AS,J + [K,] = X
Or
D'autre pari,
K,= F,(^?, x!!,y,, rO-
X.j est une constante qui, ainsi qu'il est aisé de le voir, est prt'cisément celle que nous avons appelée — Ci dans le paragraphe cité. 11 vient donc
dy.. V
S) est ainsi entièrement déterminé à une constante près ; mais nous pouvons laisser cette constante de côté, elle ne joue en efl'el aucun rôle, puisque les fonctions S n'entrent que par leurs dérivées. L'équation (6) devient ensuite
Dans le second membre tout est connu; K,, ne dépend que de So, S,, . . ., S/,.j ; — -f^— est connu puisque S^,i est supposé déterminé à une fonction arbitraire près de j^n-
D'autre part -z-^ est indépendant de j'i ; le premier membre peut donc
s'écrire N-^^ /'~' u de sorte que l'équation (7) nous donnera "/'~'
en fonction de 72. Nous connaîtrons donc [S/,„i] à une constante près et cette constante qui ne joue aucun rôle peut être laissée de côté.
Nous connaissons d'une part Sp i à une fonction arbitraire près de y^', d'autre part nous connaissons [S,,i] en fonction àc y.,; donc Sy,i est entièrement déterminé.
La constante C) jnijc un rôle prépondérant. Supposons d'abord qu'elle soit supérieure à la valeur que nous avons appelée — Çi dans les paragraphes cités
je
et par conséquent que [Fj ] + C| soit toujours positif et -^ toujours réel et je
pourrai ajouter toujours positif, parce (jue je suis libre de prendre le signe -fdevant le radical.
Je dis que dans ce cas, on peut choisir arbitrairemenl les constantes 1 et que -T-^ et -—- sont des fonctions périodiques non seulement de >-, , mais encore
de yn. {Sp est encore de la forme ^p^'i + K/> J'i.> + SJ, > '^p el iJ-p étant des constantes pendant que S^^ est périodique de période 2r. tant par rapport à ji que par rapport à j'o).
En effet, supposons que cela soit vrai pour
dSi dSi r/So it'So rfS^2 f/S,,2 dSp—t
dyi^ dfi'' (/>•,' dy,^ ' dyi ' dyi, ' <//, '
je dis que cela sera vrai encore pour — y—^ et
En effet, nous avons par hypothèse :
dip-i
= J;A„,,,„,cos(»ii ji-f- nuyi-+- a),
les A et les a étant des constantes, m, et «îa étant des entiers. On aura ensuite par définition
Mais on doit avoir
2[^Sp-,] + [Kp,] = \p,
et par conséquent
)./,( étant une constante; on en conclut que
Ao.m, = o pour w, == o, Ao.o= — £— ^'
Il vient ainsi
mj et mj prenant toujours sous le signe 2 toutes les valeurs entières telles que
TOi^O.
Ainsi, pour que S,,i soit de la forme voulue, il suffit que "/'"' soit une fonction périodique de i ;.• Or ,^~' est défini par l'équation
Kp ne dépendant que de Si, Sj, . . . , S^^^n sera périodique en j',.
l26 SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
est nae constante — — ; de plus -4-^ est une fonction périodique de Vi Ils ' «) 2 r T •' "
<7î</ ne s'annule jamais.
11 en n^sulte que ,^~' peut être développé suivant les sinus et les cosinus des multiples de la. On a ensuite
dSp , . ,.
ce qui montre que -7-^ est périodique eny^ et^'o.
Ainsi en choisissant pour C| une valeur supérieure à — cp^ et en choisissant ensuite les autres constantes X:,, X.,, . . . d'une façon arbitraire, on trouve pour
-; — et -j— des séries ordonnées suivant les sinus et les cosinus des multiples
de yt et dey^. Ces séries, quoique divergentes, peuvent rendre des services dans certains cas.
Passons maintenant au cas de C|= — 94, qui ainsi que nous l'avons vu au paragraphe 17 est celui qui correspond aux séries qui représentent as ymptotiquement les surfaces asymptotiques.
L'expression [Fi] + C( n'est jamais négative, mais elle devient nulle pour une certaine valeur de y-, que nous avons appelée rj:, dans le paragraphe cité. Je supposerai dans ce paragraphe que cette valeur est nulle; j'ai le droit de le faire, puisque cela n'implique qu'un choix particulier de l'origine des j-j.
Écrivons donc [F,] + Ci sous forme de série trigonomélrique : [Fi] -+- Cl = i A„, sin my«-+- SB^ cosmy^-
Pour j'î = 0, cette fonction s'annule ainsi que sa dérivée, puisque la fonction étant toujours positive, zéro est pour elle un minimum. Il en résulte que
l'expression suivante : - — '''*'''' est développable suivant les sinus et cosinus des
sins^
multiples de y-^; c'est une fonction périodique de jo qui ne s'annule jamais et
ne devient jamais infinie.
11 suit de là que l'on peut écrire
sin '—
=^ = SA,,, fiosm>a-+- SB,,, sinmi.,
et par conséquent
dy-i "~ X Am cos myi + S li^ sin mj.
