F , dF

où l'on reconnaît la première équation (21).

En changeant maintenant .r,-, 1,, S en Xi + Hh yi+vm, S + eU, nous trouvons

En négligeant e- et en posant il viendra

di' = 2(5/ ^/r,-— r.tdXj).

Maintenant nous savons que Xt ci yi sont développables suivant les puissances des xl et des yl .

Prenons les x^ et les j'^' comme variables indépendantes, il viendra

dF dF , r/F dF „

r/.c, dxl dy-i dyl

Xi = x\ -h Dj, /i = yl -4- C-,

SUR l'intégration des équations. 53i

où les développemenls des A;, B,, C,, D; siiivanl les puissances des a-/ et yl commencent par des termes du second degré. Nous aurons donc

dS= J:{1 dy] - T,i dxl ) -f- S(=,- dCi- T., rfD,),

et comme Q ne doit dépendre que des o :

•<^ / dVn dQ dFj, (/Q\ jLj\d^ 7fyî~7fyidIi)-"■ ^ous reconnaissons les équations (21 bis). i\insi le problème H revient à l'intégration des équations (16 bis) en supposant £ très petit.

Les équations (16 bis) étant de même forme que les équations (16) (sauf la présence possible de termes du premier degré dans P), il n'est pas élonnanlque l'on puisse résoudre le problème H et trouver pour les inconnues \i et r); des développements procédant suivant les puissances des xl cl des vj et par conséquent, des p^e-'"'*' ' .

Je suis maintenant eu mesure d'aborder le problème des trois corps dans toute sa généralité, et c'est ce que je vais faire en combinant les divers procédés que je viens d'ex[)Oser.

Choix des variables.

Soient a, e, i, ro, i^ et / le grand axe, l'excentricité, l'inclinaison, la longitude du périhélie, celle du nœud et la longitude moyenne pour la première planète; tlésignons les mêmes éléments pour la seconde planète parles mêmes lettres accentuées. Soient (3 et (3' deux coefficients numériques convenablement choisis (ces coefficients ont été définis dans le Bulletin astronomique, février 1897) (M et choisissons pour variables

V'2p \/a{i — v'i — *') •"'^'n' = .Si, — V 2[3 v"(' — v'' — ^') sinm =/i>

\/2y \/â'{i — v'i — e'-)ctisra' = a;», — y/2[j'v/a'(i — ^1 — e'-)sirniT' =>'2,

\/2p \a{i — e-) (i — cosi) oosiî = j;:i, — V 2 [j <Ja (1 — e-) (i — cost) sinû =J'3,

y 2p' v/«'(i — e'-) (i — cosT) cosQ'= .r,, — V 2p' v/<ï'(i — e'-) (i — co?(") sinD' = j>'i.

( ' ) Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. 5oo.

532 SUR l'intégration des équations.

Les équations du mouvemenl preuneiil alors la forme canonique el s'écrivent

dV

d.ri

dV

dv,

dV

dl

dl

dt

dx,

La fonction F est dôveloppalilo suivant les puissances des masses; pour mettre ce fait en évidence, nous introduirons un coeflicienl [j. de l'ordre des masses; chaque masse sera égale à p. multiplié par une quantité finie el F sera développable suivant les puissances de /jl sous la forme

!•' = Ko -H ;-t I" 1 -+- ;j-'-' F; -i- . . . .

Fo dépendra des X et sera indépendante des Y, des x el des y.

Les autres fonctions F,, ¥■> dépendront de toutes les variables. Par rapport aux \, ce seront des fonctions périodiques; de plus, elles seront développables suivant les puissances des x et des y.

Fi étant une fonction périodique des Y, je puis considérer sa valeur moyenne [F|] définie comme au début de ce travail. ,Je poserai

R sera développable suivant les puissances des x et des y el j'aurai

P. = Ro-i- R2-t- R4-1-....

l\p étant l'ensemble des termes d'ordre p. Il n'y a d'ailleurs que des termes d'ordre pair.

