SI R

Bulletin Astronomique, t. l'i, p. 53-(J7 (février iSg-).

Soient A, B, C les irois corps; soient Xi, x,, x-^ les coordonnées du point A; X-,. X;, x^ celles du point B; x-, Xf,, Xv, celles du point C.

Pour plus de symétrie dans les not:ilions, je désignerai indifféremment la masse du corps A par 7?(i, m-i, m;, ; et de même la masse du corps B par m,, tn-„ ou TOo ; et celle du corps C par m-,, m^ ou nia.

Je poserai

rt'.r,

de telle façon que par exemple ji, y-, et y., soient les composantes de la quantité de mouvement du corps A.

La force vive T sera alors

^ 2 \dt I jLJ inii

D'autre pail, si Ton choisit les unil'is de telle façon que la constante de

Gauss soit égale à i . la fonction des forces U s'écrira

, m, m-, Dit '11- m,m-

('j t.e Mémoire est rejiroduit dans le Tome 1\ des Ai'la Miitlirniiiliva, p. 83- 17.

SUR UNE FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DU PROBLEME DES TROIS CORPS. 5oi

Si nous posons F^T — L'. la fonction F dépendra des x et des y et les équations du mouvement pourront se mettre sous la forme canonique

dxi r/F dvi dF

('^ -dF = d7r -dt=--d7, f' = ',^, ■••>9)-

Supposons maintenant que Ton change de variables et soient x\ , y\ {i = i, 2, . . . , 9) les dix-huit variables nouvelles. Quelle est la condition pour qu'après ce changement de variables les équations conservent la forme canonique ?

La. condition nécessaire el siiffisnnle est que —x\ dy\ — Ixidy, soit une différentielle exacte ( ' ).

Si cette condition est remplie, les équations deviendront

(ibis) dj^^dV dy\ ^ d?

*■ ' " ^ dt dy'. ' dt dx'i '

Examinons en particulier le cas où les x\ sont des fonctions linéaires des x-, et les >'î des fonctions linéaires desj,.

La condition précédente peut alors s'énoncer d'une autre manière : la condition nécessaire et suffisante pour que la forme canonique des équations ne soit pas altérée est qu'on ait identiquement (2) lLy\x\ = 'î.yiXi.

Faisons une hypothèse plus particulière encore et supposons :

i" Que

dépendent seulement de X\, Xi, x^ Xi, Xi, Xn

» y-h y^, .ih

» y^; yn, y->

2" Que les relations linéaires qui lient x',^, x',^, xi à Xo, x-^^ Xs, et celles qui lient x',, Xj. x'., à x.;. x^, x,, soient les mêmes que celles qui lient x\, x\, x. à

3° Que de même les relations linéaires qui lient >',, y'^, y'^ à ra, Xt-, y» et celles qui lient >■',, y\.^, y',, à y.,, y,,, j',, soient les mêmes que celles qui lient j-',, r'i. Jt à ji, Jo Jt-

('J Voir aux Notes, Principes de Mécanique analytique.

Xi,

Celte Iroisièine hypothèse est d'ailleurs une conséquence nécessaire des doux premières et de l'idenlité (2).

Dans ces conditions, l'identité (2) peut être remplacée par la suivante :

(2 bis) y\a:'t-{-yia:'i-hrTx'T=yta:i-hyiX.',-^yTXT

Si en effet rideiililé (2 bis) a lieu, on en déduira une seconde en augmentant tous les indices d'une unité et une troisième en augmentant encore une fois tous les indices d'une unité. La somme de ces trois identités ne sera autre chose que l'identité (2).

Mais ce n'est pas tout : nous avons supposé que x',, x'^, x',^ sont liés à X:,, x^, Xg, par les mêmes relations que x\, x\, x\ àa^i, x^, x-,, ety'„,^'., y\ liés à j'o, fi^ ^81 par les mêmes relations que y\, y[, r', à yi, y,,, y-:.

