Première approximation

Reprenons nos hypothèses ordinaires, à savoir : que quatre variables, deux linéaires Xt et x^, deux angulaires )-, ely» sont liées par les équations

dF

dx. dF

dy^

dF

dy.

dF

dt

dt dy. '

dt

dxx

dt

dx.

Que la constante C des forces vives étant regardée comme une des données de la question, ces quatre variables satisfont à l'équation (2) F(x,, Xi,yi,yi) = C,

de telle façon qu'il n'y en a que trois d'indépendantes.

Que l'on a adoplé un mode de représentation géométrique tel qu'à toute situation du système correspond un point représentatif et réciproquement.

Que F dépend d'un paramétre très petit fx, de telle façon qu'on puisse développer F suivant les puissances de jjt. et écrire

F = Fo-i- ,uF, + |Ji-^F2. . ..

Que Fj ne dépend que de Xi et x-. et est indépendant de y^ et de y^. Ces conditions sont remplies dans le cas particulier du problème des trois corps qui nous a servi d'exemple au paragraphe précédent.

Supposons que pour certaines valeurs de Xi et de x-i, par exemple pour

les deux nombres — ^-^ et — -3— ^ (que j'appellerai pour abréger «, et n.,) sont

commensurables entre eux.

D'après ce que nous avons vu dans le paragraphe 11, à chaque valeur

commensurable du rapport — correspond une équation -r-^ ^ o, qui portail

le n" 7 dans le paragraphe cité, et à chaque racine de celte équalion(7) correspond une solution périodique des équations ( t).

Nous avons vu ensuite dans le paragraphe 12 que le nombre des racines de l'équation (7) est toujours pair, que la moitié de ces racines correspond à des solutions périodiques stables et l'aulre moitié à des solutions instables.

Les équations (i) ont donc si [j. est assez petit des solutions périodiques instables.

Chacune de ces solutions périodiques sera représentée dans le mode do représentation adopté par une courbe trajectoire fermée.

Nous avons vu au paragraphe 13 que par chacune des courbes fermées qui représentent une solution périodique instable, passent deux surfaces trajectoires dites asymptotiques sur lesquelles sont tracées en nombre infini des trajectoires qui vont en se rapprochant asymplotiquement de la courbe trajectoire fermée.

Les équations (i) nous conduisent donc à une infinité de surfaces trajectoires asymptotiques dont je me propose de trouver l'équation.

Voyons d'abord sous quelle forme se présente en général l'équation d'une surface trajectoire. Cette équation pourra s'écrire

-ri = <I)|()-,,rn), x^.= *-2(.ri,.r2),

jli SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

<t>i ot ^^J élanl deux fonctious de )i cl do )■■, (|iii doivciil être clioisles de telle sorte i]iie Fou ail idouliqueinent

F(<I),, <I>j, .iw.Vî) = C.

Ces deux fonctious ^^l et 'b, devront d'ailleurs satisfaire à deux ('■qualions aux dérivées pnrliolles

tix\ dvi dx-i dvi dyi ' d.xt dvi dx-i dvi dya

Il pourrait d'ailleurs nous suffire d'euvisager la première de ces équations, car on peut en faire disparaître x-i^ en remplaçant cette variable par sa valeur que l'on peut tirer de (2) en fonction de .ri, de j)'i et de j'a-

Voici comment nous procéderons pour intégrer les équations (3) en

supposant que X\ et x-^ sont très voisins de x\ et de x", et que le rapport — est

commensurable.

Nous supposerons que Xi et x^, sont développés selon les puissances de \ \i-

el nous écrirons

( .r I = .r? + X I \]\x -h j;; n -f- x\ [x vV -»-•.■, (4) j ,

( a;» = jcS -H x\ \ \i. + x\\i. -r- x\\i. \/|ji -i- . . . ,

et nous chercherons à déterminer les fonctions x\ de telle façon qu'en substituant dans les équations (3) à la place de x^ et de x-^ leurs valeurs (4), ces équations soient satisfaites formellement ( ' ).

Si dans F nous substituons à la place de .ri et de x-i leurs valeurs (4), F deviendra développable suivant les puissances de \j \j. et l'on pourra écrire

F = Ho-i- v^jiMin- i-tllsH- |x \/(JiIl3-t-

On voit d'ailleurs sans peine que H„=Fo(a;î, x\),

II 1-/0 n \ f/ 1 .. '''"F" 1 I ''^^fo / iNo "^'Fo I „ ,

Cj Si xi et x\ étaient choisis de telle sorte que le rapport -' soit incommensurable, on

pourrait se contenter de développer x, et x, suivant les puissances de (j. (et non de v^V)- '^" arriverait ainsi it des si'ries, qui Ji la vérité ne seraient pas convergentes au sens géométrique dn mot, mais qui comme celles de M. Lindstedt pourraient rendre des services dans certains cas.

