BB

• lim — — = o. 0. Q. F. D.

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ijî SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

Imi il'aiiti\'s Icniii's. si l'un rt!i;:uHlo ,ui. coiiiini' un inllnimunl pulil du premier orilro, lu ilislaucc BB', saus èlrt; nulle, (jsl un inliuiuicul pelil d'oidre inliui.

C'est ainsi ([uf la loncllou e ''^ est un infiniment petil d'ordre infini sans être nulle.

Dans l'exemple particulier (jue nous avons traité plus liaul. la distance BB'

est du même ordre de grandeur que l'intégrale J, c'est-à-dire que e ^-^.

Une seconde question à tiaiter est celle de savoir si les deux courbes O'B et O'B' prolongées se coupent. S'il en est ainsi en eflet, la trajectoire ([ui passera par le point d'intersection appartiendra à la fois aux deux nappes de la surface asvmptolique. Ce sera une trajectoire doublement asyniploti<jue. Soit C la trajectoire fermée qui passe par le point ()' et qui représente la solution périodique. La trajectoire doublement asjmptotique diffère très peu de C, lorsque / est négatif et très grand, elle s'en éloigne asjmptoliquement, s'en écarte beaucoup d'abord, puis s'en rapproche de nouveau asymptotiquement, de façon à dilîérer très peu de C, lorsque l est positif et très grand.

Je me propose d'établir qu'il existe une infinité de trajectoires doublement asjmptotlques.

Je commence par observer que la courbe O'B, quelque loin qu'on la prolonge, ne pourra jamais se recouper elle-même, c'est-à-dire que cette courbe O'B prolongée n'a pas de point double. En effet d'après la définition de cette courbe les antécédents des divers points de O'B sont eux-mêmes sur cette courbe O'B, de sorte que l'antécédente de la courbe O'B est une portion de cette courbe. De même la seconde, la troisième, etc., la /i'"""' antécédente de O'B sont des portions de plus en plus petites de cette courbe, limitées par le point O' d'une part et un point D de plus en plus rapproché de O' d'autre part.

Si la courbe O'B avait un point double, il en devrait être de même de toutes ses antécédentes, et par conséquent de tout arc Q'D si petit qu'il soit, faisant partie de O'B. Or les principes du paragraphe 13 nous permettent de construire la portion de O'B voisine de O' et de constater que cette portion de courbe n'a pas de point double. Il en est donc de même de la courbe entière quelque loin qu'on la prolonge.

D'après la définition des deux nappes de la surface asjmptotique et des courbes BO'A', B'O'.A., l'une de ces courbes (par exemple la courbe B'O'A') est telle que le re"""' antécédent d'un point de cette courbe se rapproche indéfiniment de O', quand n augmente; pour l'autre courbe B'O'A, c'est le «''""'

cons(';quent qui se rapproche indéfiniment de O'. Ce que nous venons de dire s'applique donc également à la courbe O'B', pourvu qu'on remplace partout le mot antécédent par le mot conséquent. Donc la courbe O'B' quelque loin qu'on la prolonge ne se recoupera pas elle-même et il est clair qu'il en sera de même des courbes O'A et O'A'.

Je dis maintenant que la courbure des courbes O'B et O'B' e^t finie, je veux dire qu'elle no croît pas indéfiniment quand p. tend vers zéro.

En elFet nous avons vu que non seulement les séries Si el s-^ représentent

asymptotiquement les deux fonctions /, et f-j, mais que les séries -7-^ et -y-^ représentent asymptotiquement '-r—- et -;^-

On en conclut (jue si ^ est regardé couiuk; un infiniment petit, la courbure de la courbe en Irait plein au point B différera infiniment peu de la courbure de la courbe pointillée au point le plus rapproché; or cette dernière courbure est finie, donc il en est de. même de la courbure de la courbe en trait plein.

Soit maintenant B, le conséquent du point B et B', celui du point B'. La distance BBi est du même ordre de grandeur que y/;-', et il en est de même de la distance B'B'j, les arcs BB, et B'B', sont donc très petits si fi est très petit el leur courbure est finie; d'autre part les distances BB', Bi 6', de même que les

rapports 7777-) .,, .,, tendent vers zéro ciuaad u. tend vers zéro; enfin il existe un i> t> 1 ij I j j *

invariant intégral positif.

Nous nous trouvons donc dans les conditions du théorème III du paragraphe 8. Nous en conclurons que les arcs BB| et B'B', se coupent, c'est-à-dire que la courbe O'B' coupe la courbe O'B prolongée et par conséquent qu'il existe au moins une trajectoire doublementasymptotique.

Je dis maintenant qu'il en existe au moins deux.

En effet la figure a été construite de façon que les points B et B' soient sur la courbe

ji = r->= o.

Mais l'origine des y-^ est restée arbitraire; je puis supposer qu'on la choisisse de telle sorte qu'au point d'intersection des deux courbes O'B et O'B', on ait y-,^ o. En ce cas les points B et B' coïncident. Il doit donc en être de même de leurs conséquents Bi et B';. Les deux arcs BBi et B'B', ont alors mêmes extrémités, mais cela ne suffit pas pour satisfaire au théorème III que je viens d'appliquer (il laut en effet pour satisfaire à ce théorème que l'aire limitée par

ces deux iircs ne soit pas convexe), il faul encore qu'ils se coupent en un autre point N.

Pai- ce point passera une trajectoire doublement asymplotique qui ne se confondra pas avec celle qui passe en 15. Il y a donc au moins deux trajectoires doublement asj'mptoliques.

Je suppose toujours que les points B et B' se confondent. SoitBMN la portion de la courbe O'B comprise entre les points B et N; soit de même BPN la portion de la courbe O'B' comprise entre le point B =; B' cl le point N. Ces deux arcs BMN et BPN limiteront une certaine aire que j'appelle a.

Nous avons vu que, dans le cas particulier du problème des trois corps qui nous occupe, on peut appliquer le théorème I du paragraphe 8. Il existera donc des trajectoires qui traverseront une infinité de fois l'aire a.

Donc parmi les conséquentes de l'aire a, il y en aura une infinité qui auront une partie commune avec a.

Si donc on considère la courbe fermée BMNPB qui limite l'aire a, et les conséquentes de cette courbe, il y aura une infinité de ces conséquentes qui couperont la courbe BMNPB elle-même.

Comment cela peut-il se faire ?

L'arc BMN ne peut couper aucun de ses conséquents; car l'arc BMN et ses conséquents appartiennent à la courbe O'B et la courbe O'B ne peut se recouper elle-même.

Pour la même raison l'arc BPN ne peut couper aucun de ses conséquents.

Il faut donc, ou bien que l'arc BMN coupe un des conséquents de BPN, ou que l'arc BPN coupe un des conséquents de BMN (dans les hypothèses où nous nous sommes placés, c'est le second cas qui se présentera). Dans l'un comme dans l'autre cas la courbe O'IÎ ou son prolongement coupera la courbe O'IV ou son prolongement.

Ces deux courbes se coupent donc en une infinité de points et une infinité de ces points d'intersection se trouveront sur les arcs BMN ou BPN. Par ces points d'intersection passeront une infinité de trajectoires doublement asymptotiques.

On démontrerait de la même manière que la surface asymptotique (|ui coupe la surface j'i = o suivant la courbe O'A contient une infinité de trajectoires doublement asymptotiques.