Solutions périodiques du deuxième genre

Dans le Chapitre précédent et eu particulier dans les paragraphes 17 et 18 nous avons construit nos séries en supposant que l'on donne à Ci une valeur tantôt supérieure tantôt égale à — 9,.

Supposons maintenant qu'on ait donné à C, une valeur < — 9,. Alors

^i = ^|(lF.J + ^^>

n'est pas toujours réel. Supposons par exemple que, pour la valeur choisie de Cl, x', reste réel quand to varie depuis ïj^ jusqu'à ri^. ,Ie vais considérer une valeur r^ de j'o comprise entre ri:, et r,c :

•^5 < T,- < Tir,

et je vais chercher à définir les jrf pour toutes les vaU'urs de y 2 comprises entre

ï)s et ïJt-

J'observe d'abord que xl est susceptible de deux valeurs égales et de signe contraire, à cause du double signe du radical; donnons d'abord par exemple à ce radical le signe + .

Imaginons que l'on ail calculé successivement x\, x], .... x'i'', xl, x':,. ..., xt'-.

L'équation (7) du paragraphe 18 nous donne

xf[a;'r'] = 0(>-,)-C,.„

0 (yi) étant une fonction entièrement connue de yo et C,,i une constante. Nous déterminerons cette constante par la condition

0(ti,)h-C/,, = o.

Alors bien que x'., s'annule pour ja^ "/).,, la fonction

reste linie pour )'.j = r,^.

Nous avons donc complètement déterminé les fonctions xf pourri5<; j2< 'i, et nous appellerons xj ^ les fonctions de Vs ainsi déterminées.

Supposous que l'on rt'coiniiK'iicc 1(> calcul en donnanl au radical le signe — . On trouvera pour les fondions x'i de nouvelles valeurs que j'appelle .rf , et qui seront d'ailleurs la continuation analytique des premières.

Imaginons ensuite que l'on remplace C| par une constante nouvelle C, très voisine de C|.

Alors le radical 1 ^([Fj] + C, ) sera réel toutes les fois que r^ sera compris

entre ri- et une certaine valeur rjg très voisine de ria-

Gela posé, nous allons par le procédé exposé ci-dessus calculer les fonctions x'i pour les valeurs de y-x comprises entre yît et /jg, d'abord en faisant

(aous appellerons jc"., ^ les fonctions ainsi calculées), puis en faisant

(nous appellerons xl j les fonctious ainsi calculées).

Nous allons ensuite construire les quatre branches de courbes

1": .) 1 = o, Ji = ço.ify-;), -C2= Yij.i(K-;)

que nous prolongerons depuis y-;. = yj^ jusqu'à y-^ = -n-,.

2": ri = o, ^i=9i.i(r„), ar,= 9,. o (>•,)

que nous prolongerons également depuis j'o = rjj jusqu'à j'2= 'li-

3": yi=o, .r,= o,.,(y-2), j:î=9î."-(70

que nous prolongerons depuis y., = -t)-; jusqu'à jn^ "'is-

4°: ,ri=0, X, = ::;.,(,)■.>), .r2= 9;;.2(.r-')

que nous prolongerons également depuis j'j = ri-: jusqu'à ) ;, = /)». Dans ces formules nous avons posé

La première et la deuxième de ces courbes se raccorderont et seront laugenlos en un même point à la courbe j)'2t= yj-.

La troisième et la quatrième courbe se raccorderont également et seront tangentes en un même point à la courbe j'-.j = yjs-

C'est ce qu'indique la figure 8 où les trois arcs pointillés représentent les

trois courbes )\>=-/i,,, yî,, -rin, où l'arc AB représente la premicrc de nos quatre branches de courbe, l'arc AD' la deuxième, l'arc B'C la troisième et l'arc DC la quatrième.

Nous regarderons C, comme une donnée, mais G', est resté jusqu'ici arbitraire. Nous déterminerons C, par la condition que la première et la troisième courbe se raccordent et que les points B et B' se confondent, ce qui s'exprime analytiquement par les conditions

Ces deux équations ne sont d'ailleurs pas distinctes et se ramènent à une seule.

Fig. S.

En nous appuyant sur le théorème III du paragraphe 8, nous pourrions démontrer que si C, est déterminé par les équations (i ), les équations

(l') ?l.l(-n;) = ?:;.i(ti,), ;, ,( T),) = ç,..( T), )

seront aussi satisfaites aux quantités près de l'ordre de ,u. " ; c'est-à-dire que la

deuxième et la quatrième courbe se raccorderont aux quantités près de cet

<--t-i ordre, ou que la distance DD' est un infiniment petit de même ordre que jj- ' .