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 4l3

el plus généralement

&/i ne dépendant que de y-i, J'-2, ^1, ^\, ■ • •• ^î'% ■2"°i ^l- ■ ■ •> -^i""» et en posant pour abréger

La première des équations (3) nous donne alors, en égalant les puissances semblables de yZ/j^, une suite d'équations qui nous permettront de déterminer successivement x\, x\, j;J, . , . . t\.

Nous pouvons toujours supposer que «2=0. Car si cela n'avait pas lieu

nous poserions

x'[ = axi - bx-,, y" = dfi — cj», x", = cxi-i- dx-2, yl = — 6)1 -I- ayi,

a, b, c, d étant quatre nombres entiers tels que

ad — bc ^\.

Après ce changement de variables les équations conservent la f<jrnie canonique.

La fonction F qui est périodique de période 27: par rapport à j'i et à j'^, est encore périodique de période 27: par rapport à y'[ et à y\. Le changement de variables n'a donc pas altéré la forme des équations (i).

Les nombres iii el «j sont remplacés par deux nouveaux nombres n'[ et n qui jouent par rapport aux équatious transformées le même rôle que «j et n-^ par rapport aux équations primitives et l'on a

n'\ = diii — c/j.., rtô = — biii-\- aiii.

Mais le rapport de rii à n^ étant commensurable par hypothèse, il est toujours possible de choisir les quatre entiers a, 6, c, d de telle sorte que

Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer que n.., soit nid; c'est ce que nous ferons jusqu'à nouvel ordre.

Nous supposerons en même temps «, T = ■m.

Si après celte simplification, nous égalons les coefficients de y/p. dans les

deux membres des deux équations (3), il viendra

dx\ dx\

ce qui montre que x\ et x[ ne dépendent que de j'^.

4l4 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Égalons maintenant les coeflicients de /jt dans les deux membres de la première des t'qualions (3). Il viendra, en tenant compte des équations (5) :

(0) -/i,-^ - (M j;+Nj.-', )-;-!--+- -^ =o.

Nous nous proposerons dans ce qui va suivre de déterminer les fonctions x'^ de telle façon que ce soient des fonctions périodiques de j^u 4"' rie doivent pas être altérées quand, y-^ conservant la même valeur, j'j augmentera de 271.

Nos fonctions pourront alors être développées en séries Irigononiétriques suivant les sinus et cosinus des multiples de Vi- Nous conviendrons de représenter par la notation [U] le terme tout connu dans le développement de la fonction périodique U suivant les lignes trigonométriques de )i et de ses multiples. Dans ces conditions on aura

et je puis écrire

Gomme x\ et x\ ne dépendent pas de j ,, je puis écrire plus simplement

La première de ces équations montre que x\ se réduit à une constante. Quant a la seconde, elle est facile à intégrer. On a en efiel

[rfr.,J dy..

ce qui nous donne pour l'intégrale de l'équation (^)

(8) Ma:lx.l-t--(T|)^=[F,] + C,,

Cl désignant une constante d'intégration.

Mais si nous regardons la constante des forces vives G comme une des données de la question, nous ne pouvons plus considérer les deux constantes x\ cl Cl comme arbitraires. On doit avoir en elfel identiquement

F = Ho + v'iJi'Hi -t- \x\\« -+- ij. v'jillj -H . . . = C ou

ET LES EQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 4lO

OU

Ainsi la conslante x\ est nulle, ce qui apporte de nouvelles simplifications dans nos équations.

L'équalion (8) devient en effet

Nous nous contenterons dans ce paragraphe d'écrire et de discuter les équations de nos surfaces trajectoires en négligeant les termes on p. et ne tenant compte que des termes en y fj..

Nous supposerons donc (]ue j") cl x^i sont définis en fonction de ji et de r-j par les équations suivantes :

, = .,-;; + vV^-J = ^5 + v/ï^^^'^ ^ ^" '

.i\ = .r'I -+- i',ij:\ = xi, .;■•> = x'i -t- v.'-'-.z-J = a,-? -t- 1/ -^r([Fi] -^ C., ).

D'après cela, Xi serait une constante et x^ une fonction àe y-, seulement, indépendante de j'i.

Revenons à notre premier exemple du paragraphe 13. Ce que nous dirons s'appliquerait également aux deux autres exemples, mais c'est sur le premier que je veux insister parce que c'est un cas particulier du problème des trois corps.

Nous avons vu que l'on pouvait représenter la situation du système par le point P qui a pour coordonnées rectangulaires cosy',e'"'''', sin^',e' ''"•'', Çsinj',, où

Nous avions observé de plus que les variables

X', = Xi-¥-Xn, X'<, = X[ Xn

forment avec j', el y'.^ un système de variables canoniques.