Nous pourroas écrire mainlenaat l'équation (7) sous la forme suivante :
v/ÔN sin ^ ^^g
^^'^ SA,„ cosmy,-+- SB,,, sin my. [~^ J =" '-P + */'<^ -''"-)'
4»p étant une fonction connue de ^o-
Cela posé, je me propose de démontrer que -j-^ et -^ sont des fonctions
périodiques de Vi et de j'o, dont la période est ii: par rapport à -)•, et 4't par rapport À y-,.
Supposons en effet que cela soit domonlré pour
rfS,
dS,
dS.
dS,.,
dSp-,
dSp-,
dy.'
dy,'
dy.'
dy,' •■
' dy, '
dy, '
dy,
/' ' est une fonction périodique de j-, et de j'-.. ; d'autre part sa valeur moyenne
L dy, J n, est une constante indépendante de y^. Nous pourrons donc écrire
Sp-i= —y.p-,y,-^^p-,(yi, ri)-^Z,p-,(y,),
9p i (jKi) J'a) étant une fonction périodique de ri et- J'si et ^p, une fonction arbitraire de >'o seulement. 11 vient ensuite
dSj,-i ddp—, dZ,p-, dy'. ~ dy, dy, '
d'où
d[Sp-,] o'[e^ ^ dKp-> g, ^S;,i d\Sp-,] dfip-, di^p^,]
dyn dy, dy, dy, dy, dy, dy,
ic y r ^ 1
ce qui montre que ,^~' — /^~' est une fonction périodique de j) etdej^s- F^j'équation (7') montre que cela est vrai également de —f— ^^ P^r conséquent de y"' (quelle que soit d'ailleurs la constante 'kp) et l'équation (5)
montre que cela est vrai de —r-!-- 1 dy.
Cela sera donc vrai des fonctions —r^ et -r-^ quel que soit l'indice p.
dy, dy, 1 ^ ^
Il importe toutefois de remarquer que si ces fonctions sont périodiques, ce n'est pas une raison suffisante pour qu'elles puissent être développées suivant
les sinus et cosinus des multiples de^i'i et de —• En effet, ces fonctions ne sont
pas toujours fiuies, sauf pour un clioix parliculior des constantes l^,; il est aisé di' s'en rendre compte, car l'équation (7'), d'où l'on doit tirer la valeur
de — j^ \i a en facteur dans son premier membre sin ^ ■ Donc l'expression
de ,''~' couliendra sin ^' au dénominateur.
Les dérivées des /onctions S^^ pourront donc devenir infinies, mais seulement pour
sin ^^ =0 ou )'«=2/v'Jt.
Si j'2 a une valeur dilTérente de 2A'7r, ces dérivées ne deviennent infinies pour aucune valeur de >'i ; elles peuvent donc se développer suivant les sinus et cosinus des multiples de j'i.
Nous pouvons donc écrire par exemple :
/~ = — X,,i+ S A„j cosmvi-l- SB„j sin/nj-i,
A,„ et B„, étant des fonctions périodiques de y-2 qui peuvent devenir infinies. Imaginons maintenant que les constantes 1/, d'indice impair soient toutes
nulles; je dis que -r-^ et -^ ne changeront pas quand on changera y^ en
y-2 -h 2 7: toutes les fois que l'indice/? sera pair et qu'au contraire ces deux fonctions changeront de signe, sans changer de valeur absolue, quand on changera j'^ eny.2+ 27:, toutes les fois que l'indice p sera impair. Je suppose que le théorème soit vrai pour
dSf f/Si c/S-2 't'S-i o'S,,— i dSp—-2 dSp—i
dvi dy- dy\ d) ■; dy^ d\ 1 <h\
et je me propose de démontrer qu'il est vrai également pour /' '' et -j-^' Si " /'~' est muliplié par ( — i)''~' quand j'o se change en ^^2 + 2 7r, il en sera
de même de
dy^
Nous avons trouvé en efTel
F ' = — ).„!-*- 2A,„cosmji-+- 2B,„ sin m/,, ayi /il
A„, et Bm étant des fonctions périodiques de j'j.
Si .^~' est multiplié par ( — i)''"' quand j-o augmente de 27;, il en sera de
mêuie de A,„ et B,,; et des dérivées de ces fonctions par rapport à ^^2- H en sera donc encore de même de
dSp—t rf/S„i"| ■^ «fAm sin m ) 1
dy, J -Zi dy.
dy2 L '^J'2 J ■^ ^fy^ "* •"^ d}t m
Nous avons maintenant à montrer que cela est vrai de — j^^ ■
Pour cela il est nécessaire d'étudier de quelle manière K,, dépend des fonctions S|), Si, S2, ..., S^i. Je me propose d'établir que l'ordre de tous les termes de Kp par rapport aux dérivées des fonctions d'indice impair Si, S3, S5, . . . sera de même parité que/».