C'est R2 qui jouera le rôle que jouait Fu dans les problèmes E, F, G, etc.,

Forme de la solution.

Nous allons chercher à exprimer nos variables en fonction de six constantes z,, Zn. Pi, p., p;i, pi et de six arguments fonctions linéaires du temps iVi, «o,

COi , (1)2 , W;[ , (fi;, .

Nous verrons que les (v varient très rapidement el les u très lentement, el même que tOi se réduit à une constante.

Nos variables devront se développer suivant les puissances de p. :

(26) X,= X»+,a\;+...= SH^'Xf, Y,= S,x/'Yf, .^-^ = SjJi/'^', j,- = ïix/' jf .

Voici quelle sera la forme de ces développements : toutes les fonctions Xf, Yf , xf , if (p > o) seront des fonctions des w, développables d'autre part suivant les puissances des pie'""^"*, p/,e~"'"' ' .

Elles dépendront en outre des z d'une manière quelconque. On aura

Enfin les Y° — iv,, les a.", les j-" seront indépendants des w et développables suivant les puissances des p/,e""^', pte^""' '.

Quand on annulera les p, Y" se réduira à wi, x" el y° à zéro.

Les quantités Xf, etc. étant des fonctions périodiques des w, je pourrai envisager leur valeur moyenne, définie au début de ce travail, et la désigner par[Xf].

Voici quelle est la signification de ces diverses quantités.

Les différences Xf — [Xf], . . . représentent les perturbations à courte période d'ordre/) par rapport aux masses.

La valeur moyenne [Xf] représente les perturbations séculaires d'ordre p + i. En effet elle ne dépend pas des tv, mais seulement des w : elle variera donc très lentement; la quantité elle-même est d'ordre/»; mais ses variations dans un temps fini seront de l'ordre p -\- i .

J'observe enfin que les quantités p par rapport auxquelles nous développerons sont de l'ordre des excentricités et des inclinaisons.

Je désignerai par u^ et ca les termes du premier degré par rapport aux p dans le développement de x" et j^)'.

Transformation du problème.

Je dis que le problème peut être remplacé par le suivant : déterminer les séries (a*)) de telle façon que :

i" La fonction F, quand on y a substitué les séries (26), se réduise à une fonction es ne dépendant plus que des constantes z e1 0. 2° Les expressions

dS = S[(X,-;,)"'Y,+ (V»- Y,)rf^,-+- {^i- .^l) drtMrl- Jk) dxl],

dj = i;[(4- «0 ^/;;.+ {^i-vD d,n]^ !(«',- j») rf^,-,

dV = I,U/:dvt-h y/ — I yipj. rfco<-

soient des différentielles exactes.

Si, en effet, ces trois différentielles sont exactes, il en sera de même de SX,f/Y,+ Zx/^dyt— ï^i </«';+ y/— i i;p|. rfu^.

534 s'J" l'intégration des équations.

Si donc on prend comme variables les ;, les iv, les p^ elles — \' — i w/,, la forme canonique des équations (:<J) ne sera pas altérée et elles deviendront

—7- = -; — = -r^ = o ( c, = const. ). — ;- = — ^ = o ( 0 = const. ),

,Ù (Ar, (/.v, '■ '' ,ù ^/ , ,/(„^ ^ ' ■"

/Aï*/ (/c /Aox '/-

— j— =■ T-^ = const.; — 7— = ' = const..

ce qui montre que les z et les p sont des constantes, les t\' et les gj des fonctions linéaires du temps. c. q. f. d.

Substituons dans F les développements (26), et ordonnons suivant les puissances de fi; nous aurons

F = e„-l- \lSl^-^ )^"-^i-^

Si nous développons de même 9 suivant les puissances de \i. de telle sorte que o =: 2ijl''9/,, l'équalion F = o nous donnera

©n = Çu, , 6] = '.:i , 0-2 = 3 2, ....