Nous pouvons donc regarder ^. y\ et y'., comme un système particulier de coordonnées définissant la position du point P dans l'espace, de sorte que toute relation entre ^, y\ .y'„ est l'équation d'une surface.

Mais ensuite, nous avons dû faire un autre changement de variables.

Nous avons posé

x'\ =^ ax i + dx a, y'\^^jK — cj'2, jÔ = cxi -)- f/jTî, j" = — byi-\-ay«,

4l6 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

en choisissaul les nombres entiers a. b, c. cl de façon à annuler le nombre (jue nous avons appelé n".

Après ce changemeul de variables, nous avons supprimé les accents devenus inutiles et nous avons restitué le nom de x,, xj, Vi^Yi à nos nouvelles variables indépendantes a?", x'I, r'\ et}'l.

En conséquence, les variables que nous avons appelées a^i, x^. )i ut y.^ dans tout le calcul qui précède, et auxquelles nous conserverons désormais ce nom, ne sont pas les mêmes que celles que nons avions désignées par les mêmes lettres dans le premier exemple du paragraphe 15, c'est-à-dire G, L, ^ - ; et /.

Il est clair que notre nouvel j'i el notre nouvel j-j sont des fonctions linéaires de

et que le rapport du nouvel x^ au nouvel Xi est une fonction linéaire et fractionnaire de 5-

Nous devons conclure de là : que l'on peut définir complètement la position du point P dans l'espace par le nouvel ),, le nouvel j.j et le rapport du

nouvel x-2 au nouvel Xi, de telle façon que toute relation entre j'i, y.^, et -^ est

l'équation d'une surface; que ce système particulier de coordonnées est tel que l'on peut augmenter ji ou ^o d'un multiple de 2Tï sans que le point P change. L'équation approximative de nos surfaces trajectoires, en négligeant les termes en p. sera

Nous nous proposons tout d'abord de construire les surfaces représentées par cette équation approximative (9).

Observons d'abord quej'i = o est l'équation d'une certaine surface S et que la portion de celle surface qui nous sera utile est une portion de surface sans contact.

En effet il suffit de montrer que l'on a

Or il en est évidemmenl ainsi, car si l'on pose

F = Fo + jx F I -t- jjt- F. -H ...

il viunl

f/r, r/F, «TF,

at ax\ axi

Le paramétre p. étant très petit, -^ est de" même signe que n^ et «i est une constante qui est toujours de même signe.

Donc -^ est toujours de même signe et ne peut s'annuler. c. q, f. d.

La position d'un point P sur la surface S sera définie par les deux autres coordonnées y^ et — ; ce système de coordonnées est tout à fait analogue aux

coordonnées polaires, c'est-à-dire que les courbes — = const. sont des courbes

fermées concentriques et que le point P ne change pas quand l'autre coordonnée ya augmente de ait.

Reprenons les surfaces définies par l'équation (9) et étudions leurs intersections avec la portion de surface S qui a pour équation j^i = o.

Je remarque d'abord que \/p. étant très petit, ces intersections différeront

fort peu des courbes — = const.

Mais pour étudier plus complètement la forme de ces courbes d'intersection,

il faut d'abord rechercher quelles sont les propriétés de la fonction [F,].

Revenons aux notations du paragraphe 11. Dans ce paragraphe nous avons

posé

Fi = SA sin(«!]ri-l- m-iy, -f- maj-j-l- h),

A et Ji étant des fonctions de a;°, xl, x^; comme nous n'avons plus ici que deux degrés de liberté, j'écrirai simplement

Fi = 2 A siii(«iij'i -I- /«2J2 -I- h). En faisant ensuite

), = 7ji<, j-o = /i.>< -I- tJTo, u = ( «1 nii -)- ««mo)/ -)- niodi-l- /(,

nous trouvions

Fi = 2Asinw.

Je posais ensuite

i}* = VA sino),

la sommation X s'étendant à tous les termes tels que /«i /«i -|- 7/(2":;= o; d'où

Dans le cas qui nous occupe, «2 est nul; la condition /jiini + /«o'^a = o se réduit à nii = o et l'on a y^ = cr^ ; il vient donc

ili = W A sin( /«ora-2-l- A) = V Asin( m> |o -H /( ).

D'après la définition de [FiJ, il siiflit pour obtenir cette cjuanlité de supprimer dans l'expression de F( tous les termes où nii n'est pas nul; il vient donc

[F,] = gAsin(;«,j..+ /0 = -l'.

Ainsi la fonction que nous appelons ici [Fj] est la même que nous désignions par i\i dans la première Partie.

Fis- 5.

