SUR LA MÉTHODE DE BRUNS

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 123, p. 12^4-1228 (28 décembre 1896;.

On sail que Bruns a douioaUr que le problème des Irois corps n'adinel pas d'autre intégrale algébrique que les intégrales connues {Acta Malhemalica, t. il). L'importance de cette méthode, qui est certainement applicable à d'autres équations analogues, m'engage à signaler certains cas d'exception au théorème de Bruns et à rectifier certaines défectuosités de sa démonstration qui, heureusement, ne lui enlèvent pas sa valeur.

Bruns considère des équations de la forme suivante :

Les A,- sont des fonctions rationnelles des Xi et de s, et i est liée aux x,par une équation algébrique

Bruns montre d'abord (jue la reclierche des intégrales algébriques du

système ( i ) se ramène à celle des intégrales de la forme —75 où i|> et A' sont

deux poljnomes entiers par rapport aux y dont les coefficients sont rationnels par rapport aux x et à s. On peut toujours supposer (et cela bien que nous ne supposions pas les fonctions A,- homogènes) que ']i ne contient que des ternies d'ordre pair par rapport aux y, ou seulement des termes d'ordre impair.

Cela posé, Bruns montre que, si 'i/,, est l'ensemble des termes de '| dont le degré est le plus élevé par rapport aux y, on a identiquement

SUR LA MÉTHODE DE BRUNS. 5l3

OÙ u = 2to,j'i est un polynôme homogène du premier degré par rapport aux y dont les coefficients sont rationnels en x et s. M. Bruns cherche à démontrer que

(4) l.MidXi

est une différentielle exacte.

Dans le cas où les coefficients de tj;,, sont rationnels en .r et indépendants de s, la démonstration ne laisse rien à désirer.

Mais il n'en est pas de même s'ils dépendent de .?. Le raisonnement de Bruns (loc. cit., p. 3j et siiiv.) soulève des objections. 11 fait d'abord

j-.- = rt = -- ■ = ;•„= o;

le polynôme ']io se réduit à un polynôme '^921 ne dépendant que de y, et j',; écartant par un artifice parfaitement légitime le cas où t|;o2 serait identiquement nul, il écrit

.1;., = co/i + c,y1-'j-. -)-...-+- c,,y7,. 11 pose

désigne par 'F le produit des diverses valeurs de <]>' correspondant aux diverses racines de l'équation (2) en s. par H le dénominateur commun des coefficients de W, de telle façon que HW soit un polynôme entier en x et en }'. Il montre que

./H <r rfH >!•

De cette équation il veut conclure (p. 38) que

C'est là ([ue la démonstration est en défaut. Cela serait vrai si 'J/qo, et par conséquent HT, était homogène en .r, et en x^\ mais il n'en est pas ainsi. Bruns suppose, il est vrai, que les A,; et F sont homogènes en 37 et 5; cela lui permet de supposer que ij'o est homogène en xi, x.^, .... x,,- Mais alors, dio3 est homogène en a'i, jjo . . ., x,, et non pas en .ri et x^ seulement. Pour le rendre homogène en Xi ol .ro, il faudrait non seulement annuler }•,, V'i, . . ., Vin mais encore x.^, x-,, . . ., x„; mais alors la relation d'intégra-

bilité -T— ^ = -y— ^ ne serait plus démontrée qu'en supposant ces n — 2 variables

nulles.

5l4 SUR LA MÉTHODE DE BRUNS.

Au reslo, il est aisé de former un exemple où le théorème de Bruns est en défaut. Supposons que l'équation (2) s'écrive

A " — X 7 ~t" 3j ô — ûC 't •

Considérons le polynôme

( x\y.^ — x-iY^ y- — {x,r3 — .i--:.ri )- — (x-.y^ — XzVi y-,

qui satisfaite l'identité (3); il se décomposera en deux facteurs,

(xiji — yia:,){xi — .v'i) -\- (x«X3-^- xts){x,\:, — ytx-j) ol

.ï J Xîi^Xl — X^ )

Chacun de ces facteurs satisfera à l'identité (3) sans que l'expression (4) soit une dillerentielle exacte.

11 importe donc de rechercher les cas d'exception. Supposons d'abord n =^ 2 et regardons Xi et x^, comme les coordonnées d'un point mobile dans un plan, y^ el y^ comme les composantes de sa vitesse. Alors l'équation tj; = o représentera un système de droites dans un plan. Ces droites auront une enveloppe que j'appellerai E.

