XX. — Résumé

Dans ce Mémoire, après avoir monlré à calculer les paramètres du groupe d'une équation linéaire donnée, j'ai exposé quelques propriétés de ces paramètres considérés comme fonctions des coefficients de cette équation, ou inversement de ces coefficients regardés comme fonctions des paramètres du groupe.

.l'ai ahordé ensuite un autre prohlème. Considérons une équation tle la forme suivante :

40O Sl'n LKS GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

OÙ S el 0 >oiit ralioliiK'ls eu x et y. Je suppose que la relation (2) est donnée, ainsi que les points singuliers de l'équation (1) et l'équation déterminante relative à chacun d'eux, mais que tous les autres coefficients de l'équation (i) restent arbitraires. Je suppose, de plus, que la différence des racines de chaque équation déterminante est nulle ou est une partie aliquote de l'imité". J'appelle ; le rapport des intégrales et je considère x comme fonction de z.

Jai montré qu'on peut disposer, d'une manière et d'une seule, de ces coefficients restés arljilraires de telle façon que x soit fcuictiiui fuchsienne de z, n'existani qu'à l'iulérieur d'un cercle et j'ai fait voir cninmeiil il fallait diriger le calcul des coeflicients.

On peut disposer de ces mêmes coeflicients d'une in/iiiilc de manières, de telle façon que X soit fonction kleinéenne de z n'existant pas dans tout le plan. Enlin, on peut encore disposer de ces coefficients d'une manière et d'une seule, de telle sorte que x soit fonction fuchsienne ou kleinéenne de :;, existant dans Imite l'étenduedu }>lan. Ce dernier |)oint n'a pas été démontré ; il faudrait, pour le faire, a|)pli(|uer la méthode de continuité.

Considérons maintenant une équation linéaire quelconque

d"'v „ dfi'

dx'" • '^ dxP ■ ^J !

les c5 et 6 étant rationnels en x et y. Soient r, , Co, . . ., (,„ les intégrales de cette équation. On peu! trouver une variable î de telle façon que z soit le rapport des intégrales d'une équation du second ordre à coefficients rationnels en x et )■, et que c,, Co, . . ., i'/h ainsi que x cl y soient des fonctions uniformes de z. 11 peul arriver d'ailleurs que x. considérée comme fonction de z, soit, ou une ftuicthni rationnelle, ou une tonction doublciiiciil périodique, ou une tonction fuchsienne n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle, ou une fonction kleinéenne n'existant pas clans tout le plan, ou enfin une fonction fuchsienne ou kleinéenne existant dans tout le plan. JNous laisserons de côté ce dernier cas.

Alors, ce dernier cas étant laissé de coté, on pourra choisir cette variable ; d'une in(inil('' de manières en satisfaisant à toutes les conditions énoncées plus 11, Mil. J'appelle Ci, -21 •••? ^«i ••• les différentes variables ; obtenues de la sorte. Mais, parmi toutes ces v^ariables, on peut en choisir une et une seule que j'appelle z^ et qui est plus simple que toutes les autres. En général, x sera fonction fuchsienne de c, (n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle); mais, dans certains cas particuliers, elle pourra en être fonction rationnelle ou double-

SUR LES GROL'PKS DES EQUATIONS LINEAIRES. 4ol

ment prrio(lir|iin. Dans lous les cas, z, sera ronclidU iiiiit'orine des anlres variables z-, :,i ce qui explique pourquoi ,r, y el les i' qui sont unilurincs

en ;, sont aussi uniForines en ^^i ^s- •• -i ~-in ■ ■■ ■

Ainsi, nous pouvons exprimer les intéprales fFune C(juali(Ui linéaire à coefficients alg('l>riques |)ar lies fondions nniforuus d'une \ai'iid)lc ;.

11 reste à étudier les propriétés de ces fonctions iiniforines et à les développer en séries. C'est ce fjue je ferai dans le pmcliain Mémoire, qui sera le dernier de cette série.

H. P. — II. 5i

MKMOIRE

FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES '

Acta mat/icmiilica, l. 5, p. 209-278; i8S4'