AB AC KC
On sait qne les équations du mouvement peuvent s'écrire
d'-xi dV
al- dXi ou encore sous la forme canonique
dx^ (IV '!y± - 'Jl
dt i/j i dt dxi
On ne restreint pas la généralité en supposant le centre de gravité fixe, et l'on peut profiler de cette circonstance pour abaisser le nombre des degrés de liberté. Cette réduction peut s'opérer de plusieurs manières. Voici les deux manières qui ont été proposées :
1° On peut faire le changement de variables que j'appellerai (y) et qui est le plus usuel. Il consiste à poser
Ou j — ut j " Oui ï " *' ■ — -î- ■> "S I ^ Tt ~~~ '-*' " 0C<^ •
"C't — Xi— X-,, x'-^ — x-^— .r,,, ^'0 = Xt,— a-,, , dx'i
Les équations ne conservent plus alors la forme canonique; mais elles deviennent
dx'i
~di
dx\ di
df.
- dy; '
AB
„ ^ri T.- />i,rn; inAttii-h m-:) m,nii, , , , , , ,,
^"-=Zt7;rr ^^' Bc — ^ ^j^,ix,x,^x,x,+x,x,).
2" On peut faire le changement de variables que j'appellerai ((3), et qui consiste à poser (en appelant ïi, Eo, cj les coordonnées du centre de gravité des deux corps A et C),
X j ^^ X i — X-^ j X t, — X-2 X]{y X ^ — ^3 — X'jf
x\ = Xi, — Çi, X-,=^X-„ — %ii Xf^^Xf, — Ç:j,
. dx:
•" ' dl
irtii ni] + m-) m, -+- nii-h m-,
Les équations conservent alors leur forme canonique et s'écrivent
dx'i dF dy'i ^ F —V ■'*''" II
dt dy\ dt dx\ ^ 2 m\
La forme des intégrales des aires n'est pas mm plus altérée.
Le changement ((5) paraît donc très avantageux, mais cependant il n'a pas été adopté jusqu'ici dans la pratique, sans doute parce que la forme de la fonction perturbatrice y est plus compliquée.
3° C'est pourquoi je crois devoir appeler l'attention sur un troisième changement de variables que j'appellerai (a). Posons
Xi = Xo— Xi, X- = X3-
x\ = Xi — .x-:,
X's = Xi—Xs, x'6 = Xc-
-Xo,
.'■/ = "îi
Avec ce changement de variables :
i" la forme canonique des écpialions ne sera pas altérée;
2" la forme des intégrales des aires ne sera pas non plus altérée;
3" la fonction F deviendra
p ^y ill u , ..>''i.K+ r'2.r'ii-t-j-V)i
en posant, pour abréger,
, ln^m^ , mi,m-,
irii
La forme de la fonclion perliirbalrice esl donc loul aussi simple que dans le cas du changemenl de variables (y).
Pour mieux nous en rendre compte, exprimons tout en fonclion des éléments osculaleurs. Soient
les équations du mouvement elliptique, oùa;i, x-^^ Xj désignent les coordonnées rectangulaires du point mobile, i l'anomalie moyenne, 0 la longitude du nœud, ^4-0 celle du périhélie, et où, a, e, «désignant le grand axe, l'excentricité et l'inclinaison, on a
L = ^/r/, G = \/a(i — e'^), 0 = Gcosj.
Posons alors (en appelant |3 et (3' deux coefficients)
^\ = °i(i-), x'.2=ft{h), a;'3=ïi3(L),
-^'* " u di ' y"" - uTi ' •^'' ~ ïjdi '
-'''* - L':' dï ' ^' " V-' dl' ' •''""" L'-' dl' '
Dans les équations de la première ligne, les fonctions cp dépendent des six variables L, G, 0, /, g', 0; dans celles de la seconde ligne, elles dépendent de six variables analogues L', G', 0', /', g', 0'. Ces équations définissent ces douze variables que l'on peut appeler les éléments osculaleurs cl qui sont très peu différents sans être exactement les mêmes avec les trois changements de variables (x), ((3) et (y).
La forme canonique des équations n'est pas altérée par ce nouveau changemenl de variables. On a d'abord
M dF dh d¥
dt ~ (i d\. ' 'di ~~ [1,dl'
ainsi que deux équations analogues que l'on obtient en changeant L et / en G et g, et deux autres qu'on obtient en changeant L et / en 0 et 9.
Avec le changement de variables (y), il faut, dans ces six équations, changer
en Fi.
On a ensuite
dV __ dP dV g^F
dt '(J dV dt ji' dl
ainsi que deux équations analogues que l'on obtient en changeant L' et l' en G' et g\ et deux autres que l'on obtient eu changeant L' et /' en 0' et 0'.
Dans le cas où Ion adopte le changement de variables (y), il faut dans ces six équations remplacer F par Fj.
Il convient de prendre : avec le changement (a) :
V' //il -H m-i \ m i -h «!7
avec le changement ((3) :
"'!"'; , , / m, ( TO, -H /«; )
\Jm^ -h m- y
ni] -h nii-h m-,
avec le changement (y) :
p = mi \Jmi -\- m-, '(,' — m.» y'mt -i- m-,.
II est aisé alors de comparer la forme des différentes fonctions perturbatrices. Pour cela, je poserai, pour abréger,
et je supposerai i]> exprimé en fonction des douze éléments osculateurs.
La fonction perturbatrice se composera alors d'une partie principale — 'S qui sera la même avec les deux changements (a) et (y), et d'un terme complé-
Çi'fi' d-'\i , , . / \ n^i wii d'^ 'Il r^
mentaire qui sera — tttti ,, ),, avec le changement (x), —=-y- rjrr pour r i avec
^ mjL'L' dl dl ° ^ '' L"' <r//- ^
le changement (y), ! ^. -~- pour Fj avec le changement (y).
On voit que ces trois termes complémentaires peuvent se déduire facilement de l'un d'entre eux.