[F,] est par conséquent une fonction périodique de y.^ et celte fonction est finie; elle doit donc passer au moins par un maximum et par un minimum.

Nous supposerons pour fixer les idées que [Fj] varie de la façon suivante quand j>'2 varie depuis zéro jusqu'à 27r.

Pour j'2= 0 [P'i] passe par un maximum égal à (pj,

Pour l'a = ï)i [F,] passe par un minimum égal à cpn.

Pour j-3 = r)o [Fi] passe par un maximum égal à (f^.

Pour j'o^rji [F/J passe par un minimum égal à cp^.

Pour la = 27i[F,] reprend la valeur tp,.

Ces hypothèses peuvent être représentées par la courbe précédente dont l'abscisse est y^ et l'ordonnée [Fi].

Ayant ainsi fixé les idées, je puis construire les courbes

Nous verrons que selon la valeur de la constante d'intégration Ci, ces courbes affecteront des formes différentes.

Dans la figure 6, j'ai représenté par un trait plein les deux

courbes Ci = — -a.., et Ci = ^ 92 ; ces deux courbes ont chacune un point double dont les coordonnées sont respectivement :

xs xi X-, x\

-=^, /.= '). et ^=-, ^-,= .1,.

J'ai représenté par un trait pointillé les deux branches d'une courbe

correspondant à une valeur de Ci > — cp^.

Fig. 6.

J'ai représenté par le trait mixte . une courbe correspondant à

une valeur de Ci comprise entre — 92 et — 94.

J'ai représenté p^ir le trait ponctué les deux branches d'une courbe

correspondant à une valeur de Ci comprise entre — 92 et — 9;,.

Pour Cl r= — 93 l'une de ces deux branches se réduit à un point représenté

sur la figure en A, — = -^ , y„=zn^\ l'autre branche est représentée sur la

^ Xy X\ -^ ' ' ^

figure par le trait xxxxxxx.

Pour Ci compris entre — 93 et — 91, cette seconde branche subsiste seule; pour C, =^-91, elle se réduit à son tour à un point représenté en B sur la figure et ajant pour coordonnées :

Enfin pour C, < — 91, la courbe devient tout entière imaginaire.

Les surfaces définies par l'équation ( i ) ont une forme générale qu'il est aisé de déduire de celle des courbes que nous venons de construire.

Considérons en ellet une quelconque de ces courbes el par tous ses poiuls Caisons passer une des lignes dont l'équation générale est

Yï = const. ; — = const.

L'ensemble des lignes ainsi construites constituera une surface fermée qui sera préclsémeut l'une des surfaces définies par l'équation (ç)).

On voit par là que ces surfaces seront en général des surfaces fermées triplement connexes (c'esl-à-dire ayant mêmes connexions que le tore).

Pour Ci> — 9i ou pour Ci compris entre — cpa et — cpj on trouve deux pareilUes surfaces, intérieures l'une à l'autre dans le premier cas, extérieures l'une à l'autre dans le second.

Pour Cl compris entre — cp^ et — 0|, ou entre — «po et — cp.,, on n'a plus qu'une seule surface triplement connexe; enfin pour Ci<;— cp, la surface cesse complètement d'exister.

Passons aux quatre surfaces remarquables :

C= — 'çi, — 9;, — (p3 et — 94.

Les surfaces C, = — ■ ça et Gi = — cp( présentent une courbe double et ont mêmes connexions que la surface engendrée par la révolution d'un limaçon de Pascal à point double ou d'une lemniscale, autour d'un axe qui ne rencontre pas la courbe.

La surface Ci = — 93 se réduit à une seule surface fermée triplement connexe et à une courbe fermée isolée; enfin la surface Ci = — 91 se réduit à une courbe fermée isolée.

Dans le paragraphe H nous avons envisagé l'équation -j^ = o qui portait le

n" 7 dans ce paragraphe; nous avons vu qu'à chacune des racines de cette équation correspond une solution périodique. Mais dans le cas qui nous occupe, et d'après une remarque que nous venons de faire, cette équation peut s'écrire

dv.

de telle sorte que les solutions périodiques correspondront aux maxima et aux niinima de [Fi]. Dans le cas actuel, ces maxima, de même que les minima, seront au nombre de deux.

Nous aurons donc deux solutions périodiqtics instables correspondant aux deux courbes doubles des surfaces Ci = — 90 et — 9,, et deux solutions pério-

diques stables, correspondant aux deux courbes fermées isolées des surlaces Cl =: — ©3 et — (pi.

Quelles sont parmi ces surfaces, celles qui diffèrent peu des surfaces asymptoliques et les représentent en première approximation ? D'après ce que nous avons vu au paragraphe 16, ce seront celles d'entre elles qui présentent une courbe double, c'est-à-dire les surfaces Ci = — 94 et Ci = — «yo-