IF

dF

<ll

- dy.l

dl

dx.

les seconds membres pouvant être regardés comme des fonctions connues de X\,yi elj'2- Enfin en <''liminant dt, il viendra

^^' dy, ""' dy, ''

X et Y étant des fonctions connues de X|, yi cl y<, périodiques de période 2 tt par rapport à j'i.

Soit

la solution périodique considérée qui sera de période 2 tt par rapport à )'j; je suppose que cette solution périodique soit celle que nous avons définie plus

('; Les travaux récents de M. Cantor nous ont appris en effet (pour employer le langage de ce savant géomètre) qu'un eiiseml-ilc pfut élie parfnit, sans être continu.

haut et qui était représentée approximalivement sur la figure du paragraphe 17 par la courbe fermée isolée de la surface Ci = ^ cf-^. Ce sera donc une solution périodique stable, elle admettra deux exposants caractéristiques a et — a égaux et de signe contraire et dont le carré sera réel négatif. Soit maintenant

une solution peu dilTérenle de la première. Soient conformément aux notations du Chapitre III (I™ Partie) (3i et (3.j les valeurs initiales de Ei et de ^3 pour yi = o, et Pi + lii, p.j + ipo lus valeurs de ti et de 'i-i pour ji =: 2 kix (A entier). La solution sera périodique de période 2 A ~ si l'on a

On sait que '|i et <h.2 pourront se développer suivant les puissances de pj et po et que ces fonctions dépendront en outre de |-i.

Si l'on regarde un instant Pi, p.j et jjl comme les coordonnées d'un point dans l'espace, les équations ( 10) représentent une certaine courbe gauche et à chaque point de cette courbe gauche correspond une solution périodique. Il est clair que 4'i et "l'a s'annulent avec Pi et Pj; en effet si l'on fait Çi = o, ^..= o, on obtient, d'après la définition de ^1 et de ^^, une solution périodique de période 2 TT qui peut aussi cire regardée comme périodique de période 2 kn.

La courbe (10) comprend donc d'abord l'axe des ;j. tout entier. Je me propose de démontrer que si, pour p. = /jio) I^'^ est multiple de 2 /tt, il existera une autre branche de la courbe ( 10) qui passera par le point

i^ = !^o, pi = o, 1% = o

et par conséquent que pour les valeurs de f/ voisines de p.,,, il existe d'autres solutions périodiques que5i = £2='^

Posons p. — p(, = A et cherchons à développer i]^i ol ij^j suivant les puissances de pi, de p.j et de "k.

Calculons d'abord les termes du premier degré par rapport à pi et à pj.

Je dis d'abord que pour >. = o, c'est-à-dire pour p = p^, tous ces termes sont nuls.

En effet supposons que les Ç soient assez petits pour qu'on en puisse négliger les carrés. Nous avons vu dans la première Partie que dans ce cas, les ^ satisfont à un système de deux équations didérenlielles linéaires que nous avons appelées équations aux variations des équations (9). Nous avons vu également

que. ces équations linéaires admettent deux solutions remarquables; que la première de ces solutions est multipliée pare'*'' quand ji augmente de 2 tt, et que l'autre est multipliée par e'-"'^.

Pour / := o, Âa est un multiple de 2 ii:, de sorte que e-*'^ et e '-"'' sont deux racines A'*^"'"' de l'unité. Donc nos deux solutions se reproduisent quand ji augmente de 2 Atï. Comme l'équation est linéaire, la solution générale est une combinaison linéaire de ces deux solutions remarquables, et elle ne change pas non plus quand )•) augmente de 2 kr:.

Comme 'j'i et i]/.. sont précisément les accroissements que subissent ti et ^., quand ji passe de la valeur zéro à la valeur 2 Att, ']ii et i]>2 doivent être nuls; mais cela n'est vrai que quand Çi et ^o (ou {3i et (â^) sont assez petits pour qu'on puisse en négliger les carrés; ce seront donc seulement les termes de ^, et '];•.. qui sont du premier degré en pj et (3o qui seront nuls. c. q. f. d.

Soient a{3, + b^-2 les termes du premier degré de ij>i, c(3i+e(3o les termes du

premier degré de i^^. Nous venons de voir que pour X .= o :

rt = & = c = e = o.

