Non-existence des intégrales uniformes (i
Reprenons nos équations de la Dynamique avec deux degrés de liberté
r/x, r/F dyi^ d?
dl dyi dt dxi
Ces équations admettent une intégrale F = const. Cette intégrale F est une fonction analytique et uniforme de Xi, x^, )'), y^ et [t.; périodique de période 27: par rapport à j-| et à y-j.
.Je me propose de démontrer qu'il n'existe pas d'autre intégrale jouissant des mêmes propriétés.
Soit en effet <I» = const. une autre intégrale analytique uniforme par rapport aux X, aux j' et à f;i et périodique par rapport aux y.
Soit
j;, = ç,(0, .r. = 92(0, ri=?3(0, .r2=?i(0
une solution périodique (de période T) de nos équations diflérentielles. C) Voir aux Notes, Intégrales uniformes.
Soit
Soit (3,: la valeur de ^,- pour < =: o; soit (3, -|- i];; la valeur de ^, pour ^ = T; nous savons que les i\i sont développables suivant les puissances croissantes des (3. Considérons l'équation en S :
di^,
rf<J-,
dh
dh
dif^ dh
dh
dh
dh \ d'h
dh
dh
Les racines de cette équation sont égales à e*^ — i, les a étant les exposants caractéristiques ; deux de ces racines sont donc nulles, et dans le cas particulier du problème des trois corps que nous traitons, les deux autres racines doivent être diflerentes de zéro.
Je remarque d'abord que nous avons :
!d?d^ d¥d^ dP d^ d¥d^
\ dXi d'pi dxi d\ji dyi dpi dy^ d'h ~
' d.c, dh dx. r/h di t f/'h dy-i d'h
Dans les dérivéee de F et de it, .r,, X;., y\ et >•■> doivent être remplacées par
On peut en conclure ou bien que l'on a
dV
ilx-i
dx->
d¥ dy, d^ d) i
7F dV, d<^
OU bien que le déterminant fonctionnel des <\i par rapport aux (3 est nul ainsi que tous ses mineurs du premier ordre.
D'autre part on a, en désignant par 9Î(<) la dérivée de (fi{(),
dF , , ^ dF , . ^ dF , , ^
dxi
dxi
d^ dy,
dF dyi
dy..
De ces éciualions on peut conclure, par un calcul très simple donl on trouvera plus loÏQ le détail, que si les équations (2) ne sont pas satisfaites, ou bien on aura
ou bien l'éijualiiin on S aura trois racines nulles (les quatre l'acines devraient même être nulles, puisque les exposants caractéristiques sont deux à deux égaux et de signe contraire).
Or nous savons que l'équation en S n'a que deux racines nulles; d'autre part les équations (5) ne peuvent être satisfaites que pour certaines solutions périodiques très particulières (je veux dire pour celles qui sont étudiées dans la Mécanique céleste de Laplace, Livre X, Gliap. VI) et où le troisième corps décrit comme les deux premiers une circonférence.
Les équations (2) devront donc être satisfaites. Elles devront l'être pour
jr, = 9,(T), .i-o=ço(T), ,i-,= 93(T), ,,„=ç,(T).
Mais comme l'origine du temps est restée arbitraire, elles devront l'être également quel que soit t pour
j:, = 1,(0, Xi=o,(t), j, = =,(<), .•>!=?v(0-
En d'autres termes, elles le seront pour lous les points de toutes les solutions périodiques. Je dis maintenant que ces équations sont satisfaites identiquement. Posons par exemple :
rf'I» r/F r/'I) rfF
dX2 i/X\ r/xi d.i-2
Il est clair que / sera encore une fonction analytique et uniforme; on aura y"=o pour tous les points de toutes les solutions périodiques. Je veux établir que /'est identiquement nul; pour cela je vais montrer que l'on a identiquement pour |jL ^ o :
En effet, considérons une solution périodique quelconque du premier genre; soit
celle solution; les fonctions q seront dévcloppables suivant les puissances de p. et quand p tendra vers zéro, elles tendront respectivement vers
(x1 et xl étant des coiislantes telles que — soit cominensiirable et w, et w^ les quantités définies dans le paragraphe 11 ). Tant que fj. n'est pas nul on aura
Mais la fonction/ étant analytique et par conséquent continue, on aura encore pour fi = o (bien que pour p. =: o les esposants caractéristiques s'annulent) :
J' (xi, X\, «1 Z + W|, /loi -+- û);) = O.
Mais si l'on considère un système quelconque de valeurs de Xi et do x< on pourra toujours trouver un système x\ et x\ qui eu différera aussi peu que l'on
voudra et qui correspondra à une valeur commensurable de — • Soit alors
Il — '21
î.i et Xi élanl deux entiers premiers entre eux. Nous choisirons t de façon que
fift -\-M,= yi-i- 2kr. (A- entier).
