Problème des n corps

Est-il permis d'espérer ijn'du puisse éleadre les résultats précédents aux cas où les équations de la Dynamique comportent plus de deux degrés de liberté et par conséquent au cas général du problème des n corps?

C'est possible, mais ce ne sera pas sans un nouvel effort.

Je croyais, en commençant ce travail, que la solution du problème, une fois trouvée pour le cas particulier que j'ai traité, se généraliserait immédiatement sans qu'on ait à vaincre aucune difficulté nouvelle en dehors de celles qui sont dues au nombre plus grand des variables et à l'impossibilité d'une représentation géométrique. Je me trompais.

Aussi crois-je devoir insister un peu ici sur la nature des obstacles qui s'opposent à cette généralisation.

S'il y a /> degrés de liberté, la silualion du système peut être représentée par la position d'un point dans l'espace à 2/j — i dimensions. Lu plupart des conclusions de la première Partie sont encore vraies et n'ont à subir aucun changement. Il existe donc une infinité de solutions périodiques représentées par des trajectoires fermées et se classant en stables et en instables, ou même en catégories plus nombreuses, d'après la nature de leurs exposants caractéristiques. Il existe aussi une infinité de solutions asymptotiques.

J'ai cherché également à étendre au cas général le calcul du paragraphe 17 en laissant de côté la question de convergence. Les séries qu'on obtient de la sorte peuvent en effet, même lorsqu'elles divergent, être utiles dans certains cas aux astronomes et peut-être guider les géomètres vers la solution définitive.

Supposons trois degrés de liberté et reprenons les équations (1) du paragraphe 11 en faisant les mêmes hypothèses que dans ce paragraphe.

Cherchons ensuite trois fonctions de l'i , j\., i':i :

salisfaisanl aux équalions

dx,

dF dx, dF

dXi dy-, dxi

dxy dF dF

dy, dxs dy,

dxi dy.

dF dx., dF dx\ dy^ dx-i

dx-, dF dF dyz dxz dy-x

dx-,

dF dx-i dF

tlx\ ily-i dx^i

dx3 dF dF

dyz dx,; dy-.

OU. ce f|ui revient au même, aux ocjualions

, dx\ dx. dx:, dx- dx, dx-s

' d)-- (/il (/}-, dy.; '/)>, dy.

Nous supposerons que Xi, x-,, x,, peuvent se développer suivant les puissances de p. ou de \'f. et (|ue pour p. ;=o, elles se réduisent à des constantes .c°, x", xl.

Nous poserons ensuite comme plus haut :

(4F„ dFo dFo

^=-"- d^=-"^' dFI=-"'-

Si entre «i, «a, n.,, il n'y a aucune relation linéaire à coefficients entiers, on peut développer Xi, x^ et x^ suivant les puissances de [x; chaque ternie est périodique à la fois par rapport à j'i, à y-2 et à yj. Mais il s'introduit de pe.lits diviseurs.

Si entre «i, n^ el n-;. il v a une relation linéaire et une seule à coefficients entiers

«il II, -h m;ll-2-+- 1)1; II;; = O.

les calculs peuvent se poursuivre absolument comme dans le paragraphe 18. Les trois fondions x,, x., et x,, se développent suivant les puissances de ^/|j. el elles sont au moins doublement périodiques, je veux dire qu'elles ne changent pas quand j>'i, Vj el y,, augmentent d'un multiple de 27: de telle façon que '"1 >i + '"■jT2+ m-.iV:, ne change pas; il y a encore de petits diviseurs.

Il reste un ti'oisième cas, le plus intéressant de tous, qui est celui où il y a entre «1, n-^, n,, deux relations linéaires à coefficients entiers :

m, n, -+- 111-2 II-, -+- /iir./i.; = 0, «('1 /(, -I- /n'2 n-,-h m', /i-^ o.

On peut alors développer Xi, x^ el x,, suivant les puissances de \/fJ. et de façon que ces fonctions soient périodiques, je veux dire qu'elles ne changent pas quand y^, y-, et y,, augmentent d'uu multiple de ir., et de telle sorte que

'MiJ « 4- "I2J 2+ '«:ij3 et l)l\y^-\- in'.,y-.-j- m'.ys ne changent pas. Il n'y a plus de petits diviseurs, mais le calcul de ces fonctions n'est pas sans certaines difficultés.

Eu première approximation, la détermination de ces fonctions dépend de l'intégration d'un système d'équations différentielles (|ui ont la forme canonique des équations de la Dynamique, mais avec deux degrés de liberté seulement. Dans presque toutes les applications, ces équations dépendront d'un paramètre très petit par rapport auquel on pourra développer, de manière qu'on pourra leui' appliquer les conclusions des Chapitres I et II (1'° Partie).

Dans les approximations suivantes, on n'aura plus à effectuer que des quadratures.