Soit encore pour )> ^ o :

du , db , , de , de ,

dk ' rfX dK d\

Je dis que

En effet l'équation en S :

(rt — S)(<' — S) — 6c = o

admet pour racines (c/. § 12)

pour / = o, ces deux racines sont nulles; si À est assez petit pour qu'on puisse en négliger le carré, elles seront égales à ± 2 Att y,- "k. L'équation en S :

{a — S)(e' — S) — b' c — o aura donc pour racines

et comme ces deux racines sont égales et de signe contraire on aura

rt'-l- e' = o.

De plus «', e', h' et c' ne seront pas nuls à la fois en général. En efl'et cela ne

I ■ . da. da , ■ i /-. ■ . i ■ • i

pourrait avoir lieu (jue si -7^ ^ -p etail nul. (Jr p-o est une quantilc choisie de telle sorte que a (qui est une fonction de [j.) soit commensuraljlo avec 2 in. Or -r ne pourrait s'annuler pour toutes les valeurs commensurables de — — qu'en

au. ' ' 2 ( X ^

s'annulant identiquement; alors a serait une constante (qui devrait d'ailleurs être nulle puisque a ^ o pour fji = o) ce qui n'a pas lieu en général.

Nous avons vu que pour X = o les termes du premier degré de <hi et de t{>j s'annulent identiquement. Supposons qu'il en soit de même des termes du deuxième degré, du troisième degré, etc., du (m — ]y«m= degré, mais que les termes du m'"""' degré ne s'annulent pas identiquement dans ij'i et dans <\2 pour X = o. Soit 0| l'ensemble des termes du /«"""' degré de tj'i pour À = o; soit Oo l'ensemble des termes du /«"'""'degré de ']/j pour X = o. Ainsi 5| et 0^ sonldeus polynômes iiomogénes du /m"'""" degré en ^^ et [î^ et de ces deux polynômes l'un au moins ne s'annule pas identiquement.

Posons

J;, = a'À,'ii,-(- 6'Xp, -f 0,-Mo,, ■l/o= r'X;^, — «'X;"i2+ 0,+ coo.

Alors W| et ojo seront un ensemble de termes qui seront : ou bien du

(m + I )''""' degré au moins par rapport aux (3, ou bien du deuxième degré au

moins par rapport aux [3 et du premier degré au moins par rapport k\, ou bien

du premier degré au moins par rapport aux ^ et du deuxième degré au moins

par rapport à A.

Je me propose de démontrer que l'on peut tirer des équations ( 10) pi et p.j

en séries ordonnées suivant les puissances de X'" ' et dont tous les termes ne

sont pas nuls.

Mais il faut d'abord que je démontre que l'on a identiquement

En elïet il existe un invariant intégral positif. Nous en concluons qu'il existe une intégrale // •!• (Ei, fcj) <^Çi rf^-.. qui a la même valeur pour une aire quelconque appartenant à la portion de surface sans contact j)i ;= o et pour toutes ses conséquentes.

De plus la fonction tl» est pcjsitive. Donc "i* (o, o) n'est pas nul; ou multipliant la fonction <I> par un facteur convenable, nous pourrons donc toujours supposer

H. r. — VII. 58

Mais le point

f,= :-, -(-<}.,, ?.. = p.. -(- ^., ;■,=. 2 An:.

est le A"'"""' conséquent du point

On nura donc pour une aire (pielconijue :

d'où l'identilc

Nous supposerons X = o, nous aurons donc

Les 0 ne conlieunent alors que des termes du ni"'"'^' degré et les w que des termes du (m + i )"'"" degré ou de degré supérieur. 11 résulte de là que la difléience

ne contient que des termes du //t"'""^ degré au moins par rapport ii pi et à (S,. Si l'on convient de négliger les termes du m"""' degré et de degré supérieur, on pourra écrire

On aura, en négligeant toujours les termes du m'"'"' degré .

