H. 1'. — VII

èqualions [-bis], (iS) et (g) el ([iii n'en (liflV'ieraienl (|ue parce que l'indice 2 serait remplacé par rimltce !î. I^es fonctions <I', qui lii^ureraient dans ces nouvelles équations, pounaienl être legardées comme connues parce qu'elles ne dépendraient (jiie des x" , y", j:,' , ),' ,a:/, j/.

Et ainsi de suite.

Le problème B peut donc rire regardé comme résolu.

Le procédé que je viens d'exposer n'est pas identicjue à celui que j ai développé dans le Chapitre XV des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste: il présente certains avantages que la comparaison des deux procédés ferait mieux ressortir.

Problème C. — Fj étant un polynôme homogène du second degré par rapport aux x et aux r, intégrer les l'^quations canoniques

Ces équations sont linéaires et à coefficients constants. Elles admettront donc 2q solutions de la forme

Xl = af e'i'. )•,■ = [3f e''-i.' ;

cherchons à déterminer les constantes af , (3*, et )./( de façon à satisfaire aux équations; il viendra

Je suppose, bien entendu, en écrivant ces équations, que dans F-, les variables .r, et }■, ont été remplacées par af et (3f .

Entre ces a.q équations (qui sont linéaires et homogènes par rapport aux a et aux P) j'élimine les 2^ quantités a et p. J'obtiendrai une équation de degré 2q en If:, dont les racines seront deux à deux égales et de signe contraire.

Si la forme quadratique F-, est définie positive, les racines 1/,- sont purement imaginaires, de sorte que À/, el — X^. sont imaginaires conjuguées.

Soit maintenant ij-i une autre racine de l'équation en >.x et

la solution correspondante des équations (10). Posons

SUR l'intégration des équations, 523

Gomme Xi=^t.i, yi='rii dune pari; x,= t/ , ;)/ = 'i| d'autre part, sont deux solulious des équations (lo), il est aisé de véi'ilier qu'on aura

-(?ri; — •"-i,e; ) = const.

Gomme, d'autre part, le premier membre est divisible par e'^'^i^'", la constante du second membre doit être nulle, à moins que jj^ = — À/,. Si ,'-<■/, ^= — A/,, nous ne restreindrons pas la généralité en supposant que cette constante est égale à i.

Soient alors a'^ , bf les valeurs de yf, of correspondant à cette racine p/, = — )./,. Si la forme F., est définie positive, nous pouvons supposer que c.f et ^' — i a', ^^i et y/ — i (ji sont imaginaires conjugués.

Posons alors

(11) ■2-,=2a->/, -<-^«' ri. .i'/=]^|3/^i-i-2/'f + .ri;

Il vient

X,{u-id}i — yidxi) = i:(.4 f/jA— .ri du:'/,).

Getle équation exprime que ^x dj' — Hx' dy' est une différentielle exacte, et que, en passant des variables x, y aux variables x' y', on n'altère pas la fjrme canonique des équations.

Les équations (lo) deviendront donc

dx'i, dF.2 dr'/,- f/F,

dt dy'i^ dt dx'i^

et comme elles doivent avoir pour intégrales

^'i. = e>", y'k = «-'" nous aurons

(12) {^.,='^'nx'i,yi,.

D'autre part, comme ^{xdy ~ x' dy') est une dillérentielle exacte on aura identiquement

yi /dV, d\\ ^ ( /F2 \ yi / t/Fî d\\ dK dP-, ZuxTîxi 7/7i~ dxi 7771 ) "2^ \d.r'i dy~ dZ <ly]

Le second membre se réduit à

524 SUR l'intégration des équations.

Si R est un polynoine enlier par rapport aux x et aux )', et par conséquent aussi par rapport aux x' et aux y', si de plus il n'y a entre les A^ aucune relation linéaire à coefficients entiers, la condition nécessaire et suffisante pour (]ue l'expression (i3) s'annule est que R soit un polynôme entier par rapport aux q expressions l/,-x'^y'(.. Remarquons que ces ^ expressions dont la somme est égale à F2 sont q polynômes homogènes du second de gré par rapport aux x et aux y. Ces q polynômes sont réels et toujours positifs, si la forme F2 est définie positive.

Problème D. — Résoudre l'équation

où V est un polynouie connu, homogène de degré p par rapport aux 7.q variables x et j-.

S est un polynôme inconnu homogène de degré p par rapport aux x et aux r.

Q est un polynôme inconnu homogène de degré - par rapport aux q produits xy.