Mais je dois faire ici la même observation que plus haut; les séries auxquelles on parvient de la sorte ne sont pas convergentes bien qu'elles puissent rendre des services si on les manie avec précaution.

Il existe donc des régions, où, au moins pendant un certain temps, ).j (dans le cas où l'on suppose «■. = o) ou /^■■^^, — 7?, ^.^ (dans le cas général) conservent des valeurs finies. C'est ce fait que les astronomes expriment d'ordinaire en disant qu'il y a libration. On peut se demander si ces régions de libration sont sillonnées de solutions périodiques.

On peut s'en rendre compte par les considérations suivantes.

Ecrivons les équations

dXi

dF'

dx.

dF'

dy,

dF'

dy.

dF'

dt

dt

- dy^

dt

dx.

(2) .1-, = xî-l-,a.r;, .' = =■'■" -^- V';-' 1/ ,^. ([1m] "•- C, ) -I- |Ji Ms.

Ces équations seul à des quantités près de l'ordre [x celles de surfaces que uous avons construites {yo\r fig. 8); elles satisfont donc approximativement aux équations (3) du paragraphe 17. Quant à u\ c'est une fonction de jci et de Vj qui ne dillere de or"', que jiar une fonction de j.j de telle sorte

du \ dx \ dyi ~ dyi

Cette fonction ul doit d'ailleurs rester toujours finie.

Je me propose de modifier la forme de la fonction F qui entri' dans nos équations dilTérentielles de façon que ces équations (2) satisfassent exactement aux équations (3) du paragraphe 17.

.Te cherche donc une fonction F* telle que les équations

admettent des surfaces trajectoires représentées précisément par ces équations (2).

Voici comment nous déterminerons cette fonction F*.

Observons d'abord que x] et xl sont déterminés par les deux équations simultanées

F,{x\,xl)=C, ^=0.

On peut lirer de ces deux équations x\ et x", en fonction de C. Nous regarderons donc désormais x\ et x"„ comme des fonctions connues de C.

D'autre part [F, ] est une fonction dej^o, de x\ et de xl, ce qui nous permet de le regarder comme une fonction connue de ) ^ et de C.

Les équations (2) nous donneront |)ar conséquent .r, et x-, en fonction àa yi, de j'2, de C et de d.

Remarquons que si .r, et ,r.j sont définis par ces équations, l'expression

Xi dy, ■+- x-î dy:, = d'S

est une difTérentielle exacte, de sorte que

dx'i du\ dyi dyx

Résolvons maintenanl les équalions [2) par rapport à C el C|, il viendra

C = F*(ari, .ro, j,, j„), C, = 'I'Vj;,, 2-2, y,, Vî).

La fonclion F* esl ainsi définie el l'on aura en employant la notation de

Jacobi :

[F*, <1.*J = o, ce qui signifie que

<I>' = const.

est une intégrale des équations (3).

La solution la plus générale de ces équations (3) s'écrit alors

c et C'i étant deux nouvelles constantes d'intégration.

Cherchons à former effectivement F* ou du moins à nous rendre compte de l'ordre de grandeur de la difïérenco F — F*.

Or x\ est défini par la condition suivante :

doit être une quantité de même ordre que pv^p-- {Cf. § 17). </Fo

Donc comme -r-j est nul, la fonclion

F {xi -+- p.c?, x" -+- iJij-j:', + |Ji iil ) — C

sera encore de même ordre que p-yl->-, quelle que soit la fonction u;. D'ailleurs on a identiquement

F* (xi + nx'u xi ■+- ^/ixxl + jji ui ) = C.

Donc la différence F — F* regardée comme fonction de (J-, de G, de Ci, dej'i el de y-2 esl de l'ordre de p. \/p..

Posons maintenant

Des deux équations ( i ) on tirera facilement Ci el C en fonction de x,, ^j, j'(, y-i el [J.; on voit alors sans peine que C et Ci peuvent être développés suivant les puissances positives de \/p., les coeflicienls étant des fonctions finies de -Cl, de 1^, de yi el de j^.

Nous venons de voir que F — F' est une fonction de p., de Ji, dej.j, de C et de Cl dont le développement suivant les puissances de p commence par un H. P. - VII. 57

45o SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

tiM'iiie en i/.\ ,u; si nous v remplaçons G el Ci par leurs valeurs eu fonction de f*, de .r,, de Ç», de )'i el de y.,, nons verrons que ceLlc différeacc F — F' est une fonction développée suivant les puissances de p., dont les coefficients dépendent de .r, , ^^, y, cl y> et qui commence par un terin(> en p. y/ p.. Par conséquent la fonction

F'd-', ^1, ?2,7i, JKî)

ne devient pas inlinie pour [j. ^ o.