V,i, f/(3, //pi (/p,

r/(p, + 6|) ^ f/( p., + ({;.,) rfO,

'/.••• ~ f/[i! ' <r/pi ~ '/pi

et

<', r/p.j '/;% r/p, f/pi ^/;-,'

de sorte qu'en idenlidant dans l'identité (i i ) tous les termes do degré inférieur à m, on arrive à la relation

*(^"î^^)te--;7p;) = "-

Dans le premier membre de cette relation, nous ne devons conserver .que les termes de degré ni — i au plus, de sorte qu'il reste

Posons

x = ±T,"'-i, fi, = Ti-n, P-2 = T2i;

on voit que Oi et 0^ deviennent divisibles par r/" et Wf et co, par yj"'^', de sorte que l'on peut poser

d'où

4/o = dr T|"i(c'f, — a'Y2) + •r,'"e';-f- •r|"'+U.y<,,

de sorte que nos équations ( lo) peuvent être remplacées par les suivantes :

(12) ±(rt'YiH- 6'y.2) + "'1 + r^M\ = o, rh(c'Yi— «'72)-)- O'j -t- rjo/o = o.

Je dis que l'on peut tirer de ces équations yi et ya en séries ordonnées suivant les puissances de -f] et sans que ces séries soient identiquement nulles. En vertu du théorème IV (!:; 2), il nous suffit pour cela d'établir :

1" Que les équations (12), ([uand on y fait r, =: o, admettent au moins un système de solutions réelles :

2" Que si l'on fait

7) = o, Ti = Ty, T-J = ï?

le déterminant fonctionnel des premiers membres des deux équations (12) par rapport à yi et y a n'est pas nul.

Cela revient à dire que, pour les équalions (12) réduites par la supposition de ï] ^= o, la solution

doit être une solution simple.

Mais en vertu des théorèmes V et VI du paragraphe 2 et de leurs corollaires, on peut encore développer y, et y^ suivant les puissances de rj, quand même cette solution serait multiple, pourvu que l'ordre de multiplicité soit impair.

Nous sommes donc conduits à envisager les équations

(i3) .-t(«'Y, + 6' yo) -(-()', = 0, ±(c'y, — a'Y2)-^6'2 = o

4Co SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS

et uoiis devons chercher à démontrer que ces équations admettent au moins une solution d'ordre impair.

De CCS équations nous pou\ous tirer lu suivante :

( 1.1) (rt'v,-)- ^'v,) 0'. — (c' V,— «'y,) 0', = o

qui est liomogéne et dont ou pourra par conséquent tirer le rapport — •

11 est clair que 0', etO', sont formés avec yi et y^ comme 0, et 0^ avec ^^ etp^;

on aura donc

./()', rfO'., ~/ — *- rr =°-

Cela prouve qu'il existe un polynôme/ homogène et de degré m + i en y, et y.j et qui est tel que

«y 2 «yi

De même si nous posons

/i = - (6'y|-l- layr,'".— c'y^ )

il vient

«y» «yi

de sorte que l'équation (i4) peut s'écrire

<7yo (/y, (/y, i/-^..

Considérons l'expression

Elle est homogène et de degré zéro par rapport à yi et yj ; elle ne dépend donc

f du rapport — • Je

En ellel l'é(]uation

que du rapport — • Je dis que le dénominateur /"i ne peut jamais s'annuler.

doil avoir ses deux racines imaginaires, d'où

d'où

ce qui prouve que la foinie quadratique; J\ est définie. L'expression II ne peut

ET LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE. 46l

donc jamais devenir infinie. Elle admellra donc au moins un maximum. Pour ce maximum on devra a\oir

Ainsi l'équalion (i4) admet au moins une racine réelle. Elle sera en général simple. En tout cas, elle sera toujours d'ordre impair, car un maximum ne peut correspondre qu'à une racine d'ordre impair.

Nous avons tiré de l'équalion (i4) le rapport—; nous pouvons donc poser

Oi et Ô2 étant des quantités connues.

Il nous reste maintenant à déterminer u. Pour cela dans la première des équations ( i3) je remplace yi et Vo par oi u et Ô2M, il vient

Û'I étant formé avec ôj et ô^ comme 0', avec yi et --j ; d'où (l5) àz(a S,+ b'à«) -h 6" ;<'"-' = o.

Celte équation doit déterminer a; si m est pair elle aura une racine réelle; si m est impair (et c'est d'ailleurs ce qui arrivera en général) elle aura deux racines réelles, ou pas de racine réelle; elle aura deux racines réelles si 0" et ± (rt'ôi+ 6'ô.j) sont de signe contraire; mais on peut toujours, grâce au double signe ±, s'arranger pour qu'il en soit ainsi.

L'équation ( i5) admet donc au moins une racine réelle. De plus celle racine est simple. Il n'y aurait d'exception que si

<('3i + è'S2=o ou 0", = o.