En efTet, en faisant dans F( -r^i —, — i vi , y. 1 ,
\(/)i dy, - '■ -/ S = So -H S 1 v/jJ' + S; li -I- . . . ,
nous avons trouvé
F = Ho-t- H, \/j][-hHo|jL + ....
Si je change y^j. en — y'pL et qu'en même temps je change Si, S;,. S5, ... en — Si, — S;i, — S5, . . . sans loucher aux fonctions d'indice pair, l'expression de F ne devra pas changer.
Donc H/j devra se changer en ( — i)''H/<.
Cela montre que l'ordre de tous les termes de II,, par rapport aux dérivées de S,, .S3, S5, . . ., devra être de même parité qiie/j. Il devra donc, comme je l'ai annoncé, en être de même des termes de K,,, puisqu'on obtient K,, en supprimant dans H^, les termes qui dépendent de Sj,, ou de S^.
Cela posé, changeons y-, en ^2+ 271; les dérivées de Sq ne changeront pas si (J est pair et au plus égal à/> — 2; elles changeront de signe si g est impair et au plus égal à. p — 2. Donc K,, se changera en ( — lYK/j.
Reprenons maintenant l'équation (^)
/*"' se change en ( — i)'' —^-— , et y— se change en — -3 —
Nous pouvons même dire que 'k,, se change en ( — ^Y'^^p-
En effet cela est vrai pour/» pair, parce que Ip est une constante indépendante de y^; cela est vrai encore pour/» impair, parce que nous avons supposé que les k-p d'indice impair sont tous nuls.
43o SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
Il résulte de là que ' y'~' se change en ( — i)'' ' '""' et par conséquent
— r — en ( — iV ' — j- c. o. f. d.
</) • ^ ' ay^
Je dis malmenant que -r-^ se changera en ( — i )'' -p-^ • Ecrivons en effet l'équation (5)
(5) rii-j-S- = 7.ùiS>p-i^Kp;
"JKi
Kp et ASya-i et par conséquent le second membre de l'équation (3) seront multipliés par ( — i)'' quand j'a augmentera de 27r. Il devra donc en être de même
du premier membre et de -r-^- c. o. f. d.
*^ dyi
Je vais maintenant démontrer que l'on peut choisir les constantes \p de façon que les dérivées des fonctions S^ ne deviennent pas infinies pour j^.j^ ikn. Supposons que l'on ait choisi les constantes X^, X;,, . . . , ^p-\ de façon que
(/Si c/Si dSp 2 '/S/j—o dSp^i
dy, ' dy-, ' ' afr, ' dy, ' dyi
restent finies et que les constantes Ig d'indice impair soient nulles; je nie propose de choisir Ip de façon que /'~' et -jt" ^^ deviennent pas non plus infinies. Nous verrons en même temps que Ip devra être nulle si p est impair. Il est clair d'abord que si — f^ reste finie, il en sera de même de
Reprenons maintenant l'équation (7'). Le coefficient de la quantité inconnue — -p^ s'annule pour y-^= ikit; pour que cette quantité inconnue demeure finie, il faut que le second membre s'annule égalenient et que l'on ait
'bp{lkT.)=Kp.
Comme 4»^ ne change pas quand y.^ augmente de l^n, il suffira de prendre /r = o et /» = I et d'écrire
(8) <^p(o) = ^p{l:x) = Xp.
Si/> est pair, il n'y a pas de difficulté, on a
et par conséquent
ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 43l
de sorte qu'il suffit de prendre Si au contraire /> est impair, on a
'ï'/.0-'-)=— *p(j2-+-2-) et <P,,(0)=—^p{2K),
de sorte que les équations (8) ne peuvent être satisfaites que si l'on a
Nous avons donc à démontrer que pour/j impair, *^,,{o) est nul.
Soit en effet
et par conséquent
Je dis que a. est nul.
Nous allons nous appuyer sur un leinme qui est presque évident. Voici l'énoncé de ce lemme :
Soient cp) et tp.j deux fonctions périodiques et de période in par rapport à yi et à yn. On sait que si 9 est une fonction périodique de yi, peuexemple, la valeur moyenne de -j^ est nulle. On aura donc
les intégrales étant étendues ci toutes les valeurs de y, et de y^ depuis zéro jusqu'à 1.T:.
Il est nécessaire pour que le lemme soit vrai que les fonctions cpi et cpa soient continues, mais leurs dérivées peuvent être discontinues. Ces dérivées doivent seulement rester finies.
Cela posé, nous achèverons de déterminer la fonction S,,i non plus par l'équation (7'), mais par l'équation suivante :
(9) i:KnCo.myXz\ii\\nmy, = - ^ «os ^^ + $, ( r. ).
Elle ne diffère de l'équation (7') que parce que )/, a été remplacé par a cos — -
Celte équation montre d'abord que J'~^ est une fonction périodique de yo
et de période 27: (je rappelle que/? est supposé impair). De plus, cette fonction ne devient pas infinie pour y^^ zkn, parce que le second membre de l'équation (9) s'annule pour r^^ o et pour y^ ^ 2 7r.