D'un point du plan, on pourra mener à celte enveloppe plusieurs tangentes

et le rapport 1'^^ représentera le coefficient angulaire d'une de ces

tangentes. Considérons maintenant le polynôme '% ; s'il ne d('pend pas de s, on retombera sur le cas où le théorème de Bruns s'applique; s'il dépend de s, on pourra trouver une quantité ct telle que ; 1" c' est rationnel en :r et 5; 2° 0- est rationnel en Xi, x^ et y' , y représentant le coefficient angulaire d'une des tangentes menées à E par le point X{, x^\ 3" les coefficients de 1]^" sont rationnels en r et a; 4" ai^'^ diverses valeurs de a correspondent autant de polynômes 'l/io différents.

Faisons décrire au point x^, x-2 un contour fermé imaginaire très petit, quelconque; il pourra arriver que deu\ ou plusieurs valeurs de a, ou que deux ou plusieurs valeurs de y' s'échangent entre elles; c'est la façon dont se fait cet échange qu'il s'agit de discuter.

Pour que des valeurs de t s'échangent, il faut que des valeurs de y' s'échangent et pour que des valeurs de 1' s'échangent, il faut que le point Xi. X-, tourne autour de la courbe E ou autour d'une tangente singulière à E;

SUR LA MÉTHODE DE BRUNS. 5l5

je veux dire une tangente d'inflexion ou une tangente en un point singulier. Nous restons donc en présence de deux hypothèses :

i" Le lieu des points où l'équation en cr (et par conséquent l'équation en s) a des racines égales comprend E;

2° Le lieu ne comprend pas E, mais comprend une tangente singulière à E.

Celte deuxièiue hypothèse doit être rejetée; c'est ce que montre la discussion de la façon dont s'échangent les diverses valeurs de j', de o- et de 5 quand le point x,, x-, tourne, dans le voisinage du point de contact, autour d'une tangente singulière à E, ou d'une des branches de courbe qui la touchent.

Ainsi E devra faire partie du lieu des points où l'équation (2) a des racines multiples.

Soit maintenant 11 = 3 et supposons que x,, x-,, x., soient les coordonnées d'un point mobile dans l'espace, y,, r. et jK;, les composantes de sa vitesse. L'équation 'l;,, rr^ o est alors celle d'un complexe de droites.

Si le polynôme ']>„ est exceptionnel, c'est-à-dire si ses coeflicieuts ne sont pas rationnels en x et s'il fait exception au théorème de Bruns, toutes les droites du complexe devront être tangentes à la surface, lieu des points où l'équation (a) a des racines égales.

Supposons enfin n quelconque. Ecrivons que l'équation en s (2) a des racines égales; nous obtiendrons une équation

qui pourra n'otrc pas irréductible, mais se décomposer en plusieurs autres

>]>,(.Ti) = n, ' (I>,( j,-,) = o, ..., 'l>iiiXi) = 0.

Considérons l'une de ces équations

'l)/,(.ri, a-o, . . ., x„) = i>, et formons l'équation en /.,

Exprimons f(ue celte équation en t a deux racines égales, nous obtiendrons une relation

B/,(Xi, y,) = n.

Il pourra se faire que &/, se décompose en plusieurs facteurs entiers enj»-,-, rationnels en x; l't en s. .S'il en est ainsi, chacun de ces facteurs sera un polynôme ij^n exceptionnel.

jl(> SUR LA METHODE DE BRUNS.

A chaque équation en s ne pourra donc correspondre iju'iin nombre fini de polynômes ij>o exceptionnels et irréductibles.

Ces polynômes exceptionnels n'existent pas toujours, car 0/, peut ne pas être dêcomposable en facteurs.

Qu'arrive-t-il en particulier dans le cas du problème des trois corps ? On peut former trois polynômes 0; l'un d'eux est

[{■r,~ Xi) (y^ — y,) — (x-, — Xi) (yi—yi)]-^ -i- [{x-.— Xi) (ys— Vo) — {xs— xe) (yi — yi)y- -l-[{xs — Xi) (yi — y,,) — (Xi — Xi) (y^ — y,,)]-^.

Chacun d'eux se décompose en deux facteurs; il y a donc des polynômes <]/„ exceptionnels, mais ces polynômes sont imaginaires. Or on peut toujours

supposer, sans restreindre la généralité, que l'intégrale X est réelle.