Mais dans ce cas on remplacerait l'équalion ( i5) par la suivante :

zfc (f'oi — a'S;) -4- O'ô a'"-i = o.

Il n'y aurait donc plus de difficulté que si l'on avait à la fois

rt'3| -I- 6' 5> ^ c' 5i — a So = o OU bien

fl"i = O'i = o.

La première circonstance ne peut pas se produire à cause de l'inégalité

La seconde circonstance pourrait au contraire so présenter. Il peut se faire que

l'équalion ( i4) adiuellc une racine lelle que 0, =: 0!, = o. Mais je dis que dans ce cas l'équalion ( i "î) admcllra encore au moins une racine pour laquelle celle circonslance ne se protiuita pas.

En efVel on a idenliquemenl

Si donc

on aura/ ^ 0 el puisque y'i n'esl jamais nul

11 pcul se faire en effel que l'expression II admelle zéro comme maximum ou comme miuimum. Mais celle expression n'esl pas idenliquemenl nulle puisque 0', cl 0'., ne sonl pas tous deux idenliquemenl nuls; de plus elle resle toujours linie; elle devienl donc soil posilive, soil négalive ; si elle devient posilive, elle aura un maximum positif el difTérenl de zéro; si elle devienl négative elle aura un minimum n(5galif el différent de zéro.

Ainsi l'équation (i4) admet toujours au moins une racine réelle d'ordre impair telle que 0", el O'I ne s'annulent pas à la fois.

Donc les équations ( i3) ont au moins une solution réelle d'ordre impair.

Donc on peut trouver dos séries qui ne sont pas idenli(|uement nulles, qui sont développables suivant les puissances fractionnaires positives de /j. — ;j-u et qui satisfont aux équations ( lo) quand on les substitue à (3, el P^.

Donc il existe un sj'slcme de solutions périodicjues de période 2Â'7r qui pour p = fio se confondent avec la solution

Ce sont les solutions périodiques du deuxième genre.

Je voudrais terminer l'exposé des résultats généraux de ce Mémoire en appelant particulièrement l'altention sur les conclusions négatives qui en découlent. Ces conclusions sonl pleines d'intérêt, non seulement parce qu'elles font mieux ressortir l'élrangelé di^s rcsullals obtenus, mais parce qu'elles peuvent, en vertu précisément de leur nature négalive, s'étendre immédiatement aux cas plus généraux, tandis que les conclusions j)ositives ne peuvent se généraliser sans une démonstration spéciale.

Je me propose d'abord de déinonlrorque les séries proposées par M. Lindsledl ue sont pas convergenles ; mais je veux auparavant rappeler en quoi consiste la méthode de M. Lindstedl. Je l'exposerai, il est vrai, avec des notations dilTcrentes de celles qu'avait adoptées ce savant astronome, car je désire, pour plus de clarté, conserver celles dont j'ai fait usage plus haut.

Mettons les équations de la Dynamique sous la même forme que dans la seconde partie du présent Mémoire et écrivons

dx, d¥

dx.

dF

dy.

dt dvi '

dt

dx\ '

dt

dx.

F sera une fonction donnée des quatre variables Xi, x-^, Vi e\. y^ et nous aurons

F = Fo-t-iJiF,.

F„ sera une fonction de Xi et de x-i, indépendante de v't et de }'■..; p. sera un coeflicienl très petit, de sorte que //F, sera \di fonction perturbatrice.

C'est en effet sous cette forme que se présentent les problèmes de la Dynamique et en particulier les problèmes de la Mécanique céleste.

Si iJ. était nul, x^ et X2 seraient des constantes. Si [x n'est pas nul mais très petit, et qu'on appelle ^i et?.) les valeurs initiales de Xi et de x^^, les différences X\ — ^1 et X2 — ço seront du même ordre de grandeur que [j..