Par le changement de variable que nous venons de faire, les équations (3) deviennent

dx-t dF' dVi dF' r/Ço dF' dy. dF'

dt dy, dl dxi dl \Jixdy., <" \l \x d\..

De même les équations proposées

doivent se réduire à

f/.Ci dF dy, dF dU dF dy- dF

(4) -TT = tt:-'

dx, dF dl dyi'

dt

dF

~ dxi

dy, dl

dx\

dU dl

dF

i/u dv«

dy:

dt

dt dy, dl dx, dl ^^ ^y^ dt ^^^ (ji^„

Nous formerons en outre les équations suivantes':

/ dx, d dy, d

I dt dy, ^ " dl dx, ^ "

''^ t=-^(F*^sF'), ^^--^(F'^sr,,

[ dt ^,jL ay.2 dl ^,j^ (/ç.,

qui se réduisent à (3') pour e =^ o et à (4) pour e = p-yp-.

D'après ce que nous avons vu plus haut, les équations (3) et par conséquent les équations (3') peuvent s'intégrer exactement; nous en avons donné parles équations (a) la solution générale.

Si l'on discute celle solution générale et si l'on cherche à la construire en conservant le même mode do représentation géométrique que dans les paragraphes précédents, on verra qu'il existe une infinité de surfaces trajectoires fermées.

Ces surfaces qui ont pour équation

(6) ^ = î-il .,

Xi Xl ■+- IJ.XI

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 45l

différent peu des surfaces que nous avons construites dans le paragraphe 17 et dont l'éfjuation s'écrivait

(7) -f = rn •

Elles ont même forme générale que les surfaces définies par l'équation (7). Si donc nous faisons les mômes hypothèses que dans le paragraphe 17 au sujel des maxiina et des minima de [Fj], deux de nos surfaces (6) seront des surfaces fermées à courbe double; ce seront celles qui correspondent aux valeurs — 02 et — 3, delà constante C|. Les autres se corn posent do une ou deux nappes fermées.

La surface fermée à courbe double sera pour nos équations (3') une surface asymptolique et elle partagera l'espace en trois régions comme nous l'avons dit plus haut.

Parmi ces régions, je dislingue la région R^ comprise entre les deux nappes qui est une région dite de libration et je me propose de montrer que dans cette région, on peut tracer une infinité de trajectoires fermées correspondant à des solutions périodiques.

Revenons en efi'et aux équations (a) qui nous font connaître la solution générale des équations (3) et (3'). D'après la forme des équations (2), nous pouvons écrire

S = «,-, + /,j-, -H 0 (;•,,.,■,) + ^ iJf J^'dhW^C) <K,,

a et b étant des fonctions de C et de Ci seulement et 'J(ji) J'2) une fonction réelle et périodique de jki et de j'^. On en déduit

, c^S da db c/O / u. C dv»

Nous donnerons à Ci une valeur déterminée qui devra être plus petite que — cp., puisque nous nous supposons placés dans la région Rj.

La surface fermée qui correspond à cette valeur de Ci présentant les mêmes connexions que le tore, nous pouvons en faire le tour de deux manières dill'érentes : 1" en regardant j.. comme constant; 2" en regardant j'i comme constant .

Quand ou aura fait le tour de la surl'ace en regardant j., comme constant,

>'i aura augmenté de 2 tt et -j^ aura ausrmenlé de 2 ■k-tt ■

Quand ou aura fait le lour de la surface eu regardaal l'i couime constant, y.,

sera revenu à la même valeur, mais riiitéorrale / ' "

d'une certaine période p définie comme il suit :

Supposons que les valeurs de y., pour lesquelles le radical v(|l''ij + C|) est réel soient les valeurs comprises entre yj^ et •/j,,, on aura

Quand uoiro iutrigralo aui;menleia dr r, -^ augmentera de 'l/:^'

Pour que la solution qui correspond à cette valeur de C, soit périodique, il

faut donc et il sutlit que ces deux quantités 2 t: -ttt- et c l / -^ soient commensurables entre elles. ,

Cette condition sera évidemment satisfaite pour une infinité de valeurs de Ci; notre région Rn contient donc une infinité de trajectoires fermées, représentant des solutions périodiques.

Ainsi si K est un nombre commensurable quelconque, l'équation

( qui contient Ci parce que -t-t- et p sont des fonctions de C, ) nous donnera une

valeur de Ci correspondant à une solution p(''riodique.