Comme ©o n'est autre chose que Fu, où X, est remplacé pars,, l'équation 0„^ 90 est remplie d'elle-même.

Je développerai de même S suivant les puissances de \i. en écrivant

S = jJl S I -H (Jl- S2 -4- . . .

Théorème de Poisson.

Il vient d'abord, en égalant les termes du premier degré, rfSi = S(X,' d\] - Y/ dzi^ x\ dyl -~y\ dxl).

D'après nos hypothèses, Y,'' — ivj, ^i-jK*, ^t sont indépendants des tv; on a donc

/A'" d\l . dr\ dxl

rlwi r/iVj me, r/ii',

-Mais la valeur moyenne de -^ j qui est la dérivée d'une fonction périodique, est

évidemment nulle; on a donc

Mais [X,' ] représente, d'après ce que nous avons \ u plus haut, les perturbations

SUR l'intégration des équations. 535

séculaires de X,-, c'est-à-dire du grand axe, qui sont du second ordre par rapport aux masses.

C'est donc le théorème de Poisson sur V invariabilité des grands axes.

Perturbations séculaires du premier ordre.

Posons

Les Zi étant regardées comme des constantes, il en sera de même des a,- et l'on aura

11 demeure bien entendu que, dans F,, les variables X,-, Y,-, xi, yi doivent être remplacées par X,", Y", x" el y" ■ En prenant les valeurs moyennes, on

trouve

Reprenons l'équation 0i ;= j, et prenons les valeurs moyennes des deux membres, il vient

(29) R = <pi.

Regardons un instant les zi comme des constantes, il viendra

(30) <ll = ^{xl - u,)dyl+{.-t-yl)dri]

et il faudra déterminer les x'I et y", de façon à satisfaire à l'équation (29) et à rendre l'expression (3o) ainsi que d{j différentielles exactes.

C'est le problème F, où R, T, U, xl, yl, «<•, vj, jouent le rôle de F, S, T, Xi, yi, x] . yl-

Nous obtiendrons donc xl etj),! développés suivantles puissances des pe-"*"'.

La fonction T étant ainsi déterminée par le procédé F, on aura

ce qui donne la perturbation séculaire de l'époque.

Perturbations périodiques du premier ordre.

Reprenons l'équation 0i = cpi, qui peut s'écrire, en tenant compte de (2^) et (28),

Le second membre est uiiu toaction périodique des iv donl la valeur moyenne esi luilli' en venu de l,?-'))-

L'équalion pourra donc s'inlégrer par le procédé A, ce qui donnera S, — [^i ]■

On auia ensuite

Comme les dérivées sont prises ici par rapport aux variables ^,, Y", x'I, yl, c'est en fonction de ces variables qu'il conviendra d'exprimer Sj et F, et non en fonction des z, des p, des w et des co; remarquons :

i" Que, \," étant égal à iv, plus une quantité indépendante des w,

(/S, (/Si d^i ~ dYf'

de sorte que notre équation peut être remplacée par la suivante :

V ''Si p.

2" Que toute fonction périodique des tv, est aussi une fonction périodique des Y° et que sa valeur moyenne par rapport aux V" est la même que par rapport aux »,.

Le calcul qui précède ne diffère pas d'ailleurs du calcul habituel; le mode d'exposition seul diffère.

Perturbations séculaires du second ordre.

Déterminons maintenant [X,"J, [Y/], [xl], [yl]- Nous avons

d^,= Z{\f ./Y » + X; d\l - Y/ ./w + x| dyl - yl dxl + x\ dyl ), d'où

f/So / dy\ d\\.\

' dwi ' A diVi * dw, I

La valeur moyenne du premier membre est nulle, celle du second terme du second membre est connue; car on a, par exemple,

SUR l'intégration des équations. 537

équation dans le second membre de laquelle le premier terme est connu et le second nul.

