XVIII. — Troisième problème; cas général
Reprenons les équations (3), (4) et (6) du paragraphe précédent. Appelons Rq le polygone générateur de G, Pq celui de g' . Le groupe g- formé des sulistitulions de g'' qui n'altèrent pas les intégrales de l'équation (,:!) est un sousgroupe distingué de g'. Il est parfaitement déterminé et il est engendré par une région Qo qui joue le rôle de polygone générateur, mais qui a une infinité de côtés. Ces côtés sont conjugués deux à deux de telle façon qu'un côté soit le transformé de son conjugué par une des substitutions du groupe g. Deux points appartenant à ces deux côtés conjugués seront dits correspondants lorsque l'un d'eux sera le transformé de l'autre par cette substitution.
Maintenant il s'agit de déterminer les coefficients restés arbitraires dans
SUR LES CROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3g3
l'équation (3) de telle façon que cette équation soit fuchsienne. Soient l le rapport des intégrales de l'équation (3) supposée fuchsienne et :; le rapport des intégrales de l'équation (6); il s'agit de déterminer' t en fonction de z.
Je suppose, pour déterminer complètement <, qu'il s'annule en même temps que z. Alors t sera une fonction uniforme de ;, inaltérée par les substitutions fie ff et de telle sorte que
En outre, / pourra prendre toutes les valeurs dont le module est Inférieur à i . Ceci étant posé, je dis que l'on a l'identité suivante :
(7) log niod^ = V logmod
t jL^ " OLiZ -h p,-
Dans celte identité, les substitutions (;, -^ ^ ) sont les substitutions de "■
et le signe i; se rapporte à toutes les substitutions de ce groupe. Cela posé, considérons une infinité de cercles
Cl, Co, . . ., C„, . . .
ayant tous pour centre le point O et dont les rayons R,, R2, ...,Rh, ... vont en croissant avec « et tendent vers 1 quand n croît indéfiniment.
Parmi les termes de la série (7), il y en aura un certain nombre /; qui deviendront infinis à l'intérieur du cercle C„. J'appelle leur somme 9„. Il s'agit de démontrer (jue
Iiiii0„= loy iiiod - |)ijiM' /( = ».
.le remarque, de plus, que logmod-, le lernic général de la série (~)
loi; mod ~'"-.' » el par consécMicnt 0„, sont cssenlielU'meul réels et positifs. Soit
soit Un une fonction réelle de ç el de t| qui, à l'intérieur de C„, satisfasse à l'équation
qui M)i( nulle le long de la circonférence de ce cercle el qui, enliu, soi! telle que la différence
log'mod it,i
H. P. — II. iu
394 SUR LKS GROUPES DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES.
soit lioloinorphe à rintérieur de ce même cercle. Nous aurons les inégalile's
o< '/„< logmod^ el lie plus
et l'un en coiiclul que M„ est constamment, croissant avec n el constamment intérieur à logmod-. ce qui veut dire que, pour n^^cc, u,i tend vers une limite
Unie que j'appelle (/.
J'ai inséré, dans un des derniers Hulletins de la Socièlé mathématique de France (Paris, (^lauliiier-Viliars, i883), un petit travail intitulé Sur un théorème de la théorie générale des fondions^ dans lequel je démontre que SI y est une fonction quelconque non uniforme de x, on peut toujours trouver une variable z telle que x et y soient des fonctions uniformes de z. On n'a qu'à répéter ici la suite des raisonnements que j'ai faits dans ce travail pour voir que u est une fonction analytique de c, et de Y) et qu'on peut trouver une seconde fonction c de ç el de 'i\ telle que u -+- iv soit une fonction analytique monogène de z. On aura d'ailleurs
log mod- i. u.
Il s'agit de faire voir que c'est le signe =: qu'il faut prendre el non le signe de l'inégalité >. l'uur cela, étudions de plus près la fonction u. Je dis que cette tonction n'est pas altérée par les suLstitullons de g. En eflel, soit
1 une de ces substitutions et posons
«;',(-)= Un
az-i-l^
11 y a une autre manière de définir la fonction u[^. En eil'el, soil C„ le cercle transformé de C„ par la substitution inverse de S. La fonction w,', satisfera cnmmi' Un à l'('(|uali()u (R); elle sera nulle le lonc de C'„ et la différence
lo" mod - ° t
sera holoiiiorplie à l'intérieur de ce cercle.