Ce n'est pas tout; le problème des n corps présente des difficultés spéciales (ju'on ne rencontre pas dans le cas général. Sans doute ces difficultés ne sont pas aussi essentielles que celles dont j'ai signalé plus haut l'existence, et un peu d'attention doit permettre d'en triompher.

Mais j'en dois dire ici quelques mots.

Dans le problème des n corps, F,, ne dépend pas de toutes les variables linéaires X;; par conséquent, non seulement le hessien de |Fu par rapport aux variables xi est nul, mais le hessien d'une fonction arbitraire de F„ est encore nul {Cf. p. 359). Cela vient du fait suivant : si f^i = o. c'est-à-dire dans le mouvement képlerien, les périliélies sont fixes.

Cette difficulté n'existait pas dans le cas que nous avons traité (premier exemple, § lo), parce que nous avions pris pour variable non pas ^longitude du périhélie, mais g — t. Elle n'existerait pas non plus avec une loi d'attraction autre que la newtonienne.

Voici quelles en sont les étranges conséquences :

Nous avons vu qu'il y a deux sortes de solutions périodiques : les solutions du premier genre, dont nous avons parlé dans le Chapitre III (I"^' Partie) et qui subsistent quelque petit que soit |^, et les solutions du deuxième genre dont nous avons parlé dans le paragraphe 20 et c[ui disparaissent l'une après l'autre quand on fait décroître p..

Dans le cas du problème des trois corps, si l'on fait p = o, les orbites des deux petits corps se réduisent à deux ellipses képleriennes. Que deviennent alors les solutions périodiques du premier genre quand on fait fx=:o? En d'autres termes quelles sont les solutions périodiques des équations du mouve-

ment képlerien? Les unes correspondent au cas où les deux moyens mouvements sont commensurables. Mais il en est d'autres qu'il est plus malaisé d'apercevoir et sur lesquelles je dois insister.

Si |JL := o, c'est que les masses des deux planètes sont infiniment petites et qu'elles no peuvent agir l'une sur l'autre d'une manière sensible, à moins cPétre à une distance infiniment peti le Vune de Vautre. Mais si ces planètes passent infiniment près l'une de l'autre, leurs orbites vont être brusquement modifiées comme si elles s'étaient choquées. On peut disposer des conditions initiales de telle façon que ces chocs se produisent périodiquement et l'on obtient ainsi des solutions discontinues ( ' ) qui sont de véritables solutions périodiques du problème du mouvement képlerien el que nous n^ avons pas le droit de laisser de côté.

Telles sont les raisons pour lesquelles jai renoncé, au moins momentanément, à étendre au cas général les résultats obtenus. Non seulement le temps me fait défaut, mais je crois qu'une pareille tentative serait prématurée.

En effet, je n'ai pu faire encore du cas particulier même auquel je me suis restreint une étude suffisamment approfondie. Ce n'est qu'après bien des recherches et des efforts que les géomètres connaîtront complètement ce domaine, où je u'ai pu faire qu'une simple reconnaissance, et qu'ils y trouveront un terrain solide d'où ils puissent s'élancer à de nouvelles conquêtes.

(') Ce sont les solutions que H. Poincaré a appelées de deuxième espèce et a étudiées au Chapitre XXXII des Méthodes ISouvelles- Voir à ce sujet, aux Notes, Solutions périodiques.

huUetiii Astronomique, t. S, p. 12-^^ (janvier 1S91 ).

J'ai publié dans le Tome 13 des Acta Malliemalica (') un Mémoire où j'obliens quelques résultais relatifs à un cas particulier du problème des trois corps el à divers problèmes de Dynamique; je crois qu'il ne sera pas inutile de reproduire ici sans démonslralion quelques-uns de ces résultats pour les lecteurs du Bulletin astronomique qui n'auraient pas le temps de lire in extenso le Mémoire original, qui est assez volumineux.

Je ne parlerai ici que de ce cas particulier du problème des trois corps que je viens de mentionner el qui est le suivant.

Supposons trois masses A, B et G se mouvant dans un même plan. Je suppose que la masse A sait très grande, la masse B très petite, la masse C infiniment pelile et incapable, par conséquent, de troubler les deux autres. Alors A et 13 se niouvronl suivant les lois de Kepler. Je suppose de plus que les excentricités de A et de B sont nulles, de telle sorte que ces deux masses A et B décrivent des circonférences concentriques, el je nie propose d'étudier le mouvement de C sous rallrnclion de A el de B dans le plan de ces deux circonférences. Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et d'une pelile planète, si l'on négligeait l'excenlricilé de Jupiter el l'inclinaison des orbites.

Tous les résultats que je vais énoncer se rapportent à ce cas particulier. Depuis j'ai cherché à les étendre au cas général du problème des trois corps; tel a été le principal objet des leçons que j'ai professées à la Sorbonne de novembre 1889 à mars 1890 el qui seront publiées prochainement chez MM. Gaulhier-Villars et (ils; mais je ne m'occuperai pas pour le moment de celle extension.

C; Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. 262.

SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. . 48l

Voici (i'nl)oril l(?s nota lions que je compte employer.

Je définirai la position du point G par ses éléments osculateurs. Je désignerai par a, e et n le grand axe, l'excentricité et le moyen mouvement, par j'j l'anomalie moyenne et par g la longitude du périhélie.

Je désignerai par i la masse de A et par \j. celle de B; p. sera donc une quantité très petite. Je choisirai les unités et l'origine du temps de façon que la constante de Gauss soit égale à i; que le moyen mouvement de B soit égal à i, et la longitude de B égale à (.

Je poserai

F sera la fonction perturbatrice augmentée de j:, H j; les équations prendront

alors la forme symétrique

^^' UT ~ dyC ir ~ ,lyi ITT " dxC (U ~ dx.'

La fonction F sera susceptible d'être développée suivant les puissances de \i.^ et nous écrirons

F = Fo + ;ji F) -(- |x= F» -+- . . . ; on aura d'ailleurs

Fo = ^iH ?•

Enfin F sera fonction de .i-\, .r-,, j'i et 12 seulement et sera périodique de période avr par rapport à ji et jo-

Les équations (i) admettent, comme intégrale, F:=G; celte intégrale, connue sous le nom d'intégrale de Jacobi, peut être obtenue en combinant celle des forces vives avec celle des aires.

On peut aussi la regarder comme l'intégrale des forces vives dans le dans le mouvement relatif du point G par rapport à deux axes mobiles tournant d'un mouvemenl uniforme; à savoir la droite AB et une perpendiculaire à AB menée par le centre de gravité du système supposé fixe.

G'est pourquoi je conserverai à la constante G le nom de constante des forces vives.

Solutions périodiques.

Les premiers résultats sur lesquels je veux appeler l'attention sont relatifs à certaines solutions particulières remarquables des équations (i). Je citerai H. P. — Vit. 61

d'abord les solutions de la forme suivante, que j'appellerai solutions périodiques :

Los fonctions cp,, ly..., O;, et cp.i sont des fonctions péiiodi(jiies de j)(''riode T et soûl, |)ar couséquent, développables suivant les sinus et cosinus des multiples

de •^tJt- De }ilus, «1 1' et n-.T sont des niullijiles de 27T.

Je dislingue les solutions pt^riodiques du premier genre, pour lesquelles les fonctions 91, o^i 9:1 et 91 sont développables suivant les puissances de /j..

A chaque système de valeurs de n, et de «j, cominensurahles entre elles, correspondent au moins deux solutions périodiques du premier genre.

.J'enseigne à former les coefficients des séries o, qui sont absolument

Solutions périodiques du deuxième genre.

11 existe également des solutions périodiques pour lesquelles les séries 9 ne sont pas développables suivant les puissances de [j. et que j'appellerai solutions du deuxième genre. Voici sous quelle forme elles se présentent d'ordinaire :

Soit

j;i=v,(0, ^2=r2(0> yi= nit -^- <f,{t), y,= n,t -i- !f ■,{/),

une solution périodique du premier genre, c'est-à-dire développable suivant les puissances de /j.; soit T la période. Soit

ce que devient cette solution quand on y donne à p. une certaine valeur jj-q. Alors les fonctions ']/" sont développables suivant les sinus et cosinus des

multiples de -rrr--

Il existera dans certains cas une solution périodique de la forme suivante :

x^= ■]'!!(o-+-(i^-i^o)^'i'y'(o + (H--i^o)4'2^'(0 + (i^-i^o)Hy"(o+-.-,

y, = na-h 'lt(t) -f- ([Ji - h:o)Hv'(0 + (|^ - |^.„ ) 'f :," ' ( 0 + ( 1^ " I^o)^|'/'(0 + • ■ ■ >

.,'.,= n.,<-i- ■ii{t) + (,a- ,ji„)^^V'(0 + (;^ - i^^^')V''(n -*- (i^ - !J.nf 'K"(0 + ■ ■ ■•

Les fonctions '^|."(<), 'l\''\t), <!'/'"(') sont périodiques par rapporta t; mais la période n'est pas égale à T comme pour les fonctions '\if{t), mais à /. T, /.' étant un nombre entier. Par conséquent, x,, x-,, )\ — rittely^ — «jf sont dévelop-

pables suivant les puissances de y ,a — /jlq et suivant les sinus et cosinus des

multiples de ^^ •

Pour ^>(ji„, on a deux solutions périodiques du deuxième genre réelles et distinctes; pour p. = |j.||, elles se confondent entre elles et avec la solution du premier genre

pour p- < p-oi elles deviennent imaginaires.