L'identité (2 bis) subsistera donc quand on y changera

X,, Xi, Xt\ x\, x\, x\\ yt, ji, j, ; y\, y\, y\ en

Xj, Xf,, x.j ; .'fj, X,,, .r,j ; y^, y^, j's ; yï, y^,, y^i-

On aura donc

y'i a;'a -H y'i x'r, -h r's x',, = jo Xs -h /5 Xt, + y s X.) et de même

.1= ■^'■z -+- Je ■'•■'•; -+■ }''■] ^'s = rs ■'^i -+- 76 a^s +79^8 et en retranchant

y', x'. — y', x', + j-5 x'^ —y'^ x'. H-j's x',^ —y\, x'^ =/» x^ —y, x~ +,K5 x^ —yo Xs -t-Js Xg —y^ x^.

Or le second membre n'est autre chose que le premier moment de rotation du système, qui doit être constant en vertu de l'équation des aires. On voit que l'expression de ce moment de rotation en fonction des x et des j^' a la même forme que son expression en fonction des x et des y.

La forme de V équation des aires n^est donc pas altérée par notre changement de variables.

Premier exemple. — • Nous satisferons à l'identité (2 bis) en faisant

y<=7'i; >'t = r'»> Xt = x't, Xi — x., = x\, Xi — XT = x\,

r'7=ri-^.n+/T

Ce changement de variables, dont nous ferons un fréquent usage dans la suite et que nous appellerons le changement (a), a une signification géométrique, très simple.

SUR UNE FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. 5o3

Les variables nouvelles x\, x\, . . ., x',^ sont les coordonnées relatives des points A et B par rapport à des axes mobiles passant par le point C.

, — , — ces deux points A et B.

Les variables —, —, . . ., -i-A sont les composantes des vitesses absolues de m, m-. me *

Deuxième exemple. — Un deuxième exemple qui ne diffère pas essentiellement du premier est le suivant :

OC 1 — JC 1 "~"~ '*' 7 1 "' K — ^ i "''7 1 "^ 1 — "■ ~ 3

■>'! = ■>'' - „, -4- „; -^ ,„ ' •> * = ■>'' - ,„ -4, ,„ -4- „, ' ■>'' = ri + 7* + /V-

J'ai dit que ce second changement de variables ne diffère pas essentiellement du premier, voici pourquoi :

On ne restreint pas la généralité en supposant que le centre de gravité du système est fixe, c'est-à-dire que

Si l'on fait celte hypothèse, les valeurs de x',, x\, y\, y\, y\ sont les mêmes dans les deux systèmes; les valeurs de x\ seules diffèrent; mais cette différence n'a rien d'essentiel. La fonction F dépend en effet des différences des coordonnées des trois points A, B, C. Elle dépend donc de x\ =^ x, — x-, et de x\ = X.; — X-; ; mais elle ne dépend pas de x',,

Troisième exemple. — Avec le troisième exemple je retombe sur un changement de variables connu et que j'appellerai le changement ((3). Soient

m\ = ni 2 = /?!,, m\ = m'--, = m'f, /«, = m'a = m',j,

trois coefficients constants analogues aux masses. On voit que, pour conserver la symétrie des notations, je représente indifféremment le premier de ces coefficients par m\, mV ou m', de même que j'avais représenté indifféremment la masse du corps A par m^ , m^ ou m^.

Soit

dx'.

Dans ces conditions, les y\ sont liés aux yi par les mêmes relations que les

DO.'i SUR UNE FORME NOUVELLE DES EQUATIONS DU PROBLEME DES TROIS CORPS.

m\x\ aux niiXi et les identités (2) et (2 bis) peuvent être remplacées parles suivantes :

(3) ■Zm\x';-=l.mix],

(3 bis) m\ x'f + m'; x'^ ■+- m'- x'-f = mi.r ; + »i; .r; -1- m-x^.

