SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE O
Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. 98, p. 793-790 (3i mars iSSi^).
Dans l'application de sa inélhode générale pour l'étude des mouvements des corps célestes, M. Gyldén a été conduit à une équation de la forme
suivante :
d\c (i) -jpr = ?o+a:(fi-i-a;2ç2-(-. . .-(-a;"'Om-i-
où les a sont des séries trigouomélriques. MM. Gyldén et LindstedL ont donné des procédés d'intégration de celte équation par approximations successives. Cette circonstance peut donner quelque intérêt à l'étude de cette équation différentielle.
,Ie supposerai, pour fixer les idées, que le terme tout connu o„ est iderliquement nul, et que les autres o ne dépendent que d'un seul argument, par exemple que ces fonctions soient développées suivant les cosinus et les sinus des multiples de /, de façon à admettre la période 27r.
Posons
rf.r dy d- x
'dt'' di " 'dï^
J' = -77 ) -y^ = -J77 = Xtfi-h X^^i-h.
Soit maintenant F^ une fonction de j', de y et de t,
où F„, est un polynôme homogène de degré m en x et j, ayant pour coefficients des fonctions périodiques de / de période de 2ts. Soit ensuite
di' àF àF àF dr . ^ ^
^ ' dt âf à.r- dy dt
(') Voir aux Notes, Séries.
54i SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.
OÙ «I»,,, t'st MU polMioiiic homogène de degré m en x Ql y, ayant pour coefficients des fondions périodiques do t. Nous allons chercher à délerniiner les m premiers termes de la série (a), de façon que les //), premiers termes de la série (3) soient identiquement nuls. On est conduit à l'équalion suivante, qui délinit F,„ quand on connaît F.,, F; F,„ , :
où p varie sous le signe — depuis 2 jusqu'à m — i .
Il semble, au premier abord, que l'intégration de celle équation introduira des termes séculaires dans l'expression de F,„. Il n'en est rien. Les termes séculaires sont tous nuis.
Il en résulte qu'il existe toujours une série de la forme (2) qui satisfait
i/¥ formellement à l'équalion -^ =: o; mais, CDunne cette série n'est pas convergente, en général, on pourrait croire que l'on ne peut tirer aucune conclusion de l'existence de cette série.
Ce serait une erreur, cl, pour le faire comprendre, je vais ajouter au second membre de l'équation (i) un terme '.}/a''jï, de façon que cette équation devienne
(I bis) -^ =xçi-t-.£'-;92-!-. ..-l-a;"'ç,„-t-...-f-'J/.r/' ( — j
■\i étant une fonction périodique de t de période 27:. Cherchons ensuite à former une série
F = Fo-HK,-i-...+ F„,-h...
qui satisfasse formellement à l'équation -^ = o. On verrait, dans l'un des
termes F,„ de celte série, la variable t sortir des signes trigonométriques. On en conclurait l'existence d'une fonction ,/'(-£•, .)', 0 jouissant des propriétés suivantes :
1" C'est un polynôme entier en x et y, dont les coefficients sont dos fonctions périodiques de t de période 27r.
2" Quand /est très petit, x el y sont très petits et réciproquement, quand x cl y sont très petits, /'est très petit.
.3" Quand f est inférieur à une certaine limile y,,, sa dérivée lolale ' est toujours de même signe, par exemple posititive.
