BLÈME

Posons

ensuite

dS„ dr\

:rfS,

dy,

dS.

dSo dy.

:dS,

dy.

dS.

''dy..

ilZLl^c £

■dS

'If-i.

dr. '

T) sera une fonction di'j,, de y -2 et de pt. définie par l'équation

Il est aisé de voir que Ço est entièrement déterminé, puisque nous connaissons maintenant complètement So, S,, . . ., Sp). On pourra donc tirer yj de l'équation (lo) sous la forme suivante :

■n = 'lo + i^" -^i -I- iJ-m + • ■ • ,

les Yji étant des fonctions périodiques de /i et de j'a, de période 27: par rapport à )'i et 47^ par rapport à yn.

De plus on aura

dy-i d}x ' dy.

Nous n'avons besoin que de rio ', or on voit tout de suite que yji, est donnée par l'équation suivante :

(11) /ii-rio= 2 AS/,i-f- K;,,

qui ne diffère de l'équation (5) que parce que l'inconnue y est désignée par r)o. Celte équation montre que rj,, est une fonction périodique de >i ; il faut chercher la valeur moyenne de cette fonction. Si l'on se reporte à la signification de l'équalion (9), on verra qu'elle exprime que la partie moyenne du

second membre de ( 1 1) est a cos — '• On a donc

[•lo] = — COS — • «1 2

Ço est susceptible de deux valeurs difî'érenles qui se permutent l'une dans

l'autre, soit quand on change y p. en — y/'pî, soit quand on change j'o en y-2-\- 2t:.

J'appellerai o.j la plus grande des deux valeurs de Ç-. et J^^ la plus petite.

De même Ç, est susceptible de deux valeurs; j'appellerai cfi celle qui correspond à cp3 et ■il, celle qui correspond à '^lo-

Enfin 7} est susceptible de deux valeurs; j'appellerai r/ celle qui correspond à 92 et r," celle qui correspond à ij;.;; 'Oi est susceptible de deux valeurs que j'appellerai de même r/, et ri" .

La fouclion cp^ est piViodique de période -ir. par rapport À yr, en eilet, quand on augmente yo de 2 7r, les deux valeurs de Ç- se permutent entre elles; donc 9^ qui est toujours égale à la plus grande de ces deux valeurs ne change pas.

Pour la même raison, cpi, tj;!; 'j'^j ''/» '''') '"'i i "'i, seront des fonctions de période iT. par rapport à y.,.

Des définitions précédentes, il résulte que 91, 92, '|i et <]i-j. sont des fonctions continues, quoique les dérivées de ces fonctions, de même que r/ et rj", puissent être discontinues.

Nous sommes donc dans les conditions où notre Icmme est applicable et nous pourrons écrire

ou encore

-, dy\ dy « = o,

dv«

OU enfin

Cette relation devra avoir lieu quel que soit y..

Mais quand p. tend vers zéro, ri' — ■/)'„ et r" — r/,', tendent vers zéro.

Donc on aura

(12) // T- '■/rirt')2=o

pour

Transformons le premier membre de l'égalité (12). Je remarque d'abord que/; étant impair, r;„ est une fonction qui doit se changer en — r;o quand yn se change en y.j-\-2n. Il suffit pour s'en convaincre de se reporter à l'équation (i i). Nous avons donc

■n'o = — •iô = ±^o,

Il reste à voir pour quelles valeurs des y nous devons faire r/„ =^ + 00 et pour quelles valeurs des^j' nous devons faire r;', ^ — r),,. Si nous avons

dSi dSr. „dS-, df2 dy^ ^ dy^

dy-i

nous devrons prendre, d'après notre couvenlion : et

, r/So /-f/S, r/S.. ,-r/Sn V '/S„,

dy., (/v. dyi dyt ' f/y«

Si au contraire le premier membre de l'inégalilé (i3) est nég^ilif, nous devrons prendre

dy-, dy-, ' dfi

et

, ^/S„ ,-dS, V'/S,,,

rf) o dy-, dyi

Tout déjieud donc du signe de premier membre de l'inégalité ( i3). Égalons ce premier membre à zéro, nous obtiendrons une équation

dy-, dy^

Cette équation peut être regardée comme définissant j-j en fonction de j', et de fi.