Donc [Xr] est connu.

Nous avons ensuite l'équation ©5^02. Si nous prenons la valeur moyenne des deux membres, elle deviendra

■V f/li r , , 'V ''R r 1 n *

D'un autre côté, on trouve

./[S,] = 2([- Y' ] cfz,^[xl] c/yl - [yiyixD,

ou, en regardant pour un instant les z comme des constantes,

Pour pouvoir appliquer le procédé H à ces équations, il convient de prendre pour variables nouvelles, au lieu des xl et^)°, les «a et les P/,. Toute fonction développable suivant les puissances des a:° et r° le sera également suivant celles des Uk et des c/,, et inversement.

On aura alors

dK dK . d\\ dK

dx\ diik dyl dvk

Aa, B/;, Ca, D/, étant des fonctions connues développables suivant les puissances des w et des f et commençant par des termes du second degré. D'où

1^,1^1]- S-kl^l]--'^[^l]'-M.rl]='^^9.

d[S,] = Z\[xl]( dn + dCk ) + [y'k ] ( duk + r/Di ) j .

D'autre part, (jjo devant être fonction seulement des p satisfera à l'équation

r/s, dW; d^ d^ duk dvk duk dvk

Nous reconnaissons les équations (21 bis) du problème H où [xj], [j'I], m*, ('/,, R, Ro, 4», 92 jouent respectivement le rôle de Ç,, r),-, x,, j',-, F, F\, P, Q. Nous pourrons donc intégrer ces équations par le procédé H et nous aurons [Si], [j?lj. [,>'!] sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances

des «i el dos c/,, ou, ce riui revient au même, suivant celles des p<e-"*''^. L'équation

nous douni'ra eiisuilc les [Y,' ].

Nous connaissons donc toutes les perlurbatioas séculaires du second ordre.

Perturbations périodiques du second ordre.

Reprenons l'équation 0.j ^ o^, qui, les x'., . . . étant désormais connus, peut s'écrire

Srt,\f = 'I' — ?2.

D'autre part, l'équation (3i) peut désormais s'écrire

Il vient donc

Sfltj-j-^ =<I>— Oo.

Le second membre est une fonction périodique connue des w, el la valeur moyenne en est nulle puisque nous venons précisément de déterminer les perturbations séculaires du second ordre de façon à annuler cette valeur moyenne.

F^'équation s'intégrera donc par le procédé A el nous donnera

s.[s.]. \f, v-lVl ^1-14], yl-irn

El ainsi de suite.

Examen d'une difficulté.

Mais une grave difficulté, que j'ai, jusqu'ici, passée sous silence, se présente. Pour que les procédés F, G, H soient applicables, il faut qu'il n'y ait, entre les quantités que nous avons appelées /,(, aucune relation linéaire à coefficients entiers. Or il n'en est pas ainsi dans le Problème des trois corps : l'un des "k/, est nul.

Il est facile de s'en rendre compte.

En effet, les équations canoniques

(32) rLc^^dH,^ dyi ^ dW.

^ dt dyi dt dxi

SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS. SSg

adinelleiil trois intégrales correspondant aux trois intégrales des aires et qui peuvent s'obtenir de la façon suivante : R..> est de la forme R'., + R'.j, où R'., dépend seulement des excentricités et des inclinaisons, c'est-à-dire des quatre variables Xt, x-j. yt, r-j et oii R'^ dépend des quatre variables 3:,, x,, j'j, ) -, et est proportionnel au carré de l'angle infiniment petit des plans des deux orbites.

On en conclut aisément que les équations (32) admettent pour intégrales

[5 \/7ia:::-¥- pV"'-^! = consl., \i s/ay-:,^ fi' \^'y\ = const.