Dans certains cas le contraire peut avoir lieu, et il peut arriver que les deux solutions soient réelles pour p. •< pj et imaginaires pour p- > p,,.

Exposants caractéristiques.

Les solutions périodiques semblent d'abord sans aucun intérêt pour la pratique. La probabilité pour que les circonstances initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à une pareille solution est évidemment nulle. Mais il peut très bien arriver qu'elles en diffèrent fort peu : la solution périodique pourra jouer alors le rôle de première approximation d' « orbite intermédiaire ». Il peut donc y avoir intérêt à étudier les solutions qui diffèrent peu d'une solution périodique. Voici comment on opérera :

Soit

une solution périodique quelconque.

Considérons une solution peu différente et posons

a;,= i.i(0 -+- i.h J't= "it -+- 3,+2(/)H- T,/.

Si les ^,- et les ru sont des quantités assez petites pour qu'on puisse en négliger les carrés, les équations deviendront

dt ~ Z^dyidxk'-''^ Z^dy^dy-k^'' (2) { " ((, k = I, 2).

dt ^U djCi dxk ' ^^ dxi dvii '

Dans les dérivées secondes de F qui figurent dans les équations (2), on doit remplacer x, etj)',- par o,(<) et «,•< + cf>,-i-2(<); les coefficients de Ey, et de r,/, dans les seconds membres de ces équations (2) sont donc des fonctions périodiques données de t.

iSi SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS.

L'inK^grale générale des équations (a) s'écrit

Ç,- = A e»' S; H- IJ e-»' s; -i- ((". + / D ) S," + DS;" .

•r)i= Acï'Ti-i- l!e-»'T; H-(C-4-<D)T;'-(-D'n' *■'-'' ^'*-

A., B, C, D sont i|ualre constanles d'iulégralioii ; a est une conslaule non arl)itraire. S,-, S,', S", S", T,-, T| , T" , TJ' sont dos fondions périodiques de /

développables suivant les sinus et les eosinus des niulliplcs de -rrr--

La conslanir y. et les coefficienls de S,-, S| , T,- et T| sont développables suivant les puissances de y'/jt., ceux de SJ, S", TJ et TJ' suivant les puissances de p.. .l'enseigne à former toutes ces séries qui sont absolument convergentes.

L'exposant x s'appelle exposant caractéristique. 11 est réel ou purement imaginaire. Dans le premier cas, la solution périodique sera dite instable, dans le second cas elle sera dite stable. Cette dénomination se justifie aisément, bien quelle ne doive pas être prise dans un sens absolu, puisque nous avons négligé les carrés des £ et des rj.

Nous avons vu qu'il y aura au moins deux solutions périodiques du premier genre correspondant à chaque système de valeurs de «i et de /lo, commensurables entre elles. J'ajouterai qu'il y en aura toujours un nombre pair et précisément autant de stables que d'instables.

Solutions asymptotiques.

Soit

une solution périodique quelconque instable. 11 existe deux séries de solutions particulières remarquables que j'appellerai solutions asymptotiques.

Les solutions asymptotiques de la première série seront de la forme suivante :

( Xi= ^t{t)-h Ae-«'0;'i(O + k^e~"-='-'<J'r'{t) -H A^e-3»'0i-"(O + . ■. ^ ( v;=«,^-hî,+,(0-+- Ae-«'0iU(O-HA-e-2«'0;.|^(O-t-... (1 = 1,2).

A est une constaule arbitraire d'intégration, a est l'exposant caractéristique (que je suppose positif), les fonctions <ï."(t), 0|"'(<), . . . , (j = i , 2, 3, 4) sont périodiques de période T et développables par conséquent comme les Oi(t) par

rapport aux sinus et cosinus des multiples de '-^- I>es coefficients du développement sont eux-mêmes des séries dont les termes sont rationnels en y'/j..

Inulile de faire remarquer que, si l'on reprend les notations du paragraphe précédent, on a

Les séries (3) sont convergentes pour les valeurs de t suffisamment grandes. On voit que, quand l croît indéfiniment, les solutions représentées par les équations (3) se rapprochent asvmptotiquenient de la solution périodique.

Les solutions asymploliques de la seconde série seront de la forme suivante :

j jc,= 3,(n-l- Be3;'(.);.i''( 0-1- B-^e^="(o;.-'(0 -*-••-,

B est une nouvelle constante d'intégration, a est encore l'exposant caractéristique; les fonctions w sont de même forme que les fonctions 0 qui entrent dans les équations (3). On obtient d'ailleurs les fonctions co si dans les

fonctions 0 on change y/fv. en — \ ;j..

Les séries (3 bis) convergent pour les valeurs de t négatives et suffisamment grandes. Quand ( tend vers — », les solutions qu'elles représentent se rapprochent asymptotiquement de la solution périodique.

