II

II» =— «1 -; h AS, -(- Ko,

11, =-rt, 4^-i-2AS.,-4-K,,

n, -j-^-h 2AS;,, -I- K,,, a. V \

OÙ l'on a pos(^ pour abréger :

et où Kp ne dépend que de Sq, Si, . . . , jusqu'à Sy,2.

Cela posé, pour déterminer par récurrence les fonctions Sp, nous aurons les équations suivantes :

Ho=C, Hi = o, Ho=o, ..., H/j=o.

Si l'on supposait que les fonctions So, Si, ..., Sp i fussent entièrement connues, l'équation Hj, = o ou

dyt. '

déterminerait la fonction S,, à une fonction arbitraire près de j^-

Mais ce n'est pas tout à fait ainsi que la question se présente.

Supposons que l'on connaisse complètement So, Si, . . ., Sp 2 et que l'on connaisse Sp i à une fonction arbitraire près Ae y^-

Par hypothèse les dérivées de So, Si, ..., Sy,2, Sy,i sont des fonctions périodiques de jci ; donc Kp et ASp, seront des fonctions périodiques de j)', .

Désignons par [U] comme nous l'avons fait dans le paragraphe précédent la valeur moyenne de U qui est une fonction périodique de j,.

Sp doit être de la forme (4); nous en concluons que "^' doit être une

constante -^ indépendante de j'^, de sorle que l'équation (5) nous donne

(6) 2[AS^,] + [K„] = Xp,

et cette équation déterminera complètement Sp) (si l'on suppose que l'on se donne, soit arbitrairement, soit suivant une loi quelconque, la constante ï-p).

Nous trouvons d'abord l'équation

dSi Hi = o ou -r — = o,

qui nous montre que S, est une fonction arbitraire dejK^- Nous en déduirons

dyi dyt ' dy. dy^.

[nous posons pour abréger :

dy\dV {dxiy

comme nous l'avons fait dans le paragraphe cité].

L'équaliou quo nous iroiivoiis ensuite en égalant à z(''ro la valeur moyenne

de H-, est la suivante :