Ces deux intégrales sont linéaires et leur présence suffit pour montrer que l'un des X est nul; c'est, en effet, la fonction R qui joue le même rôle que la fonction F dans le problème F; et c'est Ro qui joue le rôle de F., dans les problèmes D et F. Les quantités que nous avons appelées /. sont donc définies à l'aide des équations (32).

On pourrait donc craindre que la présence d'un coefficienl 1 égal à zéro n'empêche l'application des procédés ]■'. G, H. Il n'en est rien, et il est aisé de tournoi' la difficulté de la façon suivante.

Considérons les intégrales des aires et écrivons-les sous la forme suivante :

U = U„, V = V„, W = Wo;'

U, V, VV sont des fonctions données des variables X, Y, x, r; U,,, V,,, W,, sont des constantes.

Supposons qu'on ait pris pour premier plan de coordonnées le plan du maximum des aires, de façon que les constantes Un et V„ soient nulles. Posons

F'= F-HU^--f-V2

et considérons les équations canoniques

^ ^' 'Jli - ^ cir^ d?' dvi d?'

{2bbis) ^^ -rA,' df " û-X,' dt ~ dVi' 'dt-~d^i'

qui sont les équations (20 ") où F est remplacé par F'.

Nous envisagerons celles des intégrales des équations (25) qui sont telles que U=V^o; on voit immédiatement que ces intégrales appartiennent également aux équations (26 bis). Nous pouvons donc, au lieu des équations (2.5), envisager les équations (23 bis) qui sont de même forme, mais telles qu'aucun des coefficients ?,/, ne soit nul.

La difficulté a donc disparu et le calcul peut se pousser jusqu'au bout sans

jio SUR l'intégration des équations.

oltslacli". Il faut maintonanl, pariiii les inti^grales de (:'.5 bis), distinguer celles qui conviennenl également aux équations (aj).

Pour cela, remarquons que les équations (aS bis) donneut

—r- = o, — — = WV, -~r- = — 2WU,

dt ' dt ' dt

d'où

W = const; U-H \^ — i V = C^'^'"i'-i,

C étant une nouvelle constante.

La fonction U -h ^ — i V est donc égale, à un facteur constant près, à une exponentielle dont l'exposant est une fonction linéaire du temps; de plus, elle doit être développable suivant les puissances des pe*"'*~': cela ne peut avoir lieu que si elle est divisible par une expression de la forme

OÙ les a, les [3 et les m sont des entiers.

Dans le développement de U + \/ — iV suivant les puissances des u et des f, considérons les termes du premier degré; on verrait qu'ils se réduisent à piC'"'*"' (à un facteur constant près qui n'est pas nul).

Donc

«1 = «5 = aj = pi = P-> = p:; = Pi^ «il = m* ^ o, «1=1

et U + sj — r V est divisible par p^e"»*"'.

De même U — s] — i V est divisible par ^^e~'^'^'~'^.

Les intégrales de (20 bis) qui conviennent à (25) sont celles qui sont telles que U := V = o ; c'est-à-dire telles que m t ^ c,., = o ; c'est-à-dire telles que p = o et qui, par conséquent, ne dépendent pas de l'argument co^ ; d'où celte conséquence :

Les intégrales des équations (20) ne dépendent pas de six arguments linéaires par rapport au temps, «'< , n'o, W|, w^, ^■^, w.,, mais de cinq seulement ivi, (Vo

OJ, , W2, co-, .

11 n'est pas nécessaire, pour faire le calcul de ces intégrales, de former les équations (aS bis); il suffit d'opérer sur les équations (aS) elles-mêmes; la considération des équations (2.5 bis) n'est qu'un artifice dont je me suis servi pour démontrer la possibilité du calcul.

Remarque. — Nous venons de voir que les coordonnées des trois corps sont fonctions de cinq arguments tv,, w.,, 00,, wo, W:,.

SUR L'intégration des équations. 54i

Leurs distances dépendront des différences de ces cinq arguments, c'està-dire de quatre arguments seulement.

