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5o6 SUR UNE FORME NOUVELLE DES EQUATIONS DU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

OÙ

On voit en quoi les douze oqualions (4) dillerent des i^qiialions canoniques.

La fonction (jui joue le rôle do la fonction F n'est pas la même dans ces douze oqualions; elle est égale à Ff dans six d'entre elles et à F^ dans les six autres. C'est ce que l'on exprime quelquefois en disant que la fonction perturbatrice n'est pas la même pour les deux planètes.

JBlimination des nœuds.

Ce qu'on doil appeler Yorbite osculatrice du point A ou du point B n'est pas la même chose suivant (|ue l'on adopte le changement (a) ou l'un des changements (p) ou (y).

Dans l'hypothèse (a), le plan de l'orbite A passe par la droite AC et par la vitesse absolue du point A et le plan de l'orbite de B passe par la droite BG et par la vitesse absolue du point B (je suppose toujours le centre de gravité lise).

Dans l'hypothèse ((3), i(! plan de l'orbite de A passe parla droite AC et par la vitesse relative du point A par rapport à C; le plan de l'orbite de B passe par la droite BD et par la vitesse relalhe du point B par rapport à D.

Dans l'hypothèse (y), le plan de l'orbite de A passe par la droite AC et parla vitesse relative du point A par rapport à C; le plan de l'orbite de B passe par la droite BC et par la vitesse relative du point B par rapport à C.

Nous avons vu cpie les changements (a) et ((3) conservent la forme des intégrales des aires, mais il n'en est pas de même du changement (y). 11 en résulte une importante propriété des orbites.

Dans l'hypothèse («) comme dans l'hypothèse ((3), l'intersection des plans des deux orbites est dans le plan invariable, mais il n'en est plus de même dans l'hypothèse (y).

Il semble que tous ces avantages auraient dû faire substituer le changement ((3) au changement (y). Si l'on ne l'a pas fait, c'est sans doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu plus co-mjiliqué dans l'hypoihése ((3). C'est pour cette raison que je crois devoir attirer l'attention sur le

changement (a) qui n'a pas encore été proposé, qui n\iUere ni la forme canonique des équations^ ni la forme des intégrales des aires et qui conduit il un développement de la fonction perturbatrice tout aussi simple que le changement ((3). C'est ce dont nous nous rendrons mieux compte en comparant dans les trois cas la l'orme du développement.

Mouvement elliptique.

Soit une masse mobile m attirée par une masse fixe M située à l'origine, son mouvement sera képlérien.

Soient a, e, i, /, «' + 6,. etO le demi-grand axe, l'excenlricité, l'inclinaison, l'anomalie moyenne, la longitude du périludie et celle du nœud. Soit

L = \/(7, G = \Ui{ I — <?'-), e = G cos/.

Nous pouvons exprimer les trois coordonnées Xi, x^, x,, de la masse mobile m en fonction des six variables, L, G, 0, /, ^, 0; écrivons donc

.t-, = <f,(C, G, e, /, é-, 8) (i=i, ?, 3). Posons d'autre part, en appelant /; le moyen mouvement,

y, = m — — = nin —j-r = — ; fr •

■' f/t lit \? i/l

Les fonctions cp, jouissent de deux propriétés qui nous seront utiles dans la suite; elles satisfont d'abord à l'intégrale des forces vives

D'autre part, l'expression

Zy il.r — m v^M ( L tll + G f/^ -H 6 (/O )

est une dififérentielle exacte.

Emploi des variables képlériennes.

Considérons les variables x\ et y'.^ i^iz=^\, i. .... 6) définies par l'un des trois changements (a), ((3) on (y); nous allons faire un nouveau changement de variables en remplaçant ces douze variables par douze variables nouvelles

5oS SUR UNE FORME NOUVELLE DES EQUATIONS DU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

Ces douze variables nouvelles seront définies de la manièie suivante; nous

poserons

•^ * ~ 1.^ (Il

p chk {k = \, :>, 3),

!/■ dl'

Les douze variables définies par ces équations (5) pourront s'appeler variables képlérienncs, ou bien éléments osculateurs des deux corps A et B.

Il importe de reinarcjner que ces élcuienls osculateurs ne sont pas les mêmes selon qu'on adopte le cliangeinenl («) ou l'un des changements ((3) ou (y). J'ajouterai même c[ue, si l'on adopte l'un de ces changements, le changement (a) par exemple, la définition d(;s éléments osculateurs dépend encore du choix des deux constantes (3 et [3', choix que nous ferons dans la suite de façon à simplifier les équations autant que possible.

Dans tous les cas, les expressions

>•', dx\ -i- }'« dx'i -H j'n dx'- — p (L r// + G dg -^6 rf6), y'., d.r\ + y'^ dx':, "+- /f, ^A — y ( L' dl' -)- G' dg' -f- 6 VO' )

sont des différentielles exactes, de sorte qu'après ce nouveau changement de variables, les équations du mouvement conserveront la forme canonique dans les hypothèses (a) et ((3) et la forme semi-canonique dans l'hjpothèse (y). Dans les hypothèses («) et ((3) les équations s'écriront

dl'

'i dl

'fidl'

Dans l'hypolhése (y) elles s'écriront

,,.,., dl dF, dL dF, dl' dF« dV dF,

dt pdL dt <fidl dt p'</L' dl 'f,' dl'

Aux quatre équations (6), comme aux quatre équations (6 bis), il faut adjoindre celles qu'on en déduirait en changeant L, l, L', /' en G, g, G', g' et celles qu'on en déduirait en changeant L, /, L', l' en 0, 0, 0', 0'.

D'autre part, on aura

.rr

sjx';'-

■ Xi

Forme de la fonction perturbatrice.

Nous distinguerons dans la fonclion F quatre parties et nous poserons

Dans le cas ( y), en au lieu d'une seule fonction F on a à considérer les deux fonctions 1^ , el Fo, nous poserons

Le premier terme J\ (ou/j) sera le premier terme kcplérien; f-, sera le second terme képlérien, y'^, sera la partie principale de la fonction perlurl)atrice, f; sera la partie complémentaire de la fonction perturbatrice.

i" Dans l'hypothèse (ot), nous aurons

La m,

F = T-Li, T-<i-" -^--'- .-^y'^^^'^^'

Le signe S représente une sommalion s'élendaul aux trois axes de coordonnées, et je puis écrire également

\2 m , a/nj m-, j

en posant, pour abréger,

Je poserai

Si nous prenons

, //Il m-;

m lin-:

nti -h m-,

S ^'\ •im\