Troisième approximation

Nous nous proposons maintenant de construire exactement nos surfaces asymptotiques ou plutôt leur intersection avec la surface )i = o, qui est comme nous l'avons vu plus haut une surface sans contact.

Dans notre mode de représentation géométrique, la solution périodique que nous envisageons est représentée par une certaine courbe trajectoire fermée. Cette courbe fermée vient couper la surface j'i = o en un point que j'ai représenté sur la figure en O'.

Par cette courbe fermée passent deux surfaces asymptotiques; ces deux surfaces coupent la surface y 1=^0 suivant deux courbes que j'ai représentées sur la figure en trait plein en AO'B' et A'O'B.

J'ai représenté en trait pointillé la courbe yi ^ r'2 = o.

Reprenons les notations du paragraphe IG: considérons les séries Si et s^ qui

eiiU'eiil diuis les équations (^4) ^^*^ '^^ paragr;i|,)li('; soionl comme dans le paragraphe 10, a',' ol .v'; la somme des p premiers U^nnes des séries .vj et a'^. Nous avons vu ([ue les équatious

•i'i = 4-'i' (ri , r-2 ), j-« = s? (7i . j'î )

représentent des surfaces qui dillèrent très peu des surfaces asymptotiques. Ces surfaces couperont la surface l'i = o suivant des courbes qui ont pour équation

/i = o, X| = iî(o, 1-), .r.,= s/^(o, J..)

et qui sont représenlées sur la figure en trait mixte . . . .

Fia

Nous avons appris dans le paragraphe précédent à former les séries Si et *.j; nous avons vu que •^^'(^'i. .)'-) et s'.',{yi, );,) sont des fonctions périodiques de période 27r par rapport à fi et de période 47r par rapport à )'.j.

Il en résulte que la courbe en trait mixte doit être comme l'indique la figure une courbe fermée admettant un point double O.

La première question à traiter est la suivante : les courbes en trait plein, intersections des surfaces asymptotiques avec y, = o, sont-elles aussi des courbes fermées ? 11 est clair qu'il en serait ainsi .si les séries ^i et 52 étaient convergentes. Car les courbes en irait pointillé dilléreraient alors aussi peu qu'on voudrait des courbes en trait plein; la distance d'un point de la courbe pleine à la courbe pointillée tendrait vers zéro (]uand p croîtrait indéfiniment.

Je vais montrer sur un exemple simple qu'il n'en est pas ainsi. Soit

OÙ <ji{y) représente une fonction périodique de y de période 27:, et où ,'j. et £ sont deux constantes que je suppose très petites. .Je forme les équations

j 'dt^~ 71]', ~^' '7n~'~ 'dq~'"^'

dp dP . , dg dV . ,, ;

On voit que p et q joueront le même rôle que j'attribuais jusqu'ici ix Xi et à Xo, pendant que x ely joueront le rôle que j'attribuais à j'i et à 1 ;., je n'ai changé les notations que pour supprimer les indices.

Supposons d'abord £ =: o. Les équations admettent alors une solution périodique qui s'écrit

Les exposants caractéristiques (en laissant de côté les deux qui sont nuls, ainsi

qu'il arrive toujours avec les équations de la Dynamique) sont égaux à ■+: yafJi. 11 existe alors deux surfaces asymptotiques qui ont pour équations

dSn dSo „ / y

d'où

p=o, cj=z±sj-î\>. sin i.

Les exposants caractéristiques n'étant pas nuls, mais égaux à ±\Ja\j. quand ou fait £ = 0, il existera encore une solution périodique pour les petites valeurs de e; à cette solution périodique; correspondront deux surfaces asymptotiques dont l'équation pourra se mettre sous la forme

S étant une fonction de x et de r satisfaisant à l'équation

di dx

Les exposants caractéristiques ne s'annulant pas pour £ = o, il résulte de ce que nous avons dit à la fin du paragraphe 13 que p elqel par conséquent S sont développables suivant les puissances croissantes de £. Posons donc

S = So+£S,-i- £-=8,-,-....

Nous avons trouvé plus haut :

ifJlCOS

So = — 2 \/2-- '•'^"■^

Qiiaiil à S,, il devra satisfaire à l'équation

«•/S, , — . y (fS,

—r- ■+- \''"^ S'il r— = li cosrtf (r ).

Si l'ou désigiio pur — mie fonclioii qui satisfasse à l'équation

Si sera la partie réelle de i. Or on peut satisfaire à cette équation en faisant il suflit pour cela que

L'équation en .}> ainsi obtenue et qu'il s'agit d'intégrer est linéaire. Son intégrale générale s'écrit : si cp(r)= o :

et si 9(r) est quelconque :

Comme "h doit être développable suivant les puissances entières de y pour les petites valeurs de r, il est facile de voir quelle valeur il faudra donner à la constante d'intégration. Si, pour j = o, (p(j) s'annule, l'intégrale devra s'annuler aussi, de sorte qu'il faudra la prendre entre les limites zéro Q\- y-

Que faudrait-il maintenant pour que les courbes BO'B' et AO'A' fussent fermées ? Il faudrait que la fonction S restât finie ainsi que ses dérivées pour toutes les valeurs àe. y et fût périodique de période ^% par rapport ky (c'est ce qui arrivait, rappelons-le, pour les fonctions s'[ et 5'^ dont nous avons parlé un peu plus haut). Comme cela devrait avoir lieu pour toutes les valeurs de e, cela devrait avoir lieu de Si, et comme Si est égal à cosa? multiplié par la partie réelle de 'j/, plus sinx multiplié par la partie imaginaire de tj^, cela devrait avoir lieu de (j*-

Donc pour les valeurs de )■ voisines de 27:, '\ devrait èlre développable

suivant les puissances entières àe. y — 1%. Mais il n'en est pas ainsi de ( Igy j • Donc l'intégrale

^=f^s/\^iy)(^Ç)'(^^\ly

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 44l

devrait être nulle. Calculons celle intégrale en supposant cp( v) = sin>'. Posons tg Y ^= t, il viendra

-wi^X-i^^fe^.

Intégrons par parties en remarquant que ^— , est la dérivée de -■,

il viendra

' ,— /-• ' t-^ di J = 4 a 1/2 M / .

Faisons t- = u, on aura

, , — /■ ' " " f/'< ?;:« t'i'j. — Sr.i

ros — — —

Donc .1 n'est pas nul; donc les courbes BOB' et AO'A' ne sont pas fermées, donc les séries Si et s-, ne sont pas convergentes, non plus que les séries définies dans les paragraphes lA et 18 ainsi que je l'avais annoncé dans ces paragraphes. La dislance des deux points B et B' n'est donc pas nulle, mais elle jouit de la propriété suivante. Non seulement BB' tend vers zéro, quand [j- lend vers zéro,

mais le rapport — — tend également vers zéro quelque grand que soit «.

Eu effet la courbe poinlillée a pour équation

j, = 0, x, = !.fi(o,y.,), x.. = s^(o, jo)

et la courbe en trait plein a pour équation

,)-, = o, jc, =/,(o, j-o), .r, = /o(o, J;).

D'après ce que nous avons vu plus haut, les séries Si etSn représentent asymptotiquement les fonctions /i el/., ce qui veut dire que l'on a

Il 111 — = lim ; — ^ = o pour ;j. = o.

H- ix-

p Donc le rapport à fi" de la distance de B à la courbe pointillée tendra vers zéro

et il en sera de même du rapport à /jl" de la distance de B' à cette courbe pointillée. On a donc