L'idontit(^ (3) nous montre eu outre que la force viveT, exprimée en fonction des nouvelles variables, s'écrira

m', l dx\ \ - •^ j "j -

Ainsi, non seulement avec le cliangemont de variables (jj) la forme canonique des équations n'est pas aliérée de même <[ue la forme des intégrales des aires, mais il en est de même de la forme de l'équation des forces vives.

Il reste à voir comment on pourra satisfaire à l'identité (3 bis). Cela peut se faire d'une infinité de manières. Voici celle qui est ordinairement usitée et que nous adopterons.

Soit G le centre de gravité des trois corps; D celui des deux corps A et C.

Nous appellerons x'-. x\, x',, les coordonnées du point G; E, yî, Ç celles du point D et nous poserons

x'i = X, — Xt, x\ = Xi — J,

de telle sorte que x\, x'„, x'. soient les coordonnées du point A par rapport à des axes mobiles passant par le point C; et x\, x';,, x',^ celles du point B par rapport à des axes mobiles passant par le point D. Nous poserons d'ailleurs

m\m- mi,i m\-\- m-,^ ,

mt -h ni: m, -h /II, -h /II-;

Les propriétés du changement de variables ((3) ainsi défini ont été étudiées par M. Radau {Annales de l'Ecole Normale, i"' série, l. V).

Les deux changements de variables («) et ((3) ont d'ailleurs en commun la propriété de ne pas altérer la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires; de plus, ils permettent d'abaisser de 9 à 6 le nombre des degrés de liberté.

En effet, dans l'un et l'autre cas, la fonction F ne; dépend que des )' et des six premières variables x\ ; mais elle est indépendante de a;'., x\., et x'.,. D'autre part, on ne restreint pas la généralité en supposant le centi'C de gravité fixe, ce qui entraîne les égalités

, dx'-

■ dt

X'., = X2— Xx,

x\ = Xi—Xt,

SUR UNE FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. 5o5

Si l'on annule donc y'-, y\^ y'.,, F ne dépend plus que des douze variables ar^ ety'j (/= I, 2, . . . , 6) et les équalions (i bis) peuvent s'écrire

dx] dF dy\ dV , .

(i ter) — L = — , -V- = T-r (;= i, s, ....<, >.

"- ' dt dy\ dt dx\ ^ ' '

avec six degrés de liberté seulement.

Méthode usuelle.

Malgré les avantages que présente It; cliangenienl (p) et bien qu'il soit connu depuis longtemps, on sait qu'il n'est pas le plus usité dans la pratique. On lui préfère d'ordinaire un changement do variables que j'appellerai le changement (y) et dont lus propriétés sont Inin d'être aussi élégantes. On pose

m'- x'- = /«i X\ -H m^x, ■+- in-x-,

dx'.

m'. = nii (i = I, 2, ..., ()), y. = ni'i -^ (/ = i, 2, . . ., 9).

On voit que t., x', , x',, sont les coordonnées du centre de gravité G; que x\, x'.-,, x',, x\, x'., x\^ sont, comme dans le changement (a), les coordonnées relatives des points A et B par rapport à des axes mobiles passant par le

point C. Mais les variables -- ( j = 1 , 2, . . . , 6), au lieu de représenter, comme

dans le changement (a), les composantes des vitesses absolues des points A et B, représentent les composantes des vitesses relatives de ces deux points par rapport aux axes mobiles.

Il est aisé de voir que le changement (y) ne satisfait pas aux identités (2), (2 bis^, (3) et (3 bis)\ il ne conservera donc ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales dos aires.

Supposons cependant que le centre de gravité soit fixe; de telle sorte que y', := y'j, = y', ^ o ; on sait que les équalions pourront se mettre sons la forme suivante, que l'on pourrait appeler ^emi-canonf^Me :

dx'^ r/F, dy ,/F,

-dT^Wr -W=-d7, ('='''-'3)-

1 dx\ d?.. dy', ,[¥,

{-dT-^dy: -dT^^-M, (' = ..5,6),