Solutions doublement asymptotiques.

Il exisie une infinité de solutions qui appartiennent à la fois aux deux séries et qui sont, par conséquent, représentées par les équations (3 bis) pour les valeurs de l négatives et très grandes, et par les équations (3) pour les valeurs de t positives et très grandes.

L'orbite, d'abord très peu dilTércnlo de celle qui correspond à une solution périodique, s'en éloigne peu à peu, et après s'en être écartée beaucoup finit par s'en rapprocher asymptotiquement.

L'existence des solutions doublement asymptotiques est un point d'une démonstration très délicate et qui m'a donné beaucoup de peine. En efiet, les séries (3 bis) ne convergent que pour les valeurs de t négatives et très grandes, les séries (3) pour les valeurs de t ])ositives et très grandes. Il y a généralement un intervalle où aucune des deux séries ne converge.

Divergence des séries.

Les considérations qui précédent peuvent jiermelire délablir que les séries habituelles de la Mécanique céleste sont divergentes; ce n'est pas qu'elles ne

puissent néaainoins élre ulileineiU employées; en ellel, il peut arriver que les Icrnu's d'une série décroissenl ilabord 1res ra|)ideiiieal pour croilre ensuite indélininienl, cl par conséquenl que celle série, quoicpie divergente, puisse servir à représenter une fonction avec une approximation très grande, mais non indélinie. Tel est le cas de la série célèbre de Stirling et de quelques développements usités en Physique mathématique. Tel est aussi celui des séries de la Mccanicjue céleste, et l'approximation qu'elles fournissent est très suffisante pour les besoins de la pratique. Ce que je veux dire de leur divergence n'est doue pas une raison pour en proscrire l'usage.

Les séries de M. Lindstedt ne peuvent pas converger uniformément pour toutes les valeurs de la constante d'intégration qui y entre; on démontre, en ellel, que, s'il en était ainsi, il n'y aurait pas de solutions asymptotiques.

Je prendrai comme second exemple certaines séries dérivées des séries (3) et (3 bis). La série (3) converge; mais nous avons vu que ses coefficients peuvent eux-mêmes se di'velopper en séries convergentes dont les termes sont rationnels en y/,a; quand on a fait ce développement, la série (3) reste encore convergente.

Supposons mnintenanl cjue Von développe ces fonctions rationnelles de y/fJt suivant les puissances de yZ/J., ce développement est possible pour chacune d'elles. Mais si l'on ordonne ensuite la série (3) suivant les puissances croissaules d<! y/;j., la série ainsi obtenue devient divergente; on démontre, en effet, que si elle convergeait, toute solution asymptoti(|ue serait doublement asymptotiqiie, ce qui n'a pas lieu.

Le développement auquel on parvient de la sorte et qui, bien que divergent, peut rendre des services au même lilrc; cjue ceux de M. Lindstedt, se met sous forme élégante si l'on élimine t el A entre les quatre étjuations (3) par les régies ordinaires du calcul. On Irouve, en ellel, que .7'i et a-j s'expriment eu séries ordonnées suivant les puissances de y/;-/, et suivant les sinus el cosinus

des multiples de — et ■ "•

Non-existence des intégrales uniformes.

Les équations (i) admellent une intégrale qui s'écrit

F(xi, x-i, vt, y-i) = C; c'est l'intégrale des forces vives; le premier membre F est uniforme par rap|jort

à Xi, X',, yi et y.,, périodique de période 271 par rapport à ji et y^, développable suivant les puissances de [j..

Je dis qu'il n'y a pas d'autre intégrale de la même forme; c'est-à-dire que les équations (1) ne peuvent admettre une intégrale

<P{Xi, X,, jKi, j-2) = G

distincte de la première et où <t soit périodique en yi et j-.,, développable suivant les puissances de /j., et uniforme pour toutes les valeurs réelles de yi et j'o, pour les valeurs suffisamment petites de [j. et pour les valeurs de Xi et de a?2 comprises dans un certain domaine.

On démontre, en eflel, que, s'il en était ainsi, les séries de M. Lindstedt convergeraient. Ce résultat est d'ailleurs susceptible d'être généralisé de diverses manières.

Formes des orbites.

On peut se proposer de dessiner les orbites correspondant aux diverses solutions particulières dont je viens de parler, et j'ai l'intenlion de revenir sur ce point dans un autre article. Pour cela, le mieux est de considérer deux axes mobiles, à bavoir : la droite AB et une perpendiculaire à AB menée par lo centre de gra\ ité du système, et do chercher à dessiner la trajectoire relative du corps G par rapport à ces axes mobiles.

Dans le cas des solutions périodiques, celte orbite relative est une courbe fermée; dans le cas des solutions asymptoliques, c'est une courbe en spirale se rapprochant asjmplotiquement d'une courbe fermée. 11 convient d'ajouter que les diverses spires se recoupent mutuellement.