SUR LES GnOCPES DES ÉQUVTIONS LINÉAIRES. SqS
Nous aurons donc une infinité de cercles
et une infinité de fonctions .
engendrées à l'aide de ces cercles comme les u,- le sont à l'aide des cercles C,-. Nous aurons d'ailleurs
/«^ + 2 \ Vim ii'„( z) = Il { Ç- piiui n = y..
Gela posé, quelciiie grand que soit /(, on |)iiiii'i,i trouver un cercle C tout
entier extérieui- à ('.„ et un cei'cle (ly Imit entuT extérieur à C^,. On aura
alors
ti„(z)< u'i,iz) < ii,,( z).
Mais, pour // = oo, on a
Donc
donc
et enfin
On en conclut
/' = '/ = -^■• liiii ii„ = liin II,/ = u, \imu'p(z) = u{2)
: ('(;)-!- const.
Considérons maintenant la fonction
V = log mod u
dans le plan des t et posons
La fonction V sera une fonction uniforme de l. En eflet, quand <, après avoir décrit un contour (juclconquc, revient à sa \aleur initiale, :; est revenu à sa valeur initiale ou bien a subi une des sidjstitutions du groupe g. Dans l'un et l'autre cas, la fonction u et par conséquent V^ n'ont pas été altérées. D'ailleurs, V satisfait à l'équation
Sgfi SUR LES GBOIIPES DES KOUATIONS LINÉAIRES.
Considérons dans le plan des / le cercle
p étant une constante plus petite que i .
La fonction V sera liolomorphe (') à l'intérieur de ce cercle; d'ailleurs, elle sera, le long de la circonférence de ce cercle^ toujours comprise entre zéro
et log-- Donc, en verlu d'une propriété bien connue de l'équation (8'), on
aura, à l'inlérieui- de ce même cercle^
o<V<logi.
Mais p peut être choisi aussi voisin que l'on veut de l'unité; il faut donc que
Ton ait
V = o ou
log moc) - = ». G. Q. F. D.
Mais, d'autre part, nous avons les inégalités suivantes, faciles à démontrer :
log mod y > e„ > Un-
Or, pour n = 00, lim m„ -— log mod - ; on a donc aussi ce qui démontre l'identité
lim6„ = log mod -;
(7) log mod- = S log mod -ii^^^ ~,
t a/z -+- Pi
qui donne t en fonction de ;.
Ainsi, en supposant l'existence de l'équation fuchsienne (3) et par conséquent de la fonction t, nous avons démontré que la série (7) est convergente et
que la somme de cette série est précisément log mod -■ Réciproquement, en
(') En eflTet, il ne pourrait y avoir doute à ce sujet que pour certains points isolés qui correspondent à des sommets de R,, situes sur le cercle fondamental. Mais on sait que si une fonction V est liolomorphe à l'intérieur d'un cercle, sauf en certains points isolés pour lesquels on ne sait rien, si elle satisfait à l'équation (8'), si enfin elle est uniforme et qu'elle reste comprise entre deux limites données, cette fonction reste liolomorphe, même pour les points isolés en question.
SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAtRES. 397
supposant la convergence de la série (7), on pourrait démontrer que la soinuie de cette série définit le logarithme du module du rapport des intégrales d'une équation fuchsienne appartenant au type T. On démontrerait par conséquent que ce type contient une équation fuchsienne. Mais cette démonstration serait fort longue et serait, d'ailleurs, inutile.
On pourrait toutefois en faire un usage sur lequel je voudrais dire quelques mots. Soit T" un type tel que T soit subordonné à T"; T', qui est subordonné à T, sera subordonné à T". Supposons que l'on sache que T" contient une équation fuclisienne; soient (3') cette équation et ^1 le rapport de ses intégrales. Soit ^1 le groupe des substitutions de G qui n'altèrent pas /, ; i,' sera un sousgroupe de i'-,. Nous aurons, d'après ce qui précède,
(7') log mod — = S log mofi — ^-^^ j-
(^, -^ -j^ ) étant la substitution générale du groupe ^1. Mais la série (7)
peut s'obtenir en supprimant certains termes de la série (7')- Elle est donc convergente et par conséquent le type T contient une équation fuchsienne.
Ainsi tout type subordonné il un autre type qui contient une équation luclisienne contient bii-méme une équation fuchsienne. Ce principe dispenserait, dans un très grand nombre de cas, de l'application de la méthode de continuité.