Si donc nous appelons «i et «•> les valeurs de — -r-^ et de — -r-^ pour

' ■ " (IXi dx- '

Xi^i^i, 372=^^2, les différences — -t-^ — «, et — -^ — n-, seront du même ordre de grandeur que p., ce qui nous permettra de poser

rfFo , . d¥^ , ^

'sfi et cpo étant des fonctions de Xi et de x-:, qui ne sont pas très grandes. Les équations du mouvement s'écrivent alors

dt

dF,

= '-dyr

dx, ,/F, dt "'■" dy..

dF,\ dx.J'

dy,

dt -'"■'^'

dFj\ dx, 1

Supposons maintenant que Xi, x,, yi, y-i au lieu d'être regardés directement comme des fouclions de t soient regardés comme des fonctions de deux variables Wi et tVa et que l'on pose

fô, et f-îj seront Jiïs conslaules tl'inlù^ration arbitraires; li ol Àj scronl des conslaiiles que la suite du calcul déterminera complètement. Les équations du mouvement deviennent alors

</.)■, r/.r, (VF,

>• I -} f- >-2 -, [Ji -1— = o,

Posons maintenant

oTi = .;■" + [ji.r; -t- |j.-a;j -t- jjL-^j;v + ••■! .To := .^5 -I- l'-3^'i -+- K'-î^i + iJ-'-Krl + . . . ,

, .Vi— "'1 = I-i.' 1 + ;-i-.> Î-+- ,

] j-o — »■., = ixyl -+- l-t-.)i + 1

).,= Àî -+-|JtXl + |i-^Àf + ... ,

;,,= À? -t-,jix; + Hi=xi-i-

Je suppose que les coefficients "kf sont des constantes et que les coefficients y'- et xf sont des séries trigonomélriques ordonnées suivant les sinus et les cosinus des multiples de iv'i et de (v-,.

Je supposerai d'ailleurs comme je l'ai toujours fait jusc[u'ici que Fi est une série Irigonomélrique dépendant des sinus cl cosinus des multiples de^) et de yi et que les coefficients de celte série sont des fonctions holomorphes de a;, et de Xj.

Dans ces conditions, si dans les premiers membres des équations ( i ) je substitue à la place de li, ^-j, J'i, J'ai Xt et x^ leurs valeurs (2), j'aurai quatre fonctions développées suivant les puissances croissantes de fx, et il esl clair que les coefficients des diverses puissances de jj. seront des séries ordonnées suivant les lignes trigonomélriques des multiples de a'i et «a-

J'appelle <&,, $j, <I»', el *^., ces quatre fonctions.

Cela posé, le théorème de M. Lindsledt consiste en ceci :

Il est possible, quelque grand que soit q. de déterminer les 217 + 3 constantes

et les /j 7 séries trigonométriques :

., x'(; xt, ..., xï; y\, ■■■, yl; r», ■••, r?>

de façon à annuler dans <ti, <J>.2i ^'i et 4»., les termes indépendants de p. et les coefficients des q premières puissances de /jl, de façon, en d'autres termes, à satisfaire aux équations du mouvement aux quantités près de l'ordre de ij-I^' . On trouve d'abord

Wi et Wj étant des constantes d'intégration que nous supposerons de l'ordre de iJ..

Supposons que l'on ail déterminé par un calcul préalable :

A, , /., , . • . , /.,' , J-, , J-, . . . . , ^j' , j j , . . . , 1 ji ,

et que l'on se propose de déterminer >,'^, }''„, x'{. x'i, y'{, ri. Pour cela, écrivons que le coefficient de p.^ est nul dans <l»i, »D.j et 4»',, 4»',.

11 vient

f/x? clx'l ,.

/i, -= h tu - — = Xi,

dxX clx%

/il -T-i H- «2-^-^ = Xo,

I fAl'i «H'o

«, -7^ -h «2 -^ -+- X? = Yo, 1 dw\ dw-i

X(, X-j, Y, et Vj étant des fonctions connues.

X|, Xj, Yi et Yo sont des séries trigonométriques en ti'i et w-^. Pour que l'intégration des équations (3) soit possible, il faut :

i" que le rapport— soit incommensurable, ce qu'il est toujours permis de supposer ;

2° que dans les séries trigonouiétriques Xj cl X^, les termes tout connus soient nuls. Il eu est effectivement ainsi, mais la démonstration de ce fait important est délicate et ne saurait trouver place ici ; je me borne à dire qu'elle doit être fondée sur l'emploi des invariants intégraux;

3" que dans les séries trigonométriques Yi et Y.i, les termes tout connus se réduisent à V[ elXf; comme Af et \% sont deux inconnues, nous déterminerons ces inconnues par cette condition.