Considérons une orbite fermée correspondant à une solution péiiodique et les deux séries d'orbites asymptoliques alTérenles à celte même solution. Par un point M du plan passeront, en général, une ou plusieurs orbites asymptoliques do la première série, ainsi qu'une ou plusieurs orbites de la deuxième série. Soit Ti une orbite de la première série passant par M; soit p l'angle sous lequel elle coupe une orbite T^ de la deuxième série passant par M. .Si p est nul, les deux orbites se confondent en une seule el deviennent ainsi doublement asymptotiques; il y a une infinité de points pour lesquels il en est ainsi.

Mais, en général, |3 n'est pas nul; cependant, si la masse /-t esl regardée comme un infiniment petit du premier ordre, on démontre que, parmi les angles p (sous lesquels Ti coupe les diverses orbiles asymptoliques de la

deuxième série qui passent par M), il y en a un qui est infinimenl petit d'ordre inlmi; je veux diic <|u'il est du mriue ordre de grandeur que

l'exponentielle e '•''', a élanl une constante positive.

11 est encore un autre point sur liiquel je désire attirer l'altenlion.

Les séries ['6) ne eliangent pas, si j'y change A en Ae^+^ et < en < + T; si donc on change A en Ae*', l'orbite asyniplolique correspondante ne change pas; la seule dillerence est que le mobile G |>asse en un même point de cette orbite à des époques difl'érenles.

Ainsi les valeurs suivantes de hi constante d'intégration A, Ac"^'^, Ae^-*^, Ae*^*^, . . . correspondent à une seule et même orbite asymptoliqne.

11 est donc toujours permis, s'il ne s'agit que de définir cette orbite, de choisir la constante A entre i et e^^.

Cela posé, considérons n orbites doublement asymplotiques quelconques; pour des valeurs suffisamment grandes de <, les équations de ces orbites pourront se mettre sous la forme (3). A ces n orbites correspondront n valeurs de la constante A que j'appelle A,, A.j, ..., A„ et que je puis toujours supposer comprises entre i et e"'.

Pour des valeurs de t négatives et très grandes, les équations de ces mêmes orbites (en changeant au besoin l'origine du temps) pourront se mettre sous la forme (3 bis). A ces n orbites correspondront alors n valeurs de la constante B que j'appellerai Bi, Bo, . . ., B„ et que je pourrai toujours supposer comprises entre i et e".

Et bien, ce qu'il importe de remarquer et ce qui met bien en évidence la complication du problème des trois corps, c'est que si Ai, \.,, ..., A„ sont rangés par ordre de grandeur croissante, les constantes, B,, B^, ..., Bn seront, en général, rangées dans un ordre tout dilTérent.

Invariants intégraux.

Une notion nouvelle, celle des invariants intégraux, m'a (''lé très utile pour démontrer les résultats qui précédent. .le me bornerai ici à énoncer quelques propositions saillantes relatives à cette théorie.

Considérons le problème des trois corps; pour définir la situation du système, nous nous donnerons dix-huit vari.ibles : ce seront d'abord les trois coordonaées Xi, x-j, x., du [jrcmier corps, les projections ji, i^., y.i de la

quantité de moiivemenl de ce premier corps sur les trois axes. Ensuite a:.,, x-,, Xe, }'.\, y-aj }'6 seront les quantités analogues pour le deuxième corps, a";, x^, ^'ji Vn '85 J'u lës quantités analogues pour le troisième corps.

Nous envisagerons alors neuf points dans un plan que j'appellerai M,, M^, ..., M,j et dont les coordonnées seront respectivement (xuj't), {X'2,yi), ■■■, (x.j, j'a). Gela posé, considérons une solution des équations différentielles du mouvement dépendant de deux constantes arbitraires a et p. Alors les Xi et les y; seront des fondions du temps /.. de a et de p. Soit ,'jt. le point dont les coordonnées sont a et p; si le [)oint jj. reste intérieur à une certaine aire ff, les points iMi, M>, . . ., M.„ resteront intérieurs à certaines aires Sj, So, ..., .S,j. Ces neuf aires se déformeront et se déplaceront, puisque les coordonnées du point M, dépendent non seulement de a et [3, mais encore du temps t; mais la somme algébrique de ces neuf aires demeurera constante. Il est à peine utile de faire observer que certaines de ces aires pourront avoir des parties positives et des parties négatives; c'est ainsi que, au point de vue analytique, l'aire totale de la lemniscale est nulle parce qu'une des boucles doit être regardée comme positive et l'autre comme négative.