Soient

P = S A.rf' j?' x'i-'yh. . ..c^'y^'',

Nous résoudrons l'équation (i4) en prenant

i;Xi.(ai.— (Ji)

si l'on n'a pas à la fois

et C = A si l'on a à la fois

La solution est possible pourvu que les >.< ne soient liés par aucune relation linéaire à coefficients entiers.

Remarquons que Q est identiquement nul si p est impair.

Phoblème E. — Résoudre les équations

^ ' Zj V dxt Tfyt dyt 717,) -'"*-' j^\ dxi ,ly, dyi ,lxi ) ~ °'

SUR l'intégration des équations. 525

où h\ esl un polynôme homogène donné du deuxième degré par rapport aux X et aux )•, P un polynôme homogène connu de degré /?, S et Q deux polynômes homogènes inconnus de degré />.

Faisons le changement de variables ( 1 1 ), les équations ( 1 5 ) deviendront

La seconde de ces équations signifiera que Q est un polynôme entier par rapport aux produits ^x.xî- Nous sommes donc ramenés au problème précédent.

Le problème sera doue possible pourvu qu'il n'y ail entre les ),/, aucune relation linéaire à coefficients entiers. Q est nul, si p est impair.

Problème F. — ■ La fonction F est une série ordonnée suivant les puissances croissantes des x et des y et commençant par des termes du deuxième degré, soit

F= K,-hF:,+ Fi-F...,

F^ désignant l'ensemble des termes d'ordre /j. Il s'agit d'intégrer les équations canoniques

, p. dj:/ ifF dvi <f?

~di ~ IJyi ' ~dt ~^ Tixi '

Voici dans quelles circonstances on rencontrera ce problème. On a cherché à étudier les variations séculaires des éléments des planètes de la manière suivante. On a écrit les équations des perturbations en supprimant dans la fonction perturbatrice tous les termes périodiques, et l'on s'est proposé d'intégrer les équations ainsi simplifiées que j'appellerai équations aux variations séculaires. On sait que Lagrange a effectué cette intégration on ne conservant dans la fonction perturbatrice que les termes du deuxième degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Les équations étaient alors linéaires et à coefficients constants. Ce n'était d'ailleurs autre chose que notre problème C.

Plus tard, Le Verrier a tenu compte des termes du quatrième degré, Cellérier de ceux du sixième degré. Le procédé que je vais exposer amène, dans ces calculs, une simplification importante et permet de tenir compte de toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.

Et, en elTet, si les variables sont convenablement choisies, les équations aux variations séculaires sont précisément de la forme ( i6).

5a6 SUR l'intégration des équations.

Jo me propose (l'exprimer les .r c!l les »• en fonclion fie <] constantes p/, et de q arguments (o< qui seront des fonctions linéaires du temps, .ie m'arrangerai pour que les X et les y soient développables suivant les puissances des quantités pA-e'"'"^', pie-"""^.

Soient (17) a-, = j;) -I- .r" -(-... , r,- = .1 | + 17 -+-. . .

ces développements où x'I el y'' représentent l'ensemlile des termes de degré/» par rapport aux p/, .

Te dis que le problème équivaut au suivant :

Déterminer les séries (17) de telle façon :

1" qu'en y substituant, à la place des .c et des j', ces développements (17), F se réduise à une l'onction 9 dépendant seulement des p et indépendante des u ;

2" que

r/S = ^{.li— .r] ) dvi-h (.) ; — ,) i) (/.'■; el r/T = Ix' dy] + v^^ ^?l </f>k

soient des dillérentielles exactes.

S'il en est ainsi, en effet, Lc/ dyi-\- ^' — 1 ipj. c/w/, sera une diil'érentielle exacte. La forme canonique des équations ne sera donc pas altérée quand on passera des variables x et y aux variables pj et — \ — 1 w/, ; elles deviendront donc

'^ — — ■ =0 (d ou p<. = const. ),

''' \'' — 1 rfwf; y — 1 di.->it

. dMk r/F rfo

V ^ 1 — ;— = H r = H — 77-^ — ; = const.,

ce qui montre que les w sont des fonctions linéaires du temps.

Substituons dans F les développements (17) et ordonnons suivant les puissances des p ; nous aurons

pour le développement de F et

pour celui de 9 et, comme; on doit avoir F = 9, nous aurons

Wj n'est autre chose que 1''^, où Xj et yi sont remplacés par x], y]. Si donc,

SUR l'intégration des équations. 527

employant le procédé C, nous faisons le changement «Je variables (11) ea posant

l'expression

sera une différentielle exacte et

se réduira, en vertu de l'équation (12), à — \ — ii>.xp|, de sorte que l'équation 0., ^ o-, se trouvera satisfaite. Soit

S = So -t- S) -I- So -I- S.i -(- S4 -(- . . .

le développement de S suivant les puissances des p. J'observe d'abord que les premiers termes So, Si et S2 sont nuls et que l'on a

rfS:,= Zx] (/}■]— Zy-j do:].