L'intégration des équations (3) est alors possible. Leur intégration introduira quatre constantes arbitraires. A chaque approximation nouvelle, nous aurons

H. p. — VII.

ainsi qiialre constantes d'inU''grnU()ii de plus; nous leur donnerons des valeurs quelconques et nous ne conserverons d'iiulres constaules arbitraires queoji, to.j, 0)1 el oj.j.

Ainsi les st^ries de .M. LindsLedl sonl des séries Irigononiélricjues en ui el tVa; elles sont développées suivant les puissances de p. el iuissi suivant les puissances des deux constantes w, cl w^.

Ces séries, d'après le théorème de M. Lindstedt, saùsfoal for me lie me ni ;hix é(ju;ilions du niouvenienl. Si donc elles étaient uniformément convergentes, elles nous donneraient l'inléf^rale générale de ces équations.

Je dès ijue cela n'est pas possible.

En ellel, supposons ([u'il en soit iiinsi el (jue nos séries convergent uniformément pour tontes les valeurs du temps et pour les valeurs suffisamment petites de fx, de wi et (jj., .

11 est clair (pie ^| et X.j sont aussi des séries ordonnées suivant les puissances

de \J., t»! et (Oj. Pour certaines valeurs de wi el coj le; rapport r^ est commensu-

rable. Les solutions particulières qui répondent à ces valeurs des constantes d'intégration sont alors des solutions périodiques.

Nous avons vu plus haut que toute solution périodique admet un certain nombre d'exposants caractéristiques. Voyons comment on peut calculer ces exposants quand on possède l'intégrale générale des équations données.

Soit

Xi = lj<l(/, U)|, Wo, ÔJi, ÎO.j), .t;i= 4'2(/, U),, (U2, î»,, ÛSo ),

.)1 = '{''iC) '^l> '"2) <^ll '■>!)! .12= i'îCl l^lj («!> <>î|, <"s)

cette intégrale générale.

Supposons qu'en donnant à dJi, 6u, (i>i et w.j des valeurs déterminées w,', co", ûj, cô°, les fonctions (j;,, <\i.,.^ '|î, <]^"„ deviennent périodiques en t. Pour avoir les exposants caractéristiques de la solution périodique ainsi obtenue, nous formerons les seize dérivées partielles:

dx.

'Ol

,/ro .

<yâ>i

r/tô|

t/wi '

dv,

ltM«

t/lOn

(■/tOo

c/ioj '

el nous y ferons ensiiiie

Alors -j-^ par exemple prendra la forme suivante :

dx\

les a élanl des constantes ot les 0 des fonctions périodiques. Les a sont alors les exposants caractéristiques cherchés. Appliquons cette régie au cas qui nous occupe. Nous avons

cpi étant périodique en W\ et en w-,. Il vient alors

dx\ c/si r/./:, d-^\ ( d'i.t d:ft f/Àj rfs

dto, duj, \diiii divi rfioi dWi) Les trois fonctions

r/ivi rf<i)| .-/o)! rfnj| d(i>, dw«

sont périodiques en Wi et w^ et par conséquent en t.

Un trouverait pour -^- et -; — des expressions analogues.

Cela prouve que les exposants caractéristiques sont nuls.

Donc, si les séries de M. Lindsledl étaient convergentes^ tous les exposants caractéristiques seraient nuls.

Dans quel cas en est-il ainsi ?

Nous avons vu plus haut la manière de calculer les exposants caractéristiques {% 10 et 12).

Dans ce dernier paragraphe nous avons vu que les exposants caractéristiques, relatifs aux équations

dXi d\-\ dVt dvi </Fu dVt

dt dy, ' d), dt ~ dx, ' ' dxi

pouvaient se développer suivant les puissances de \/ix; nous avons appris à former l'équation qui donne le coefficient «i de \^..

Rappelons comment se forme cette équation :

Nous avions posé dans le paragraphe cité

^it — — -rr—r-i «,-* =

dxi dxk dyi dyk

Dans ces dérivées secondes on suppose x, d x-> remplacées par x", el xl, pendant que )| el y-2 sonl remplacées par n^l -+- wi, n^t -+- ojo ('). C"^ est donc une constante et B/^. une fonction périodique de t. J'appelle bu le terme tout connu de celte fonction périodique.

Posons ensuite

eii = l'nC",, -f- il, es.,, c, = b-n G»., + b..Ct,.