Supposons maintenant f|uo l'on envisage une solution ne contenant plus qu'une seule constante arbitraire a. Si celte constante a varie depuis a,, jusqu'à 3(|, les neuf points M,, Mj, ..., INI,, vont décrire certains arcs ),i, Xo, ..., ).;i qui se déplaceront et se déformeront avec le temps, puisque les coordonnées de M, dépendent non seulement de a, mais encore de t. Soit U,-

l'intégrale / (2x1 dyi-\- y/ dxi) prise le long de l'arc /.,. U,- sera une fonction

du temps puiscjue l'arc )., se déplace. Soit c„ la valeur de la constante des forces vives correspondant à y. =^ a,,, et C| la valeur de la constante correspondant à 3£ --= aci, on aura

Iv étant une constante indépendante du teuips.

Stabilité.

Revenons au cas particulier dont nous nous sommes occupés presque exclusivement dans ce travail. Dans ce cas, MM. Hill et Bohlin ont démontré que le rayon vecteur CA. ne peut croître au delà de toute limite; mais il reste pour établir complètement la stabilité un dernier point à démontrer. Il faut faire n. p. — vu. 62

.{yil SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS.

\(iii' que les Irois corps se rclroiiveionl unu inlioité de lois aussi près c[u'oii voudra de leur position initiale.

L'esisloiice nièine des sohilioas asyinptotiques montre suffisamment qu'il existe une inlinilc^ de solutions particulières qui ne satisfont pas à cette condition. Mais, d'autre part, j'ai démontré, par la méthode des invariants intégraux, qu'il v en a aussi une infinité qui y satisfont. On peut d.mc, à ce point de vue, dire qu'il y a une infinité de solutions particulières instables, et une infinité de solutions narti<iilières stables.

Mais il V a plus, on peut dire que les premières sont l'exception et que les secondes sont la règle, au même titre que les nombres rationnels sont l'exception et que les nombres incommensurables sont la règle. Je démontre, en eliet, que la probabilité pour (|ue les circonstances initiales du mouvement soient celles qui correspondent à une solution instable, que cette probabilité, dis-je, est nulle. Ce mot n'a par lui-même aucun sens : j'en donne dans mon Mémoire une définition précise que je ne crois pas utile de reproduire ici; mais je dois ajouter que le même résultat subsisterait, quelle que soit la définition adoptée, pourvu qu'il n'entre dans cette définition que des fonctions continues.

Comptes rendus de l'Acndrinie des Sciences, t. Il'i, p. i.io5-i3og (7 juin 1892).

Dans une Gomimuiicaliou que j'ai eu l'iiunneur de laire à l'Académie, il J a quelques années (C /.'. Acad. Se, t. 108, p. 21) ('), j'ai exposé la uiélhode de M. Lindsledt sous une forme nouvelle, fondée sur les principes des Vorlesungeti liber Dynamilx.

l^e but de la présente Note est de montrer d'abord (jue cette méthode peut être appli(|uée à l'étude des variations séculaires des élétiicnts des planètes, mais qu'elle ne peut, sans modification, s'étendre au problème des trois corps, et quelles sont les un)di(ications à faire pour ijne cela devienne possible.

Voici les notations que j'adopterai; je rapporterai la première planète au Soleil, et la seconde au centre de gravité du système formé par le Soleil et la première planète. Je désigne par /ji, (3 et |3' trois coefficients dépendant des masses : le premier très petit, les deux autres finis.

J'appelle a le demi-grand axe de la première planète, sincp l'excentricité, / l'inclinaison, X la longitude moyenne, 0 la longitude du nœud, ro celle du périhélie, et je pose A =: (3 \Ja ;

sin ~ snicr,

Ç = ?. \J\ sin - C0ST7!, r, = — a \/A

p = 2 y/A coso sin - cusU, q = — 2 y/ A coss sin - sinU.

(') Œuvres de II. Poincaré, ce Tome, p. 5ji.

49» l'application de la méthode de m. lindstedt.

Je désignerai les élémoiils correspondants de h\ seconde plancle par les mêmes lettres accentuées, de sorte que nos douze variables seront les suivantes :

J'appelle /jlF l'énergie totale du système. F sera développable suivant les puissances de p., de sorte que j'écrirai

F = F„-i-;jiF,-i-;j:^F,-i-....

Fu ne dépendra que de A et A'; F\, Fu, . . . seront développables suivant les puissances des variables E, r;, p el q et suivant les cosinus et sinus des multiples de \ et de )/. Je désigne \\:\r W la viileur moyenne de F, considérée comme fonction périodique de ). et À'.

Si alors je désigne par Xi une quelconque des variables de la première ligne du tableau ( i ), et par j)',- la variable correspondante de la deuxième ligne, les équations du mouvement pourront s'écrire

ilxi rIV clyi (IV

Les fondateurs de la Mécanique céleste ont été conduits à envisager les

équations suivantes :

dxi dK dvi dK

Dans ces équations, nous ne désignons par j-, et >', que les \arinbles des quatre dernières colonnes du tableau ( i ). lî ne dépend ni de "/, ni de ),' et nous regardons momentanément A et A' comme des constantes. L'importance des équations (.'>) provient de ce qu'elles nous font connaître les plus considérables des variations que peuvent subir ?, r;, p, q, . . ■ , de ce qu'elles peuvent, en d'antres termes, nous fournir une première approximation pour le calcul des variations séculaires de ces quantités.