Deuxième remarque. — Les intégrales (25 bis) pour lesquelles U et V ne sont pas nuls à la fois ne conviennent pas au système (2.5); les expressions des coordonnées en fonction du temps ne sont pas les mêmes avec les équations (25 bis) et avec les équations (aS); mais les expressions des distances mutuelles des trois corps sont les mêmes.

Calcul des périodes.

Nous avons vu que les iv et les co sont des fonctions linéaires du temps. Les quantités

cAr,- rfui/.

-dï = "'■' -df = "*

sont donc des constantes. Le calcul de ces constantes est facile. En effet, nous avons formé la fonction cp qui dépend des constantes ^, et p\, et nous aurons

"■ — ■-- vt= ---

La fonction » étant développable suivant les puissances de /j. et des p^, il en sera donc de même de n,- et de v/, ; les n et les v sont représentés par des séries ordonnées suivant les puissances de |jl et des p| et dont les coefficients dépendent des Zi.

II est aise de voir que les n et les v sont réels; en effet, les coordonnées des trois corps doivent êtres réelles; les termes de leurs développements devront donc être réels ou imaginaires conjugues deux à deux. Or chacun de ces termes est égal à une constante mulipliée par une exponentielle dont l'exposant est de la forme

V — I ( /;(| ii'i -t- /^iii'o -I- «1 (Oi -t- «joio + (23(03),

les m et les a étant entiers. Ces exponentielles devront donc être ou réelles, ou imaginaires conjuguées deux à deux. Si deux exponentielles sont imaginaires conjuguées, elles devront le rester par continuité quand p. et les p sont très petits; or, dans ce cas, il est aisé de voir que deux exponentielles sont imaginaires conjuguées quand les exposants sont égaux et de signe contraire, et ne le sont que dans ce cas.

542 SUR l'intégration des équations.

Dans lout couple d'expoQenlielles conjuguées, les exposants doivent être égaux et de signe contraire. Cela revient à dire que les w et les '■! (et par conséquent les n el les v) doivent êtres réels. c. q. v. ».

D'autre pari, il aisé de voir que le développement dos n suivant les puissances de jj. commence par un terme d'ordre zéro, tandis que le développement des v commence par un terme d'ordre r.

Il en résulte que les n' varient très rapidement et les m 1res lentement; ce qui justifie le nom de termes séculaires que nous avons donné aux lermes qui ne dépendent que des w.

Les quantités «i et /tj représentent ce que l'on pourrait appeler les moyens mouvements moyens.

Les quantités v sont au contraire de l'ordre des moyens mouvements des périhélies et des nœuds.

Résumé. — Eu résumé, les coordonnées des trois corps peuveni s'exprimer par des séries qui procèdent suivant les puissances d'un petit paramètre \j. de l'ordre des masses et de plusieurs constantes p de l'ordre des excentricités et des inclinaisons; ces séries sont des fonctions périodiques de cinq arguments

(!■, = n,/ -(- m,-, (0, = v,/ -he),

OÙ les 57, et les e, sont des constantes d'intégration. Les «, el les v, sont des fonctions de p., des p et de deux nouvelles constantes .^i et z-,. el peuveni se développer suivant les puissances de p. et des p^.

Les coefficients de nos séries dépendent encore des conslanlcs :;, cl ;.j.

Les carrés de ces constantes z peuvent être assimilés à des grands axes moyens.

La conslaute ro, correspond à la longitude de l'époque, tandis que les p jouent un rôle analogue à celui des excentricités et des inclinaisons et les w un rôle analogue à celui des longitudes des périhélies et des nœuds.

Inutile d'ajouter que ces résultais s'étendent sans changement au cas où l'on a plus de trois corps.

Ce calcul n'est pas sans analogie avec ceux que j'ai exposés dans les Chapitres XIV et XV de mon Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. 11 en dlIFére cependant et j'y ai apporté d'importantes simplifications.