Le résultat de M. Bruns se trouve donc confirmé; je suis heureux d'avoir pu compléter son élégante analyse sur un point de détail.

SUR

Bulletin astronomii/ae. t. 14, p. 241-270 (juillet 1897).

Je désire attirer l'allention sur quelques procédés d'intégration par approximations successives applicables aux équations du problème des trois corps. Le but que je me suis proposé, c'est d'exprimer les coordonnées des astres par des séries dont chaque terme est une fonction périodique du temps et, par conséquent, d'éviter que le temps sorte des signes trigonométriques.

Un mot d'abord d'une notation que j'emploierai dans la suite. Considérons une fonction j de plusieurs arguments n',, Ho, ..., w,,, périodique de période 27: par rapport à chacun de ces arguments. Elle pourra être développée par la série de Fourier de telle façon que l'on aura ( I ) 9 = S A cos(ni|(ri -i- /niivo-i-. . .-h m,/W,/-i- C).

Dans le terme général de la série ( i ), A et C sont des constantes quelconques et les m sont des coefficients entiers positifs, négatifs ou nuls.

Parmi les termes de la série ( 1 ), je distinguerai celui où tous les coeflicienls m sont nuls: c'est un terme constant, c'est la valeur moyenne de la fonction périodique cp ; je la désignerai par la notation [ 9 ].

Préliminaires .

Je vais maintenant, pour diviser la difficulté, traiter successivement une série de problèmes, de plus en plus compliqués, de façon à m'élever jusqu'au problème des trois corps.

0i8 SUR l'intégration des équations.

Problème A. - Résoudre ['('■qiiMtion

<!• est uni' foiicliou connue pi^io(ii(|iie par rapporl aux ir.

S esl uue fonclion inconnue qui doit èlro périodique par rapport aux w.

G esl une constante incminue.

Les a,- soûl des coefticients constants donnés.

Soil, par la série de Fourier,

•1' = - A !■( p^ ( //i , ii>j -■- . . .4- m,i w,/ + D ), S = - B siii ( //(| ii'i -t- . . . + /)i,f ir.^-H E ).

Les A et les D sont donnés, et il s'agit de délerniiner C, les B et les E. Pour cela, il suflira de prendre C = [<!•], el, pour chacun des ternies de *I' autre que [<I»|, c'esl-à-dire pour chacune des couiljinaisons des coefficients ni, où tous ces coefficients ne sont pas nuls à la fois,

ii=r.,

//il <ii ■

Gela esl possible, pour\u i[u'aucun des diviseurs rn,ai + . , .-{- m,ja,j ne soil nul, c'esl-à-dire pourvu qu'il n'y ait entre les coefficients a aucune relation linéaire à coeflicienls entiers.

Problème B. — Soit F une fonclion développable suivant les puissances d'un paramétre 1res petit p. el dépendant de deux séries de variables

On aura donc

F = Fi, + ;j. F I -H u.- Fi + . . . .

Fo ne dépend que des x; les autres termes p.' F/, dépendent à la fois des x el des y, mais sont périodiques de période a7r par rapport aux i . Il s'agit d'intégrer les équations canonicjues

^^ <lt ~ dv,' dt " dx,'

L'importance de ce problème est évidente; à chaque instant, eu Mécanique céleste, on est amené à des équations do cette forme; je n'en citerai qu'un exemple; supposons que l'un des trois corps ait une masse nulle el que les deux autres décrivent deux circonférences concentriques, supposons enfin que les trois corps se meuvent dans un même plan. On arrivera précisément à

•fi

= J-,"-^[iX,'-l-;j.2j-,? + .,

. .= SiiPx/i,

, = y»^^yl^^y^^,.

.= ^^Pyl}.

SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS. Sig

des écjualions de la forme (o). en prenant pour variables Xi et x-, la racine du grand axe de la planète troublée et sa constante des aires; pour variables > i et y,, l'anomalie moyenne de la planète troublée et la difl'érence entre la longitude du périhélie de la planète troublée et la longitude de la planète troublante.

Je me propose de trouver des solutions de la forme suivante : les Xi et les j,seront développés suivant les puissances des [t.. de sorte qu'on aura

Dans (/^, la lettre/? représente un exposant; mais, dans xf et jf , elle représente un indice.