Pour rendre la méthode de la Communication citée applicable aux équations (3), il faut profiler de la petitesse des quantités £, rj, ... ; soit £ un coefficient très petit et posons

R devient développable suivant les puissances croissantes de i- et nous pouvons écrire

H = l'.oH- £-Ho-l-£'H4-l-. . .

l'application de la méthode de m. lindstedt. 493

et poser

K'= J^(K — Iîo) = ii\'>2-h c-;jiR,,-f-....

Prenons ensuite de nouvelles variables p,, w,- (t ^ i, 2, 3, 4) définies de la

façon suivante : i;, y), p, (]f, ... sont des fonctions linéaires convenablement

choisies des ^p,cosc.>, et dos \ p/sinoi,; le cliois doit être fait de telle façon

que Rj ne dépende plus que des p, et non des oj,. Les équations (3) deviennent

alors

Obis) —. = -—, — - = ,

f/t //oi, dt (l'^i

et la méthode de la Communicalion citée leur est directement applicable, puisque Pi' est développable suivant les puissances de £- et que R^ ne dépend pas des u,. D'où celte conséquence : les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons calculées par les équations (3) peuvent se mettre sous la forme d'une somme de termes périodiques. Lagrange et Laplace avaient démontré ce résultat en négligeant les cubes des excentricités; Le Verrier et Cellérier en en négligeant les cinquièmes puissances. On voit qu'il est vrai, quelque loin que l'on pousse l'approximation.

L'intégration des équations (3) mises sotis la forme (3 6«) revient à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles suivante :

(4) R ( —— , (0, j = const.

Je suppose que R ail été exprimé en fonction de p, et de oj, et que p, y ait été ensuite remplacé par la dérivée correspondante —r- de la fonction inconnue T.

' ' ' f/to,

La méthode de la Communication citée nous fournit une intégrale de l'équation (4) dépendant de quatre coustantes arbitraires V,. Si Ton pose alors

on peut considérer les équations (5) comme définissant un changement de variables, les variables nouvelles étant les V, et les c, et les anciennes les p, et les co,. [.e théorème de Jacobi nous apprend alors qu'on obtiendra les intégrales

des équations (3) en égalant les V, et les — à des constantes.

Passons maintenant au problème des trois corps pro[)renienl dil, c'est-à-dire aux équations (2). Pour que la méthode de M. Lindstedt telle que je l'ai

494 l'application de la méthode de m. lindstedt.

esposce fût applicable à ces liqiialions, il faïulrail que 1"„ tlépondil à la fois de tous les r,; elle le serait encore sans modification sensible bien que F,, ne dépende que de A el A' et nou de tous les ,r,. si F était périodique par rapport aux yi el si R ne dépendait pas des j',.

Ces conditions ne sont pas remplies d'elles-nièines, mais on peut arriver à y satisfaire par un clianf^ement de variables convenable.

Reprenons les variables V,- el c, définies par les équations (5). Soient ensuite lo et }/, deux variables nouvelles telles que

ij; el i\i' étant deux fonctions convenablement choisies de A, A', V/. r,. Prenons alors pour variables nouvelles

{ Aï, A2, (>/.

Les équations conserveront la forme (:?), à la condition que x/ désigne une variable quelconque do la prc^miére lij,medu tableau {6)ely/ la variable correspondante de la seconde ligne. F,, ne dépend encore que de A el A', mais F est périodique par rapport aux r, et R ne dépend pas desj)',. La méthode est donc applicable.

Une difficulté subsiste encore cependant. Cette méthode nous permet de développer nos inconnues suivant les puissances de /j.; mais les coefficients de ce développement contiennent des termes qui ont au dénominateur certaines puissances des excenlricités; la méthode pourrait donc devenir illusoire si les excentricités étalent très petites, comparables par exemple aux masses ou à leurs racines carrées.

L'origine de celle difficulté est la suivante. Jai dit que F est développable suivant les puissances des ^, yi, /j, 7, ... ; de plus F contient des termes du premier degré par rapport à ces variables. Si ces termes du premier degré n'existaient pas, on n'aurait pas à craindre de voir apparaître des puissances négatives des excentricités.

.l'ai donc été conduit à faire dans certains cas un changement de variables préalable. Mes variables nouvelles s'appelleront

, . ( Al, A',, Ç,, r, , /), p',

' Ài, X'i, T|,, -fi'i, fj, rj',

et je choisirai ces variables de telle sorte :

i" que les équations conservent la forme (2);