XI

J'ai étudié dans les Acla Mathematica (t. 8) (') les propriétés des séries divergentes qui représentent asymptoliquement certaines fonctions et j'ai reconnu que les régies ordinaires du calcul sont applicables à ces séries. Une égalité asymplotique, c'est-à-dire une égalité entre une série divergente et une fonction qu'elle représente asymplotiquement, peut subir toutes les opérations ordinaires du calcul, à l'exception de la différenlialion. Soient donc

les séries divergentes ordonnées suivant les puissances de \/fi. qui représentent osymptoliquement »(, 02, O;,, cp,..

Nous aurons alors les quatre égalités asymptotiques

( 71 = n,/ -+- 7-(/, «', v'jx), v-»= «.< -t- ai(/, »■, v'.ut). (') Œuvres île H. Poincaré, t. I, p. 290.

Nous pourrons élimiuer t et w onlro ces égalités d'après les règles ordinaires du calcul et nous obiiendrous ainsi deux nouvelles égalités asymptoliques

où il et Çj sont des séries divergentes ordonnées suivant les puissances de \' \x et dont les coefficients sont des fonctions de )i et de > o.

En général, il n'est pas permis de difTérentier une égaillé asymptotique; mais nous avons démontré directement à la fin du paragraphe 14 que dans le cas particulier qui nous occupe, ou peut difTérentier autant tle fols que 1 on veut les égalités (3). tant par rapport à t que par rapport à w.

Nous pouvons en conclure! qu'il est permis également de difiéreutier les égalités (4) autant de fois qu'on veut par rapport à y^ et à j'o.

Nous nous proposons d'étudier les surfaces asymptoliques définies par les équations (2). Les fonctions a"i=/i. .ro = /2 qui entrent dans ces équations devront satisfaire aux équations

>1V clxj dF^ dx^ ^ ^ ■/¥ >U^ dF r/^ I^ = o

cfxt r/y\ dx« (iy« dy\ ~ ' r/xt dy\ rlx^ dy-i dy-.

Nous allons procéder par approximations successives; dans une première approximation nous prendrons pour équations des surfaces asymptoliques les équations [\) en nous arrêtant au second terme des séries (c'est-à-dire au terme en ^fji) inclusivement. L'erreur commise sera alors du même ordre de grandeur que [i-.

Dans une seconde approximation, nous prendrons encore pour équations des surfaces asymptoliques les équations (4). mais en prenant un plus grand nombre de termes dans les séries. Nous pourrons en prendre un assez grand nombre pour que l'erreur commise soit du même ordre de grandeur que jj.'', quelque grand que soit/).

Enfin dans une troisième approximation, nous chercherons à mettre en évidence les propriétés des équations exactes des surfaces asymptotiques, c'est-à-dire des équations (2).

Nous devons donc d'abord chercher à former directement les séries Si et .vo des équations (4). Ces séries, substituées à la place de r, et de x-^, doivent satisfaire formellement aux équations (5V

Nous sommes donc conduits à chercher des séries ordonnées suivant les puissances de y//^, qui satisfassent formellement aux équations (5). Les

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4lO SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

coeftîcionls de ces séries seront des fonctions de y^ et de r.. qui ne devront pas changer quandj)'i et j'3 augmenteront respectivement de «iT et 7i2T.

Mais nous trouverons une infinito de séries qui satisfont à ces conditions. Comment distinguer, parmi celles-là, celles qui doivent entrer dans les égalités (4)"' i^Jous avons vu plus haut que dans notre mode de représentation géométrique, la solution périodique considérée est représentée par une courbe fermée et que, par celte courbe fermée, passent deux surfaces asymptotiques. On passe de l'une à l'autre en changeant ^/p en — yjj..

Si donc dans les équations (2) on change yiJ. on — \/(j., on obtient une seconde surface asymptotique qui doit couper la première.

En d'autres termes, si l'on considère les deux surfaces asymptotiques ainsi obtenues comme deux nappes d'une même surface, on peut dire que cette surface a une courbe double.

Soit si et s^ la somme des p premiers termes des séries 5, et s-i, les équations

... ( ^i = -«î(yi>.)'"-. v^)> ■^^•2=-«?(.ri,.V2, \/î^),

représenteront deux surfaces qui difîéreront peu des deux nappes dont je viens de parler et qui par conséquent devront se couper.

Si l'on considère ces deux surfaces comme deux nappes d'une surface unique, on peut dire que cette surface unique présente une courbe double.

Nous verrons dans la suite que cette condition suffit pour faire distinguer les séries s^ etio parmi toutes les séries de même forme qui satisfont formellement aux équations (5).