Deuxième approximation

Reprenons les équations ( 1 ) du paragraphe précédent et les hypothèses faites au début de ce paragraphe ; écrivons

Xi = x" -h x\ ^[j. -+- x'\ jx -h x'ix \/<x -t- . . . , Xi= xî-h x!, \/a H- .rs jji -t- j: ' ji y/'ij. -t- ... ;

imaginons que les coefficients de ces deux développements soient des fonctions de jKi et de j^ et cherchons à déterminer ces coefficients de façon que ces équations soient compatibles avec les équations différentielles (i), du paragraphe précédent, c'est-à-dire que l'on ait

dF rlF^^dF^'^ 'JV__ >JV,lxj. ,J¥,lxi dV

dx\ dy\ dx-i dy« dY\ ' dxj '/vi dx-i dy-i dyi

C'est là le problème que nous nous sommes proposé plus haut.

Ce problème peut être présenté sous une autre forme (en se plaçant au point de vue des Vorlesungen ilber Dynamik).

Si Xi et X'i sont deux fonctions de ji et de jk^ satisfaisant aux équations ( i ), l'expression Xidyi-\~ x-idy-, devra être une différentielle exacte. Si donc nous posons

dS = JTi c/j'i -I- x-idyn,

S sera une fonction dey, et de y., qui sera définie par l'équation aux dérivées partielles :

S pourra se développer suivant les puissances de yjj. et l'on aura

(3) S = So-(-Si ;'';j. -I- Sn iji + S3 ,u y/jJ! -I- ....

So, Si, . . ., S^, . . . seront des fonctions de yi et de Vj et l'on aura

dSt j. dSk

Je 1-appelIe maintenant quelles conditions nous avons imposées dans le paragraphe précédent aux fonctions .r* et ,ri ; nous avons supposé d'abord que x^ et xl devaient être des constantes. On a alors

So= a:?ji + 2-SjK.>.

Si nous appelons ensuite ri , et n, les valeurs de — -^ — et 7— pour a;( ^= x^,

Xi=^xl, ces quanlitée «i el «2 seront encore des constantes. L'analyse qui va

suivre s'applique au cas où le rapport — est commensurable. Dans ce cas on

peut toujours, comme nous l'avons vu, supposer «0 = 0; c'est ce que nous ferons désormais, comme nous l'avons fait dans le paragraphe précédent.

Nous avons supposé en outre dans ce paragraphe que x'i et a;* sont des fonctions périodiques de Yi qui ne changent pas de valeur quand on change yi el ^^2 en y, -i- avr el y^-

Il résulte de là que -1-^ el -^ sont des fonctions périodiques par rapport

àjv'i et que l'on peut écrire

Ik étant une constante et S', une fonction périodique de j',.

Supposons que dans le premier membre de l'équation (2) : FI-t—j -3—'

j'4, ynj, on remplace S par son développement (3); on verra que F deviendra développable suivant les puissances de yiJ. et qu'on aura, ainsi que l'on a vu dans le paragraphe précédent :

F = Ho-I- Hi \/iJ. -h IIoi-i -+- IIjiJ. ^/|x -H . . .,

les H étant des fonctions de y,, de yn, et des dérivées partielles de So, S,, Sa, etc.

On voit d'ailleurs que Hn dépendra seulement de S,,, H, de S„ et Sj,

Ho de S„, S, et S2, H3 de Sq, Si, So, S3, etc.

On trouve d'ailleurs :

ll„-=Fo(xî, ^§) = C,