Les fonctions x^ et y[' devront dépendre de q constantes d'intégration ri. z-2, ..., z,i et de (j arguments n,, w-y. ..., tv,/, qui seront des fonctions linéaires du temps, de telle façon que l'on ait

les «/, étant des constantes déterminées et les Wk de nouvelles constantes d'intégration.

.Te supposerai que x° se réduit à la constante r, et r° à (v, ; que les autres xf et j'f sont des fonctions périodiques des q arguments ce.

Il s'agit d'intégrer les équations (3) par des séries de la forme (^4)) ou, ce qui revient au mêine, de déterminer les séries (4), de telle façon qu'en supposant les variables anciennes x et y liées aux variables nouvelles ; et w par les relations (4), les équations (3) deviennent

ffZi f/ojj

— r- = o, — ;— = const.

Or, je dis que pour cela il suffit :

i" Qu'en substituant dans F, à la place des x et des y, leurs valeurs (4) en fonction des •: et des n', cette fonction F se réduise à une fonction o dépendant seulement des ; et indépendante des iv; je supposerai celte fonction o développée suivant les puissances de p., de telle sorte que

nous devrons avoir alors

(5) F = ïo-H ULi,^... ;

520 SUR l'intégration des équations.

2" Que l'expression

soil une difl'érentielle exacte.

Si en efl'et dS est. une diirérentielle exacte, il en sera de même de ^xd)- — ^zdw.

Donc, en prenant pour variables nouvelles les i\' etles ;, on n'altérera pas la forme

canonique des équations (') qui s'écriront

dzi d¥ ds ,^, ,

-di- d^r dtrr" (douc,.= const.),

dwi dF da dt dZi dZi

La d(''rivée -—^ ne dépend que des z qui sont des constantes. C'est donc une constante. c. q. f. d.

Gela posé, substituons dans F, à la place des xi et des j',, leurs valeurs (4)- Alors F se trouvera développé suivant les puissances de [>., des x'^ et des rf et les coefficients de développement seront des fonctions des x] et des i", c'està-dire des 3,- et des w,, périodiques par rapport aux w,.

Ordonnons les termes de ce nouveau développement de F suivant les puissances de pt, nous trouverons

F = 0,,-)- nei+ iJL2e.. + ....

L'équation (j) se décomposera et nous donnera

c'est donc une constante, de sorte que l'équation 0||=o„, oii cpo est une

fonction indéterminée des s,, se trouvera satisfaite d'elle-même.

Nous poserons

'/(-)„ dzi

Les a, étant des fonctions des s, seront des constantes. Développons S suivant les puissances de \i. :

S = Su-i- jj. S,-+- |x-Sî-i-. . ..

L'expression de rfS nous montre tout de suite que So est nul et que

rfSi = i:(^,' dw, — y} fl^ùi <J'où -, , ' ' dw

('J Voir aux Notes, Principes de Mécanique analytique.

SUR l'intégration des équations. 521

D'autre part, on a

<I» n'est autre chose que Fi où l'on a remplacé xi etj'/ par -, et (V; ; c'est donc une fonction connue périodique.

Dans ce qui va suivre, je conviendrai de représenter par une même notation •!• toute fonction connue pérodique.

Cette même lettre $ pourra donc représenter plusieurs fonctions différentes. L'équation 0i = »| s'écrit alors

S| est une fonction périodique inconnue; a, est une constante inconnue (constante puisqu'elle ne dépend que des zC).

Nous pourrons donc intégrer cette équation par le procédé A, je veux dire par le procédé qui nous a permis de résoudre le problème A.

Connaissant Si nous aurons x\ et >',' par les équations

, c/Si , (/S|

dwi - ' dzi

Il vient ensuite

(6) f/S,= Z{x\ dwi-^x\ dy\ -y\ dzi\ d'où

ilWi (hvi dwi

D'autre part, on aura

(8) e.; = — Sa; :r ,- + <!>,

la fonction «l> ne dépendant que des x% j'°, x] , y] et étant par conséquent désormais connue.

La combinaison des équations (7) et (8) nous donnerait, en tenant compte de 0^= 92,

qui s'intégrera par le procédé A.

Connaissant S2, nous aurons x^ et rf par les équations

/ 7 • > 1 'fil I n ''S' I,

Nous déterminerions ensuite S:,, a?/ et j',' par dos équations analogues aux