XIX. — Réflexions sur la convergence de la série précédente

Voici comment on pourrait cherchera d('niontrer directement la convergence de la série (7) du paragraphe précédent.

Au paragraphe I du Mémoire sur les Joiiclions J iic/isiciiiics, nous avi>ns démontré la convergence de la série suivante :

où ( :;, -^ — ^ ) est la substitution générale d'un groupe fuchsien G. En revanche, toujours dans le cas d'un groupe fuchsien, la série

(9) Smod(Y,-- + 8,)-2

n'est pas convergente. Mais elle peut l'être quand il s'agit, non plus d'un groupe

j;)8 SllR I,ES GliOlIPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

tuclisien, mais d'un soiis-groupc d'indice ialiiil rontenii dans un groupe fiirlisien, par exemple du groupe i' donl nous nous occupons ici.

Je dis que si la série (ij) est convergenle, il en est de même de la série (~). En eilet, soit

p,= mod

nous aurons

et

niotl(Y,J + 0,)-^ Çii — I p,--t- 1

, I 'oso, 1 — uiod'-~

log— ""

( hiand / crofl indi'liiiiuieul, z, tenti vers l'unité cl l'on a lim — — =

,1 I — inod'-^

log — pi

Ainsi, le ra[)porl d'un terme de Ja série ((j) au terme correspondant de la série (~) tend vers une limite linie, quand l'ordre du terme considéré croît indéfiniment.

Donc, les deux séries sont convergentes ou divergentes en même temps.

Cela posé, soit z un point quelconque intérieur à Qo . Considérons un cercle C dont la S soit

(lo) ^(e2R-t-e-2R 2)

et qui contienne à son intérieur le point z; soit F(R) la S de la partie de ce cercle qui est intérieure à Qo. Soit maintenant /(R) la plus petite valeur que puisse prendre F(R) quand on fait varier le cercle C, sa S restant toujours constante, et le point z restant toujours à l'intérieur de C. Alors/(R) sera une fonction continue de R, croissant constamment et indéfiniment avec R.

Soil IN le nondjrc des points -^ ^ qui sont intérieurs au cercle qui a pour

centre le point O et dont la S est précisément égale à l'expression (lo). Nous aurons

.Soient maintenant R,,Pi2, .... Rn, ... une série de valeurs de R, positives et d'ailleurs croissant constamment et indéfiniment avec n. Soit K.„ le cercle qui a pour centre le point O el dont le R est R„. Soil U„ la somme de

Sun LES fiROUPES DES EQUATIONS LINEAIRES. :)99

tous les termes de la série (()) qui correspondeul à des (loiiits -^ ^' exté-

rieurs à K„| et intérieurs à K„.

La série (()) pourra être remplacée par la série

(u) U.^U. + .-.-f- LI„ + ...,

ov'i iKuis aurons

K cl K' clant deux cousianies convenablemeiil choisies.

Les séries (7), (9) et (i i) seront donc convergentes si l'on pcul choisir les R„ de telle façon que la série

.r^ e>(li„-R„,l

soit convergente. Or, c'est ce qui a lieu si l'intégrale

a une valeur finie.

Telle est donc la condition suflisanle de la convergence de la série (-). Il faudrait donc chercher à démontrer que l'intégrale (i.i) est finie, ce qui pourra se faire en étudiant la forme de la région Qo.

Lorsqu'on l'aura fait, cette démonstration dispensera clans tous les cas de l'applicatiiiu de la iiiclhodc (l(^ continuité.