F(a;) pour x très petit, quand on a

,. V(x) — Ao — Ai.c — ... — kpxi'

lim = o |)our .r = o.