On pourra résoudre cette équation et écrire

Observons seulement que 0 est une fonction ))ériodique de période n7r par rapport à^) et que celte fonction 0 s'annule identiquement quand on y fait |jl = n. Par conséquent quand yj variera de 0 à 0 + 2 7r, on aura

■'"l'o = -*- 'Oo

et quand y-, variera de 0 + 2 7t à 0 + /(Tr- on aura

Nos intégrales doivent être étendues à toutes les valeurs de y-i comprises entre zéro et 'it.. Mais comme r/f, est une fonction de période 27:, on aura

ou

Quand ;j. leiidra vers zéro, le premier membre devra tendre vers zéro el d'ailleurs 0 tendra vers zéro, on aura donc

■ dy, d'où

On a donc

Il résulte de là que si l'on annule les constantes >:/, d'indice impair et si l'on

donne des valeurs convenables aux consLantes 1.,, d'indice pair, les fonctions

d'il, d%„ f. .

-r-^ et -H- resteront unies.

dy\ dy«

On pourra donc les développer suivant les sinus et cosinus des multiples de

yi et de—; les multiples pairs de — entreront seuls dans le développement si p

est pair; si au contraire p est impair, les multiples impairs de — entreront seuls.

Nous aurons alors pour les équations approximatives de la surface asjmpto tique

Ces séries ainsi que nous l'avons vu sont divergentes, mais si l'on arrête comme nous le faisons dans les équations (i5) au «'*""' terme, l'erreur commise peut être très petite si \i. est très petit, ainsi que je l'ai exposé plus haut.

Nous avons vu que la quantité appelée plus haut a est toujours nulle. On peut donner de ce fiit essentiel une autre démonstration.

Posons

T = Si+ [xSaH- fJt.-Ss-4-. . .-f- [Jt - S/,2, E = Oo + W^'. + |Ji- -^i +

Je dis d'abord que T est une fonction périodique de j', et j'..,.

En clTel ses dérivées -; — el -; — sont des fonctions périodiques; on a donc

(3 et Y étant des constantes et T' étant une fonction périodique de j'i et j'o.

On en conclut (|ue

-r— et -; — élanl des séries iriffonomélriques dont le terme tout connu est nul.

Mais les fonctions Si, S.-,, . . . , Sp.., étant d'indice impair, leurs dérivées

changent de signe quand on change )•:; eny-,-{- 2 7r. Donc n — et -r— changent

de signe quand } :.. augmente de 2n. Donc les termes tout connus (3 et y sont nuls. Donc T = T' est une fonction périodique qui ne change pas quand y^ augmente de 271 et qui change de signe quand y-^ augmente de 2Tt. Gela posé, nous savons que Çi et Çj sont liées par l'équation

Il en résulte que, si les deux valeurs de 'Ç-, se confondent, les deux valeurs de Ç) se confondent également.

Ecrivons que les deux valeurs de ?•> se confondent, il vient

Celte équation (16) est d'ailleurs identique à l'équation (i4)- Ecrivons maintenant que les deux valeurs de Çi se confondent, il viendra

Les équations (16) et ( 17) devront être équivalentes. De plus elles devront être équivalentes à la suivante :

0 ajanl le même sens que plus haut. Supposons qu'on développe 0 suivant les puissances croissantes de ;a, il viendra

(18) J-2= |jiO, + |jlMJ,+ |ji3 0:.H-...,

'Ji, 'i-i, '^M ■ ■ ■ étant des fonctions périodiques de ji.

Supposons y 2 lié à ji par l'équation (18); quand ti augmentera de 2jt, jKj ne changera pas et T qui est périodique ne changera pas non plus; on aura donc

r''~'' ^ r''' I dT , d't , \

rfT dV

OU en remplaçant —, — et — par leurs valeurs tirées des équations ( 1 6 ) e( ( i 7

— v-'f ç <>'> = "• Si dans

ç = T.o + ;i'rr2 -H (.t- 'Il -I- ... ,

on remplace r-j par sa valeur ( (8), il viendra

? = Ç„-f-uE 1-1- ;j- 1-2-1-

^Oï ;i) $:i) etc. étant des fonctions périodiques de j'i. On devra avoir quel que soit p. :

et par conséquent

Il est clair que pour obtenir ^oj il suffit de faire J>'j= o dans rjo, or on a

Il vient donc

= 0 ou 2=0, C. Q. F. D.