J' AB

m il» 7

fi' =

iiii m-

V /Kl -I- m-, ^'«(4+ n

les équations (7) donneront

/«i m- , III; m-

2" Dans l'hypothèse (|3), nous avons

5lO SUR UNE FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DU PROBLEME DES TROIS CORPS.

el nous poserons

, ç y,- III, m : ,■ >i .'T "'■■"':

Difiiii . iiiiinj m^my

Eu prenant

«ii«!7 r, — ^ ■ / OT, ( mi -(- m,

il viendra

j. in^m-, iiiiiih

3" Dans rhjpolhèse (y), nous poserons

/'=-/' = ^i7;i; Âc — '

En prenant

[î = nii \ iiti-h nij, [i'= m., v^mi-r- «(7, il viendra

«i,("'i -H '"7 I ,. y, mi{iiii-h hIt)

f'=f'= ^I^ ' ./■^ = /^ = JT^

Première approximation. — Nous regarderons la masse m-, comme finie et les masses irii et m, comme très petites du premier ordre. Dans ces conditions P et (3' sont d\i premier ordre, /, et /o sont du premier ordre; /s el /•, (comme /'j) sont du second ordre. On remarquera d'abord qu'aux quantités

près du second ordre, les valeurs ^^"^^ k'' ~^^ W'' sorties mêmes dans les trois

hypothèses (st), (p) et (y); à ce degré d'approximation, les équations difiérentielles auxquelles conduisent les trois hypothèses ne dilVèrenl que par les termes qui dépendent des dérivées de/,,,

Soit

(il = S x"'j j:\ = -/"'i 3:',^ -t- .r 2 .x'5 -+- jf'^ x\ .

La fonction b sera une fonction des douze variables képlériennes dont le développement est connu et d'ailleurs relativement aisé à obtenir.

Si l'on observe d'autre part que

, p d.c\ x\ I d'-x\ , fi' dx\ x',, i d- x\

SUR UNE FORME NOUVELLE DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. 5ll

on aura donc :

dans l'hypothèse (a), /'•, = ','"' . , „ ' , esaclement;

dans l'hypothèse (|3),/'/, = - - "'' ,'^* 1-^ aux quantités près du troisième ordre;

dans 1 hypothèse (y). /■, = rr. rrrr et /, = ;- rr ' exactement.

Tous CCS développements de/,, et de/!, se déduisent immédiatement les uns des autres. A ce degré d'approximation, les trois méthodes sont équivalentes au point de vue de la facilité du développement de la fonction perturbatrice.

D'autre part, si l'on ne lient compte que des perturbations du premier ordre, on n'est pas gêné par le fait que les équations (4) ne sont pas canoniques. Donc, à ce premier degré d'approximation, les trois méthodes se valent.

Deuxième approximation. — Mais il n'en est plus de même si l'on veut tenir compte des perturbations du second ordre; la forme non canonique des équations (4) devient alors un grave inconvénient; d'un autre côté, le développement de la fonction perturbatrice auquel il n'y a rien à changer dans les hypothèses («) et (y) devient très compliqué dans l'hypothèse ((3). Le changement de variables (a) que je propose prend alors un avantage marqué.

Il a toutefois son inconvénient propre, plus apparent que réel, au point de vue de l'osculation. Supposons que l'on veuille calculer la position de la planète A, par exemple, à l'aide des éléments osculateurs, à l'époque t. Si l'on définit ces éléments osculateurs comme on le fait dans les hypothèses ((3) et (y), les coordonnées ainsi calculées sont exactes à l'époque l. et pour l'époque ^ + e, l'erreur est de l'ordre de £-'. Si on les délinit comme dans l'hypothèse (a), les coordonnées sont encore exactes pour l'époque t; mais pour l'époque ^ + e, l'erreur est de l'ordre de e. Il ne faut pas s'exagérer cependant l'importance de cet inconvénient. Si s est comparable à la durée de révolution, l'erreur est du même ordre de grandeur que celle qui est due aux perturbations; elle est du même ordre dans tous les cas^ Si £ est très petit par rapporta la durée de révolution, la correction est extrêmement faible et déplus très facile.