On aura alors
n.>t -+- w« = ,— ( J'i -I- ■-'. k- — oji ) -I- W|>
Si nous posons ou devra avoir
«,< + (1)0= )S 4- 2A:'- (A: entier),
Etant donnée une valeur quelconque de y,, on peut choisir les entiers A- et k'
de telle façon que la différence j)'2 — ri soit plus petite en valeur absolue que y-^-
Mais nous pouvons toujours choisira:^" et x'I de façon que ce système de valeurs
diffère aussi peu que l'on veut de x, et de ^j, et que le rapport — tout en étant
commensurable soit tel que le nombre entier li soit aussi grand que l'on veut. Par conséquent, étant donné un système quelconque de valeurs de x^, x^, yi el y.2, on pourra trouver un système de valeurs qui en différera aussi peu qu'on voudra et pour lequel/sera nul. Comme la fonction /est analytique, elle devra donc être identiquement nulle pour p. = o.
Cela posé, comme /[«/(i, p.)] = o quels que soient t el p, il vient, pour tous les points de la solution périodique,
d/ rif ,h^x dj ^92 dj dz,-^ dj dz, d\j. dx^ d\x. dx-i djx dVi d\}. '/) 2 dix
Cette relation sera vraie en particulier pour
a = o, a,'i = a;î, xn= x^, }-,= «,?-+• (iî,, fn= n-it -\- ûi^.
Mais, quand fx est nul, / est identiquement nul, par conséquent ses dérivées par rapport aux x et aux )" sont nulles. On a donc
: = I) pour (1 = o, Xi=Xi, y, = /(,7 -i- lo/;
et l'on en conclurait comme plus haut que -^ est identiquement nul pour p-^o.
ri- f
On démontrerait de la même manière que -v^i et les autres dérivées de f par rapport à pt sont nulles pour p. = o.
Donc la fonction f est identiquement nulle et les équations (2) sont des identités.
Mais, s'il en est ainsi, cela veut dire que «I> est une fonction de F, et que les deux intégrales <ï» et F ne sont pas distinctes.
Nos équations ne comportent donc pas d'autre intégrale analytique et uniforme que F = const.
Quand je dis que ces équations n'admettent pas d'intégrale uniforme, je ne veux pas dire seulement qu'elles n'ont pas d'intégrale qui reste analytique et uniforme pour toutes les valeurs de x, de y et de \j-.
Je veux dire qu'en dehors de l'intégrale F, ces équations n'admettent pas d'intégrale qui reste analytique, uniforme (et périodique de y^ et j'o) pour toutes les valeurs de y^, et de Va et pour les valeurs suffisamment petites de \i., quand Ti et Xo parcourent un domaine quelconque, si petit d'ailleurs que soit ce domaine.
On sait que Bruns a démontré qu'en dehors des intégrales connues, le problème des trois corps n'admet pas d'intégrale algébrique. Ce résultat se trouve donc confirmé par une voie entièrement difi'érente.
J'ai annoncé plus haut que les équations (1), (3) et (4) entraînent forcément une des trois conséquences suivantes : ou bien les équations (2) sont satisfaites, ou bien ce sont les équations (5), ou bien l'équation en S a au moins trois racines nulles.
En effet, formons la matrice suivante à quatre lignes et cinq colonnes :
d'\i d'hi (h'i^i rl'hi
offi, r/;ij ^[1, d'{j^ "''•"■*
Si les équations fi) et (4) sont satisfaites sans que les équations (2) le soient.
nous devons conclure que tous les dôlerminants obtenus en supprimant dans cette matrice deux colonnes et une ligne sont nuls.
Si maintenant l'on fait subir à Xi, x-,, ji et ja un changement linéaire de variables, les '^ et les (3 subiront ce même changement linéaire et la matrice (6) pourra être simplifiée.
On peut toujours supposer qu'on a choisi ce changement linéaire de telle sorte que
— i— = o pour i < A:.
... , . .... . . di/^ dij-, c^d/3 dij^
Alors les produits trois a trois des quatre quantités -77-) —rrri -nh'» -rr- sont tous r » » a!|j, api aps afii
nuls, d'où il suit que deux au moins de ces quantités sont nulles. On peut
toujours supposer que le changement linéaire a été choisi de telle sorte que
d>l-, dil; ... ,
ce soient -^ et -p- qui soient nuls.
(/lin d^i; ^
Si en outre une des deux quantités ~- et -rj^ est encore nulle, l'équation
T dp, dpi •
en S aura trois racines nulles.
Si, au contraire, aucune de ces deux quantités n'est nulle, les équations (3) permettent de conclure que
En supprimant dans la matrice (6) la troisième et la quatrième colonne et la troisième ligne, ou bien la troisième et la quatrième colonne et la quatrième ligne, il vient
d<\,, di\i., dt\i, rfi};, ,
ce qui ne peut avoir lieu que si
c'est-à-dire si les équations (5) sont satisfaites; ou bien si
dii[ di/n
c'est-à-dire si l'équation en S a trois racines nulles. c. q. f. d.