D'autre part,

$ étant une fonction connue puisque x\ et )' sont désormais connus. Comme

l'on a

^/S., , dS-.

(iH) ^J = -TT' >T = 7^'

^ ' dy] ' dx-.

l'équation 0;, = cp:, devient

D'autre pari, ç;, ne dépendant que des p, on auia

ces équations, analogues aux équations (k)), s'intégreront par le procédé E, ce qui donne S:, ; les équations ( 18) donneront ensuite x\ et j'^.

On trouve ensuite

d?,,= Z{x\dy\-^x\dy\-y\dx\),

d'où, puisque x\ et kJ sont désormais connus.

On obtient ainsi deux équations analogues aux «'quatious (^mj) et (20) et qui n'en diffèrent que parce que l'indice 3 y est remplacé par l'indice 4-

528 SUR l'intégration des équations.

Ces équations s'intégreront par le procédé E, ce qui donnera S,, et ensuite, par (i8 bis), x'} et }"J et ainsi de suite.

PuoBLÈMu: G. — La fonction F a la même signilicalion que dans le problème précédent.

Trouver 2q fonctions tj et ru des x, et des yi, telles que l'on ait

et que

soit une ditlérentielle exacte.

P représente une fonction connue, Q une fonction inconnue; toutes deux doivent être développables suivant les puissances des x et des )•.

.le veux également que î, rj et S soient développables de la même manière; et j'écris les développements de ces cinq fonctions sous la forme (22) li=W!, ■'•.;= Sr,/;, P^SP/,, Q = SQ/,. S = SS;,.

Je substitue dans les équations (21) les développements (22); j'égale les termes du premier degré, et j'ai les équations

^J \ fixi (/fi d) i dxi I '

équations qui, par le procédé E, donnent S,, E° et y)".

En égalant de même les ternies du deuxième degré, j'obtiens

r/F., , dF,

■y /dFj dQ^ dF^ d(h\

^ \ dxi dvi dy, dxi I qui, par le procédé E, donnent S2, ;,' et rjj ; et ainsi de suite.

SUR l'intégration des équations. 529

llemarquons que, d'après ce que nous avons dit à propos du problème E, la fonction Q,, est nulle si l'indice p est impair, de même que la fonction 9^ du problème précédent.

Problème H. — 11 u'j aurait rieu à changer à l'analyse qui précède si les équations (21 ) étaient remplacées par les suivantes :

(11 bis) <

\ .mJ \ ote; dyi dvi dxi / '

et si l'expression c^S, qui doit être différentielle exacte, s'écrivait

où A,, B|, C, D; sont des fonctions connues des x et des y, développables suivant les puissances de ces variables, le dèveloppemeiit commençant par des termes du deuxième degré.

En y substituant les développements (22) et égalant les termes du premier degré, on retrouverait les équations (23).

En égalant ensuite les termes du deuxième degré, on retrouverait les deux premières équations (24), car le terme — (Ai;"h- B,r)°), qu'il faudrait ajouter dans la première d'entre elles, est maintenant connu, puisque ;" et rj," ont été préalablement déterminés par les équations (2.3). il peut donc rentrer dans $.

La troisième équation (24) deviendrait

r/So= S(f/ dyi- -ri,' dx,) + 1(1," ./C,- r^« r/D,-),

d'où

d?!i .. , -, dS^ . -,

On retrouverait donc la quatrième équation (24) et le calcul continuerait comme dans le problème G.

Signification du problème H.

Voici comment on peut être conduit à se poser les problèmes G et H.

Reprenons les équations (16) et remplaçons-y F par F — eP,, où £ est une quantité très petite, dont on peut négliger le carré, cl Pi une sorte de fonction perturbatrice.

Remplaçons de même dans ces équations xi et v, par Xj-f- e^,-, /,+ £/),-.

53o SUR l'intégration des équations.

Les équations s'écriroiil alors

Nous avions remplacé les équations (16) par les suivantes :

F = 9, ./S = S[(x,- r? ) <l-,H-0-; -.)•,) fixl ].

La première de ces équations va devenir

F-sP = =-£Q,

Q étant une fonction qui comme (p ne doit dépendre que des p; de sorte que la fonction cp — sQ pourra jouer le même rôle que <p.

Le premier membre de cette équation pourra, en négligeant les quantités de l'ordre de e'-*, s'écrire

en supposant que dans P, F et ses dérivées, Xi+ et, et j'iH- £vy,- sont remplacés par Xi et V,.

Nous aurons donc, en égalant les coefficients de £,