L'équation qui nous donne a, s'écrira alors

en — «î Ci2

t'ïi e.22 — y-1

Pour que celle équation ait toutes ses racines nulles, il faudrait que l'on eût

en + «22= o

et

(4) bnC.% + 2b,,,C1.-hb.,«C?,. = o.

Or on a, comme je l'ai démontré dans le paragraphe cité :

«1 /yii -)- /i.,bi«= ii\bi\-\- «2^22= o.

Il faut donc pour (jue l'identité (4) iiil l'eu ou bien que

ou bien que

(6) « i Gî I — 2 n 1 «2-G',' 2 4- ii\ Cl 2 = o.

Occupons-nous d'abord de la relation (5). Si nous faisons dans la fonction perturbatrice Fi

Xi= x\^ X^^ xl, J'i = /(i/ + 0)1, ) 2 = «2' -t- "J2,

F< deviendra une fonction périodi(pie de t. Supposons celte fonction périodique développée en série trigonomélrique, et soit i]> le terme tout connu; 'i sera une , fonction péiiodique de wi el m., et il viendra

ba =

■U'iidiiiii

('; Iiiulilt- de rappeler ici que ces valeurs de x\, a.»', rt,, «, sonl celles qui correspondent à la solution périodique étudiée; ce ne sont pas celles dont nous avons fait usage plus haut dans

l'exposé de la iiictliode rlr M, l.indstcdt. Le rapport — ' est donc coininensurable.

Nous devrons donc avoir

Nous pourrons toujours supposer que l'origine du temps a été choisie de telle sorte que m-, soit nul et que i|> soit fonction périodique de wi seulement.

De plus la relation (-) devrait être (si les séries de M. Lindstedt convergeaient) satisfaite identiquement. Et en effet, si l'on admettait la convergence de ces séries, il y aurait une infinité de solutions périodiques correspondant à

chaque valeur commcnsurable du rapport — •

Si la relation (^) est une identité et si ']/ est une fonction périodique, celte fonction devra se réduire à une constante. Voyons ce que cela veut dire :

La fonction perturbatrice Fj étant périodique par rapport à ji et à j-o pourra s'écrire

F, = SA,„,,„, cos(»M,)i-l- m-2 }■■:}-+- SB,,,,,,,, sinCmij-, -1- m^.y,),

les nii et les m^ étant des entiers, pendant que A„,^,„, etB,„^,„^ sont des fonctions données de Xi et de x^- On aura alors

'h = V A,°„,,„,cos(»(|Wi-+- /"2ÏÔ-) -I- ^ B,",,,,,. sin(ni,(ôi-i- m-iw,),

la sommation représentée par le signe V s'étendant à tous les termes tels que

«1 /«i -I- ri2 1H1 = o,

et A,", ,„^ et B," ,„ représentant ce que deviennent „,^„, et B,„^,„^ quand on y remplace X\ et Xo par x\ et x",.

Comme les termes périodiques doivent disparaître de '\i, on aura

Ainsi les coefficients A„^,„^ et B,„,„^ du développement de la fonction perturbatrice doivent s'annuler quand on y donne à x^ et à x» des valeurs telles que

Ou bien encore on doit pouvoir donner an rapport — des valeurs commensu-

rables sans introduire dans la fonction perturbatrice F( des ternies séculaires. Il est clair qu'il n'en est pas ainsi dans le cas particulier du problème des

trois corps que nous avons examiné, et qu'on n'y peut donner au rapport des moyens mouvements une valeur comniensurable sans introduire dans la fonction perlurhalrice des termes séculaires.

Passons maintenant à la condition [6), qui peut s'écrire

\iixi) dx^ " r/xt i/xi lixi <ix-< \àx\ / dx'i

Elle exprime que la courbe Fo(a"i, a72) = const. a un point d'inflexion au poial Xi^= xi, X2 = xl-

Comme cette condition doit être remplie pour toutes les valeurs de xi et

de t", qui correspondent à un rapport -- commensurable, la courbe

Fo(a:4, Xn)z= consl. devra se réduire à un système de droites.

C'est un cas particulier que nous laisserons de côté, car il est évident que rien de pareil n'arrive dans le problème des trois corps.

Ainsi, dans le cas particulier du problème des trois corps que nous avons étudié et par conséquent aussi dans le cas général, les séries de M. Lindstedt ne convergent pas uniformément pour toutes les valeurs des constantes arbitraires d'intégration qu'elles contiennent.