Pour discuter cette équation, il me faut chercher ce que c'est que -j-r • 11 me suffit pour cela de rappeler que

a = jcj -i-|j: [xi]

et que

Fo(j:Î-+- ixx], x",-h sjp-xl) -h jjlF,(j,-Î, .rS, Ji, /s) doit se réduire à C aux quantités prés de l'ordre de j^V P'- On en conclut

— «ix;— -(xi )"--!- F\(x% X?., /,, y«) = o

d'où

-«,[..•■ I- G,- [F, ] + [F.J = o et ^=-i-'.

-yrr est donc une constante, indépendante de Ci, de sorte que l'équation (S)

peut s'écrire

(8 ) -— = const.

Pour discuter celte équation nouvelle, il convient de chercher comment varie i^ quand on fait varier Ci depuis — cp4 jusqu'à — (pi.

Pour Cl ^ — 94, f est infini; Ci variant depuis — <p,, jusqu'à — 95, i> décroît d'abord jusqu'à un certain minimum, pour croître ensuite de nouveau jusqu'à l'infini.

Pour Ci<C — 9-21 '' peut admettre deux valeurs correspondant aux deux nappes de la surface et que l'on peut envisager séparément. (C(. Jîg-. 6.)

La première nappe de la surface reste réelle quand Ci est compris entre — o^ et — O;,; la valeur correspondante de i> décroit depuis l'infiui jusqu'à un certain minimum quand Ci décroît depuis — cp.j jusqu'à — 93.

La seconde nappe de la surface reste réelle quand C, est compris entre — 92 et — 9,; la valeur correspondante de c décroît depuis l'infinijusqu'à un certain minimum quand C, décroît depuis — 90 jusqu'à — 9, .

Ainsi i> admet trois minima au moins et reste toujours supérieur à une certaine limite positive.

Si donc nous regardons l'équation (8') comme définissant Ci en fonction de p., Cl sera fonction continue de [a, mais nous pourrons prendre p. assez petit pour que celte équation n'admette aucune racine.

Ainsi il est certain qu'il existe toujours une infinité de solutions périodiques; mais quand on fera décroître /x, toutes ces solutions disparaîtront l'une après Taulrc.

Il résulte de ce qui précède que les équations (5) admellent pour e ^ o une infinité de solutions périodiques; les principes du Chapitre 111 (!"' Partie) nous permettent d'affirmer qu'il y en a encore une infinité pour les valeurs suffisamment petit(îs de £. Comme fx est très petit, il semble très probable qu'il existera

une infinité de solutions périodiques pour e :== f^^vV' c'est-à-dire pour les é(ju tions (4) qui sont déduites par un changement de variable très simple des équations proposées.

Par conséquent, si nous revenons à ces équations proposées, nous voyons que dans la région de lihratioii Rj il y a une infinité de trajectoires fermées représentant des solutions périodiques. Nous allons d'ailleurs l'élablir rigoureusement par une voie toute dill'érenle.

Mais si faisant décroître ja d'une manière continue, on suit une de ces trajectoires fermées, ou la verra se déformer aussi d'une façon continue et disparaître ensuite pour une certaine valeur de p.. Ainsi pour p. = o toutes les solutions

périodi([iies do la r(''j;ioii R^ auront disparu Fuiie après l'autre. Ce n'est pas ainsi cpie se comportaient les sululions périodiques étudiées dans le Chapitre 111 (1'^' Partie) et qui subsistaient encore |)our p. = o.

On peut déintiiilrci- (jtie dans le voisinage d'une Irajecloire fermée représenlanl une solulion périodique, soit stable, soit instable, il passe une infinité d'autres trajectoires fermées. Cela ne suflit pas, en toute rigueur, pour conclure que toute région de l'espace, si petite qu'elle soit, est traversée par une infinité de trajectoires fermées ('), mais cela suffit pour donner à cette hjpolhèse un haut caractère de vraisemblance.

Ainsi que je viens de le dire, l'aperçu qui précède ne suffirait pas pour établir rigoureusement l'existence des solutions périodiques du deuxième genre. Voici comment nous y parviendrons.

Reprenons nos équations diflérentielles

lU, f/F r/fi (/F

(// t/j i di dXi

et envisageons une solulion périodique du premier genre de période T; quand t augmentera de T, y\ et y.j augmenteront de /«iT et de «jT; je supposerai

comme plus haul :

Cela posé, de l'équation F = C nous pouvons tirer Xi en fonction de a"i, Ti et y-i\ en remplaçant x^ par la valeur ainsi obtenue, on trouve

Ix,